自由单元法及其在结构分析中的应用

通过吸收有限元与无网格法的优点,提出了一种新的数值方法------自由单元法.此方法在离散方面,采用有限元法中的等参单元,表征几何形状和进行物理量的插值;在算法方面,采用单元配点技术,逐点产生系统方程.主要特点是,在每个配置点只需要一个和周围自由选择的节点而形成的一个独立的等参单元,因而不需要考虑物理量在单元之间的相互连接关系与导数连续性问题. 本文介绍强形式与弱形式两种自由单元法,前者直接由控制方程和边界条件直接产生系统方程,后者通过在自由单元上建立控制方程的加权余量式产生弱形式积分式,并通过像传统有限元法中的积分过程建立系统方程组.本文提出的方法是一种单元配点法,对于域内点为了获得较高的导数精度,需要采用至少具有一个内部点的等参单元,为此除了可使用各阶次的拉格朗日四边形单元外, 还 给出了七节点三角形等参单元,用于模拟较为复杂的几何形状问题.      

求解固体力学问题的强?弱耦合形式单元微分法

单元微分法是一种新型强形式有限单元法. 与弱形式算法相比, 该算法直接对控制方程进行离散, 不需要用到数值积分. 因此该算法有较简单的形式, 并且其在计算系数矩阵时具有极高的效率. 但作为一种强形式算法, 单元微分法往往需要较多网格或者更高阶单元才能达到满意的计算精度. 与此同时, 对于一些包含奇异点的模型, 如在多材料界面、间断边界条件、裂纹尖端等处, 传统单元微分法往往得不到较精确的计算结果. 为了克服这些缺点, 本文提出了将伽辽金有限元法与单元微分法相结合的强?弱耦合算法, 即整体模型采用单元微分法的同时, 在奇异点附近或某些关键部件采用有限元法. 该策略在保留单元微分法高效率与简洁形式等优点的同时, 确保了求解奇异问题的精度. 在处理大规模问题时, 针对关键部件采用有限元法, 其他部件采用单元微分法, 可以在得到较精确结果的同时, 极大提高整体计算效率. 在本文中, 给出了两个典型算例, 一个是具有切口的二维问题, 一个是复杂的三维发动机问题. 针对这两个问题, 分析了该耦合算法在求二维奇异问题和三维大规模问题时的精度与效率.      

含铰接杆系结构几何非线性分析子结构方法

将细长杆系结构按长度方向划分为多个子结构,由于在子结构坐标系下的节点位移均是小位移,可以将子结构内部自由度凝聚到边界. 考虑到子结构端面在变形过程中保持为刚性截面,将端面节点自由度进一步凝聚到端面形心点,这样每一个子结构就减缩成形式上只有两个节点的广义梁单元,大大减缩了自由度. 大位移大转动是细长杆系结构产生几何非线性效应的一个重要原因,基于共旋坐标法,建立了随单元一起运动的随动坐标系,推导了子结构单元的节点力平衡方程及其切线刚度阵. 同时,考虑到工程机械中细长杆系结构含有相互铰接的刚体加强块,给出了非独立自由度节点力转换到独立参数下的广义节点力及其导数. 最后,通过履带式起重机的副臂工况算例,给出了其在不同载荷下的臂架结构位移,验证了方法的正确性.      

多边形有限元研究进展

有限元法是数值求解偏微分方程边值问题的重要方法,采用不规则多边形单元网格, 可以方便有效地模拟材料的力学性能, 又使得区域网格剖分变得灵活方便. 特别是对于复杂的几何形状, 多边形单元网格具有更大的优势. 本文对国内外有关多边形有限元法的最新进展作了初步的总结和评述, 主要以基于位移法的多边形有限元为主.论述了多边形有限元的发展历史, 给出了多边形单元上的Wachspress插值、Laplace插值和重心坐标的一些最新研究成果. 与经典有限元法形函数为多项式形式不同, 多边形单元的形函数为有理函数或者无理函数形式. 多边形单元插值形函数满足线性完备性, 可以再现线性位移场, 像经典有限元法一样直接施加本质边界条件; 插值函数在多边形的边界上是线性的,确保不同单元间的自动协调. 不同单元的插值形函数表达公式形式统一, 方便混合单元网格计算的程序编写. 提出了多边形有限元法今后需要研究的问题.      

