正多边形两个性质的简证及推广

文[1]证明了正多边形的两个性质. 性质1设正n边形A1A2 …An的外心为O,则△AiAi+lAn的重心Gi(i=1,2,…,n-2,n≥5)共圆,圆心C在AnO上,且OC∶ CAn=1∶2. 性质2设正n边形A1A2 …An的外心为O,则△AiAi+1An的垂心Hi(i=1,2,…,n-2,n≥5)共圆,圆心就是顶点An. 文[1]的证明过程较繁琐,尤其是性质1.本文先给出性质的简洁证法,然后推广这一性质.     

三角形重心向量性质的进一步推广

文[1]给出了三角形重心的一个向量性质:命题1已知G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=x AB,AN=y AC,则图2命题2图1x 1y=3.并把上述结论推广到三棱锥:命题2过三棱锥P-ABC的重心G的平面分别与三条侧棱相交于A1,B1,C1,且PA1=x PA,PB1=yPB,PC1=z PC,则1x 1y 1z=4.文[2]将上述结论推广到空间任意有限点的重心上,得到:图3定理1图定理1设P,A1,A2,…,An是空间任意n 1个点,G是这n 1个点构成的有限点集V(V={P,A1,A2,…,An})的重心,平面π过G且与直线PAi(i=1,2,…,n)相交于Bi,P不在平面π上,且有PBi=λi…     

抛物线的切点多边形和切线多边形重心的一个定理及应用

过抛物线上任意三点 A1 ,A2 ,A3 ,分别作切线 ,三条切线围成一个△ B1 B2 B3 叫做切线三角形 ,而△ A1 A2 A3 叫切点三角形 .同样过抛物线上任意四点 A1 ,A2 ,A3 ,A4,分别作切线 ,四条切线围成一个凸四边形叫切线四边形 ,同样 A1 A2 A3 A4叫切点四边形 .不难发现 ,过抛物线上任意五点作五条切线 ,它们相交成 10个点 ,已不能围成凸五边形 ,看来 n≥ 5时 ,切点 n边形已不再有切线 n边形了 .本文将研究切点 n( =3 ,4 )边形与此时切线 n边形的重心的性质 ,然后给出一个应用 .定理 1　如图 1,设 A1 与 A2 是抛物线 y2= 2 px上任意两点 ,…     

三角形外心与重心的一个性质的推广

命题设G为△ABC的重心,AG,BG,CG与△ABC的外接圆相交于D、E、F,则AGGD GBEG GCFG=3.该题是《数学通报》征解题387.文[1]把它推广为:定理若P是△ABC的外接圆内的点,AP,BP,CP与外接圆交于D、E、F,O是外心,G是重心,P点落在以OG为直径的圆上的充要条件是APPD PBEP PCFP=3.本文把这个性质推广到n边形的外接圆内的点.设A1A2A3…An是⊙O的内接n边形,Ai(i=1,2,…,n)在以圆心为原点的平面直角坐标系内的坐标为(xi,yi),与三角形类似,定义1n∑ni=1xi,1n∑i=n1yi为n边形重心G的坐标.则有定理1P为n边形A1A2A3…An外接圆内一…     

正多边形的一个向量性质及推广

笔者发现正多边形的一个向量性质加以推广后 ,可以将文 [1 ],[2 ],[3]的结论统一起来 ,进一步体现了数学的和谐 .性质 1　正n多边形A1A2 …An 的圆心为O ,则∑ni=1OAi=0 .此性质证明略去 ,下面给出它的推广 .性质 2　正n多边形A1A2 …An 的圆心为O ,半径为R ,P是平面上的任一点 ,则∑ni=1PA2i =nPO2 +nR2 .证　∑ni=1PA2i =∑ni=1PA2i =∑ni=1(PO +OAi) 2 =∑ni=1PO2 + 2PO ∑ni=1OAi +∑ni=1OA2i =nPO2 +nR2 .性质 3　已知中心对称的多边形A1A2…A2n的外接圆O的半径为R ,P是圆O上的任一点 ,Mi 与Mi+n为…     

一个三角形重心向量性质及空间拓广性质的另证

文[1]给出了一个三角形重心性质1,探索出三棱锥也有的类似性质2,给出证明,本文拟给出一种更为简捷的证明方法.性质1如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=x0AB,AN=y0AC,则x10=y10=3.另证取A为坐标原点,以向量AB,AC作为基底,建立平面仿射坐标系     

圆内接闭折线垂心的两个性质

三角形有下面的性质[1](如图1):图1定理0设P是△ABC外接圆上弧BC的中点,Q是P的对径点,R是P关于边BC的对称点,H是△ABC的垂心,则AHRQ是平行四边形.这个性质是夫尔曼(Fuhrmann)发现的(三角形三顶点把外接圆分成三段弧的中点关于相应边的对称点所构成的三角形,被称为夫尔曼三角形)[1].本文将推广这个性质,证明圆内接闭折线的垂心的两个性质.为此,我们约定:符号A(n)表示平面内任意一条闭折线A1A2A3…AnA1.定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其垂心为H,Hjk是闭折线A(n)的2级顶点子集Vjk={A1,A2,…,Aj-1,Aj 1,…,Ak-1,Ak 1,…,An}的垂心…     

圆内接闭折线垂心的一个性质

众所周知 ,三角形的垂心有如下性质[1] :定理 1　设△ ABC的外接圆半径为 R,垂心为 H ,则 ( AB2 BC2 CA2 ) ( H A2 H B2 H C2 ) =1 2 R2 .将这个定理推广到一般圆内接闭折线中 ,可得定理 2　设闭折线 A1A2 A3 … An A1内接于⊙ ( O,R) ,其垂心为 H ,则　 ∑ni=1Ai A2i 1 ∑ni=1H A2i =n( n 1 ) R2 ,( * )其中 An 1为 A1.证明　以圆心 O为原点建立直角坐标系x Oy(图略 ) ,设顶点 Ai 的坐标为 ( xi,yi) ( i =1 ,2 ,… ,n) ,垂心 H的坐标为 ( x H,y H) ,则有[2 ]x H =∑ni=1xi,　 y H =∑ni=1yi. 1由两点间的距…     

三角形垂心的一个性质

本文给出关于三角形垂心的一个新性质:定理三角形的垂心在各角的内、外角平分线上的射影的连线共点,该点恰是三角形的九点圆圆心.已知:△ABC的垂心H在∠A及其外角平分线AT、AT′上的射影分别为A1、A2,过A1、A2作直线lA,并类似作出直线lB和lC(如图1.图1求证:lA、lB、lC三线共点,     

三角形的一个向量性质及其空间拓广

文[1]、文[2]、文[3]及文[4]对一个三角形重心向量性质进行了探讨,笔者阅读后深受启发,得到了三角形的一个向量性质,并进行空间拓广.图1三角形定理1如图1所示,已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,过P作直线AB,AC两边分别交于M,N两点,且A     

三角形内心的两个性质

文[1]和文[2]对三角形重心进行了探究,阅读之后受到启发,笔者发现三角形内心也有类似的性质,现行之成文与读者共同探讨.性质1如图1,设△ABC的三个顶点A,B,C所对的三边长分别为a,b,c.已知点I是△ABC的内心,过I作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=m AB,AN=n AC,则bm cn=a b图1 c.证因为点I是△ABC的内心,∴a IA b IB c IC=0[3],∴-a AI b(AB-AI) c(AC-AI)=0,∴(a b c)AI=b AB c AC,即AI=ba b c·AB ca b c·AC.又因为M,I,N三点共线(A不在直线MN上),∴AI=λAM μAN(且λ μ=1),∴AI=λm AB μn AC=ba b c·…     

多面体的顶点系重心的优美性质

假设一个多面体的所有顶点为 A1,A2 ,… ,An( n>3) ,这个多面体记作 V( n) .定义 1　建立空间直角坐标系 ,设多面体 V( n)的顶点 Ai 的坐标为 ( xi,yi,zi) ( i=1 ,2 ,… ,n) ,令x=1n ni=1xi,y=1n ni=1yi,z=1n ni=1zi,( * )则点 G ( x,y,z)称为多面体 V ( n)的顶点系重心 .本文揭示多面体的顶点系重心的若干优美性质 .引理　设多面体 V( n)的顶点系重心为 G,则对于空间的任一点 P,有 ni=1PA2i=n· PG2 ni=1GA2i. ( )证明　以重心 G为原点 O建立空间直角坐标系 (图略 ) ,设顶点 Ai 的坐标为 ( xi,yi,zi)( i=1 ,2 ,… ,n) ,点 P的…     

三角形与三棱锥的重心向量性质的逆定理

文[1]讨论了三角形重心的一个向量性质,并将其推广至三棱锥中.命题1过△A0A1A2的重心G作直线与A0A1,A0A2分别交于B1,B2两点,且A0B1=λ1A0A1,A0A2=λ2A0A2(λ1,λ2为非零实数),则有1λ1 1λ2=3.命题2过三棱锥A0-A1A2A3的重心G作平面与侧棱A0Ai交于点Bi,且A0Bi=iλA0Ai(iλ≠0,i=     