带源参数的二维热传导反问题的无网格方法

利用无网格有限点法求解带源参数的二维热传导反问题，推导了相应的离散方程. 与 其它基于网格的方法相比，有限点法采用移动最小二乘法构造形函数，只需要节点信息，不 需要划分网格，用配点法离散控制方程，可以直接施加边界条件，不需要在区域内部求积分. 用有限点法求解二维热传导反问题具有数值实现简单、计算量小、可以任意布置节点等优点. 最后通过算例验证了该方法的有效性.     

解电磁场问题的延拓有限元方法

本文根据有限单元法的思想求解连续体的电磁场方程时,在不增加总节点数目的情况下,将通常意义下的单元进行延拓,定义了嵌套单元域,于是可以利用单元外(嵌套单元域内)的节点信启,强迫单元内的插值函数高次化,从而构造出广义形状函数。由此出发建立离散电磁场的总体方程,得到了利用外点(单元外)信息构造有限元子空间的新方法。称为延拓有限元法。该方法另辟蹊径,是一种新的高精度分析的有限元法,具有广泛的应用价值。     

用局部Petrov-Galerkin法分析薄板自由振动

利用薄板振型方程的等效积分弱形式和对振型函数采用移动最小二乘近似函数进行插值，本文进一步研究了无网格局部Petrov-Galerkin方法在薄板自由振动问题中的应用。它不需要任何形式的网格划分，所有的积分都在规则形状的子域及其边界上进行。在插值近似时，采用虚拟-实际节点值变换方法直接引入本质边界条件。通过数值算例和与其他方法的结果进行比较，表明无网格局部Petrov-Galerkin法求解弹性薄板自由振动问题具有收敛性好、精度高等一系列优点。     

求解弹性力学问题的有理单元法

传统的位移有限元法采用多项式形式的位移试函数,对于边数大于4的多边形单元,构造满足单元间协调性要求的多项式形式位移插值函数是一件困难的工作。本文利用逆距离权插值的思想并考虑到单元节点的分布,建立了边数大于4多边形单元上的有理函数形式的形函数。利用有理试函数,采用Galerkin法推导出求解平面弹性力学问题的有理单元法。采用有理单元法求解弹性力学问题,求解区域根据需要可以划分为任意多边形单元,极大地提高了网格划分的灵活性。有理单元法不依赖等参变换,不同单元的形函数表达形式统一,方便计算程序的编写。     

二阶非自伴两点边值问题Galerkin有限元后处理超收敛解答计算的EEP法

将一维Ritz有限元法超收敛计算的EEP(单元能量投影)法推广到二阶非自伴常微分方程两点边值问题Galerkin有限元法的超收敛计算。在对精确单元的研究中,发现与Ritz有限元法不同,只要检验函数采用伴随算子方程的解,无论试函数取何形式,在结点处都可得到精确的解函数值。对近似单元的研究表明,EEP法同样适用于Galerkin有限元法,不仅保留了简便易行、行之有效、效果显著的特点,同时也保留了EEP法的特有优点,如:任一点的导数和解函数的误差与结点值的误差具有相同的收敛阶。     

双重点最小二乘配点无网格法

配点类无网格法需要计算近似函数的二阶导数,因而在移动最小二乘(MLS)近似中至少要采用二次基函数。本文利用Voronoi图对双重点移动最小二乘近似法进行了改进,建立了基于Voronoi图的双重点移动最小二乘近似(VDG),并利用加权最小二乘法离散微分方程,导出了双重点最小二乘配点无网格法(MD GLS)。该方法将求解域用节点离散,并以节点为生成点建立Voronoi图,取Voronoi多边形的顶点为辅助点。近似函数及其二阶导数的计算过程可分解为两个步骤:首先用场函数节点值拟合辅助点处近似函数的一阶导数,再以辅助点处近似函数的一阶导数值拟合节点处近似函数的二阶导数。由于在每一步中只需计算MLS形函数及其一阶导数,这种近似方法需要较少的影响点和较小的影响域。同时借助于Voronoi结构的优良几何性质,可以快速地搜索影响点。研究表明,与基于MLS的加权最小二乘无网格法(MWLS)相比,这种方法可以显著提高计算效率,并且在精度和收敛性方面也有所改善。     

基于碎点法的动态断裂分析

工程中的冲击防护结构在撞击、爆炸等冲击载荷下可能发生动态断裂并最终破坏, 抑制结构的动态断裂是提升结构防护能力的重要手段, 为此需要准确预测结构在动态载荷下的断裂行为. 数值仿真是预测动态断裂的重要手段, 然而当前工程中常用的有限元法在模拟断裂方面仍存在网格畸变和难以显式引入裂纹等问题. 碎点法是近年来提出的一种不连续型伽辽金弱形式无网格方法, 适合模拟断裂问题, 本文提出一种显式动力学格式的碎点法并将该方法应用于动态断裂分析. 一方面, 碎点法参考弱形式无网格类方法, 将求解域离散为空间中的节点和子域, 并基于支持域内的节点群构造子域的位移试函数, 因此该方法的子域具有抵抗畸变的能力. 另一方面, 碎点法参考间断伽辽金有限元法, 使用分片连续的位移试函数, 并引入内部界面数值通量修正保证方法的一致性和稳定性, 因此该方法易于在结构中显式引入裂纹. 本文首先介绍碎点法的核心思想和离散形式, 接着推导了动力学碎点法弱形式动量方程, 然后建立了碎点法的显式动力学求解格式, 最后通过算例验证动力学碎点法预测应力波传播和动态断裂行为的能力.      

分片试验与有限元法

提出分片试验在有限元法中有着重要的作用,它是近代有限元发展的一个主要特色。得出分片试验对位移和应变函数的要求,这些要求便是一个好的有限元法所应保证的;分析了几何方程弱形式与分片试验的关系,借此分析了杂交元、拟协调元如何满足这些要求,以及在满足这些要示的同时产生的对其他条件的影响;分析了精化直接刚度法、广义协调元和双参数法如何保证分片试验的满足;最后作为位移条件的应用例子,改进了ＢＣＩＺ元。     

一种基于直接计算高阶奇异积分的断裂力学双边界积分方程分析法

相对于有限元法,边界单元法在求解断裂问题上有着独特的优势,现有的边界单元法中主要有子区域法和双边界积分方程法.采用一种改进的双边界积分方程法求解二维、三维断裂问题的应力强度因子,对非裂纹边界采用传统的位移边界积分方程,只需对裂纹面中的一面采用面力边界积分方程,并以裂纹间断位移为未知量直接用于计算应力强度因子.采用一种高阶奇异积分的直接法计算面力边界积分方程中的超强奇异积分;对于裂纹尖端单元,提供了三种不同形式的间断位移插值函数,采用两点公式计算应力强度因子.给出了多个具体的算例,与现存的精确解或参考解对比,可得到高精度的计算结果.      

含肿瘤皮肤组织传热分析的广义有限差分法

生物传热分析在低温外科手术、肿瘤热疗、病热诊断等临床医学治疗和诊断中有着广泛的应用.由于健康皮肤组织内肿瘤的存在使得肿瘤附近区域的温度会明显升高,这一特性常被用于检测皮肤组织内的肿瘤生长,因此有必要开展生物传热数值分析的研究.本文以含肿瘤的皮肤组织为研究对象,将一种新型区域型无网格配点法——广义有限差分法应用于能描述含肿瘤皮肤组织传热过程的Pennes方程求解.广义有限差分法利用泰勒展开式与移动最小二乘法将计算区域内的每个离散点上的物理量导数表示成其与邻近点物理量及权重系数的线性组合,进而构建得到仅含各离散点未知物理量的线性方程组.该方法不仅具有无需划分网格、避免数值积分等无网格配点法的优点,同时还克服了大多数无网格配点法中插值矩阵高度病态的问题,为此类方法在大规模工程数值计算中的应用提供了可能性.本文首先介绍了模拟含肿瘤皮肤组织传热过程的广义有限差分法离散模型,随后通过不含肿瘤与含规则形状肿瘤的基准算例,检验广义有限差分法的计算精度与收敛性;在此基础上,通过数值模拟研究不同肿瘤形状及肿瘤位置分布对皮肤组织内温度分布的影响.     