利用中线长公式证明三角形重心的一个性质

<正>三角形的重心有许多性质,比如重心是中线的一个三等分点,重心与三角形三顶点的连线把三角形的面积三等分等等.本文将在此基础上利用三角形的中线长公式证明重心的另一个重要性质.三角形的中线长公式:如图1,AD为△ABC的中线,则AD²=1/2AB2=1/2AB²+1/2AC2+1/2AC²-1/4     

正多边形的推广——"分数"多边形

1正多边形定义的推广———“分数”多边形图1将圆周五等分,画出正五边形和五角星.而五角星也是“五条边相等、五个顶角相等”的几何图形,它“符合”正多边形的定义中各边相等,各角相等的条件,但不是凸多边形.易求出它的顶角为36°.将36°代入正多边形内角公式:36°=(n-2)n×180°,则n=52.我们将五角星定义为“正25边形”:将圆周五等分,等分点为A,B,C,D,E.从等分点A开始,间隔2段弧,连接AC,依此类推,连接相应的等分点,形成五角星.我们将“正pq边形(q>2p,p,q为自然数)”定义为:将圆周q等分,得到q个等分点:A0,A1,A2,A3,…,Aq-2,Aq-1,(1)…     

圆内接多边形的一个性质

笔者研究发现,圆内接多边形有如下一个美妙性质. 设A_1 A_2 """A_n为圆内接n边形(n≥4),画n-3条对角线将这个n边形分割成n-2个三角形(这些对角线在多边形内部没有交点),则无论如何分割,所得到的n-2个三角形的内切圆半径之和是一个定值.     

一道平面几何题的向量论证

《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1　三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2　结论 1图结论 1　设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证　不妨设A在BC之间 ,若A ,…     

三角形两个统一的向量性质

文[1]给出了三角形重心的两个性质,文[2]给出了三角形旁心的两个性质,文[3]给出了三角形外心的两个性质.读后深受启发,笔者对文[1][2][3]做了进一步的研究,得到了三角形两个统一的向量性质.性质1 经过△ABC所在平面上的一点O(不在顶点A上),任作一直线l,分别交边AB,AC所在直线于M,N两点,且→=m→(AB),→(AN)=n→(AC),用SA、SB、Sc、S分别表示△OBC、△OAC、△OAB,△ABC的面积(下文同),则(1)当点O落在区域①②时,有SB/m+SC/n=S.(2)当点O落在区域③时,有SB/m+SC/n=－S.(3)当点O落在区域④⑦时,有SB/m－SC/n=－S.(4)当点O落在区域⑤⑥时,有SB/m－SC/n=S.     

关于棱柱的一个猜想的证明

文[1]给出了一个关于棱柱的猜想:任意棱柱A1A2…An-2-A1′A2′…An-2′(n≥5)内一点P,P分该棱柱体积棱锥化定比为F(P)=(m1,m2,m3,…,mn),分过P且平行于底面的截面的面积三角形化定比为f(P)=(λ1,λ2,λ3,…,λn-2)则m1 m2=31,mi=23λi-2(i≥3,i∈N ).笔者在此给出该猜想的证明.图1棱柱证如图1,记该棱柱体积为V,高为h,截面B1B2…Bn-2(n≥5),面积为S.过点P作P1P2∥AiAi′交上、下底面分别于点P1,P2.记点P到上底面A1A2…An-2的距离为h1,到下底面A1′A2′…An-2′的距离为h2,则h1 h2=h.1)由文[2]定义1知m1=VP-A1A2…An-2V,m2=VP…     

一个三角形个数的计算问题

问题 :将圆周 n等分 ,在 n个等分点中 ,任取三个点都能构成一个三角形 ,那么 ,在这些三角形中 ,直角三角形、钝角三角形、锐角三角形各有多少个 ?目前未见有人对这一问题进行研究 .笔者发现 ,各种三角形个数与方程x1 x2 … xm =n的正整数解的个数有关 ,因而试着利用求相应方程的整数解的方法来计算有关三角形个数 ,非常方便 .为此 ,先给出前述方程的正整数解的个数的一个结论 .方程 x1 x2 … xm =n( m≤ n,m、n∈ N ,n≠ 1 )的正整数解的个数是 Cm - 1n- 1.证明　当 m =1时 ,方程只有一个解 ,结论显然成立 .设 m >1 ,如图 1 ,将 n…