含肿瘤皮肤组织传热分析的广义有限差分法

生物传热分析在低温外科手术、肿瘤热疗、病热诊断等临床医学治疗和诊断中有着广泛的应用. 由于健康皮肤组织内肿瘤的存在使得肿瘤附近区域的温度会明显升高, 这一特性常被用于检测皮肤组织内的肿瘤生长, 因此有必要开展生物传热数值分析的研究. 本文以含肿瘤的皮肤组织为研究对象, 将一种新型区域型无网格配点法——广义有限差分法应用于能描述含肿瘤皮肤组织传热过程的Pennes方程求解. 广义有限差分法利用泰勒展开式与移动最小二乘法将计算区域内的每个离散点上的物理量导数表示成其与邻近点物理量及权重系数的线性组合, 进而构建得到仅含各离散点未知物理量的线性方程组. 该方法不仅具有无需划分网格、避免数值积分等无网格配点法的优点, 同时还克服了大多数无网格配点法中插值矩阵高度病态的问题, 为此类方法在大规模工程数值计算中的应用提供了可能性. 本文首先介绍了模拟含肿瘤皮肤组织传热过程的广义有限差分法离散模型, 随后通过不含肿瘤与含规则形状肿瘤的基准算例, 检验广义有限差分法的计算精度与收敛性; 在此基础上, 通过数值模拟研究不同肿瘤形状及肿瘤位置分布对皮肤组织内温度分布的影响.      

中厚板弯曲分析的无网格弱-强式法(MWS)

基于局部弱式和强式配点相结合的无网格弱-强式法(meshfree weak-strong method,MWS)求解中厚板问题.MWS法对问题域使用整体离散节点表征和强形式配点法进行计算,在自然边界条件上或靠近自然边界条件的区域采用局部弱形式Petrov-Cralerkin法计算,用移动最小二乘法或径向点插值法来构造形函数,是一种理想的真正无网格法.采取MWS法,文中计算了中厚板的弯曲问题和能量误差.算例结果和对比分析表明,无网格弱-强式法(MWS)可以自然协调处理两类边界条件,计算效率高、数值结果稳定;对计算域采用规则节点布置,其解与弹性力学理论解以及有限元解都吻合很好.     

基于径向基函数的无单元法求解力学问题误差分析

径向基函数形状参数的选择在无单元法数值计算中一直是一个热门的问题,现在已总结出许多确定形状参数的经验公式. 但还没有相关研究表明这些形状参数是如何随着影响域尺寸而变化的. 本文研究了MQ(multi-quadrics) 径向基函数中形状参数对无单元法计算误差的影响. 首先,从理论上分析了形函数导数随着形状参数值的变化趋势,和以计算点为中心节点对称布置与不对称布置的形函数导数的变化规律;然后分析了影响域尺寸对误差的影响,得到了在不同影响域尺寸下,误差随形状参数值变化的规律;在此基础上,给出了影响域范围值.     

程序简讯(二十一)

三维线弹性问题有限元法小机算大题程序(一) 本程序为三维线弹性问题廿节点等参有限元法通用程序。采用共轭斜量法解方程组,其结构刚度阵取一维变带宽存贮。采用能抑制带长、不甚计较节点编序的按单元和单元节点次序密排上三角区非零元素的排法。在此基础上,通过删除有关约束的刚阵元素、节点力分量,使方程组降阶,来紧缩局部量存区, ...     

程序简讯

三维线弹性问题有限元法小机算大题程序(一) 本程序为三维线弹性问题廿节点等参有限元法通用程序。采用共轭斜量法解方程组,其结构刚度阵取一维变带宽存贮。采用能抑制带长、不甚计较节点编序的按单元和单元节点次序密排上三角区非零元素的排法。在此基础上,通过删除有关约束的刚阵元素、节点力分量,使方程组降阶,来紧缩局部量存区,     

程序简讯(二十一)

三维线弹性问题有限元法小机算大题程序(一) 本程序为三维线弹性问题廿节点等参有限元法通用程序。采用共轭斜量法解方程组,其结构刚度阵取一维变带宽存贮。采用能抑制带长、不甚计较节点编序的按单元和单元节点次序密排上三角区非零元素的排法。在此基础上,通过删除有关约束的刚阵元素、节点力分量,使方程组降阶,来紧缩局部量存区, ...