涉及正等角中心与内心的一个不等式

涉及正等角中心与内心的一个不等式周甫林（江苏省盐城师范专科学校２２４００１）在△ＡＢＣ的边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上分别向外作正三角形ＢＡ′Ｃ，ＣＢ′Ａ，ＡＣ′Ｂ，则ＡＡ′，ＢＢ′，ＣＣ′共点于Ｆ（见［１，Ｐ１０７］）．设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面上任意一点，则当...     

有心圆锥曲线的一个定义及几个相关性质

我们称圆、椭圆和双曲线这三种具有对称中心的圆锥曲线为有心圆锥曲线．笔者受课本上两道轨迹问题的启示,进而引发联想,对其加以引伸推广,从而归纳出有心圆锥曲线的一种定义形式,并由此推导出椭圆、双曲线的几个有趣性质．兹介绍如下．一、问题的发现与提出《平面解析几何》全一册（必修）课本Ｐ７９习题六第１１题与Ｐ８９习题七第１６题分别是：１１题　“△ＡＢＣ的一边的两顶点是Ｂ（０,６）和Ｃ（０,－６）,另两边的斜率的乘积是－４９,求顶点Ａ的轨迹．”１６题　“△ＡＢＣ的一边两个端点是Ｂ（０,６）和Ｃ（０,－６）,另…     

与费马问题相关的几何不等式

与费马问题相关的几何不等式续铁权（青岛教育学院数学系）下列问题称为加权责马问题：已知三个正数ａ１ｂ１，ｃ１，在△ＡＢＣ所在平面上求Ｐ点，使ａ１·ＰＡ＋ｂ１·ＰＢ＋ｃ１·ＰＣ最小．如果这样的Ｐ点存在，称之为△ＡＢＣ关于ａ１，ｂ１，ｃ１的费马点，简称费马...     

圆 单元目标检测题

一、选择题（每小题４分,共２８分）１．已知：如图Ｄ－１,ＢＣ切⊙Ｏ于Ｂ,∠ＡＯＢ＝１１０°,则∠ＡＢＣ＝（　）（Ａ）１１０°　（Ｂ）５５°　（Ｃ）７０°　（Ｄ）３５°图Ｄ－２图Ｄ－１　　２．如图Ｄ－２,⊙Ｏ是Ｒｔ△ＡＢＣ的内切圆,切点为Ｄ、Ｅ、Ｆ,∠Ｃ＝９０°,ＡＣ＝６,ＢＣ＝８,则ＡＦ＋ＢＥ＝（　）（Ａ）８　（Ｂ）６　（Ｃ）１０　（Ｄ）１２３．两圆的直径分别为１０和６,圆心距为４,则两圆的位置关系是（　）（Ａ）外离　（Ｂ）外切　（Ｃ）相交　（Ｄ）内切４．如图Ｄ－３,弦ＡＢ、ＣＤ相交于Ｐ,ＰＡ＝…     

三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

一个三角形不等式的四面体移植

设△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ与外接圆半径、面积和半周长分别为ａ、ｂ、ｃ、Ｒ、△、ｓ．Ｐ是△ＡＢＣ内任意一点,ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｌ、Ｍ、Ｎ．１９６６年荷兰的Ｏ．Ｂｏｔｔｅｍａ建立了不等式：　　　ＡＬ·ＢＭ·ＣＮＳ△ＬＭＮ≥４ｓ（１）等号当且仅当Ｐ是△ＡＢＣ的内心时成立．类似上式,贵刊文［１］Ｐ２６刊载了刘键先生建立的不等式：ＡＬ·ＢＭ·ＣＮａ·ＰＬ＋ｂ·ＰＭ＋ｃ·ＰＮ≥△Ｒ（２）等号当且仅当△ＡＢＣ为锐角三角形且Ｐ为垂心时成立．文［２］给出了（２）式的简证,受其启发,笔者通…     

复数形式的三角形面积公式

复数形式的三角形面积公式陈飞新（河北涿州物探中学０７２７５１）已知△ＡＢＣ的三个顶点坐标分别为Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３）．求Ｓ△ＡＢＣ．高中《代数》（必修）下册Ｐ１７６第１４题用行列式给出了计算公式：Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｘ１ｙ１...     

证明台体积公式的新方法

证明台体积公式的新方法吴小平（重庆师范学院数学系６３００４７）本文利用共面定理，非常简明地证明了台的体积公式．如果两个四面体有一个公共面，称它们是一对共面四面体．共面定理：若直线ＰＱ与△ＡＢＣ所在的平面π交于Ｍ，则ＶＰ－ＡＢＣＶＱ－ＡＢＣ＝ＰＭＱＭ．...     

一题多解

一题多解合江县合江中学袁志学圆这一章基本上可以说融会贯通通了初中平面几何的知识，垂径定理及其推论在圆这一章又占了重要的位置，下面从一道几何题的多种解法可看出几何知识在这部分的相互渗透。已知：△ＡＢＣ内接于○Ｏ，Ｄ是ＢＣ（的中点，ＤＥ是直径，且∠ＡＢＣ...     

Shc89的加细

Ｓｈｃ８９的加细吴跃生（中国计量学院基础部３１００３４）本文符号意义如下：△ＡＢＣ的三边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ分别记为ａ，ｂ，ｃ；Ｐ为△ＡＢＣ内部任意一点，△ＢＰＣ，△ＣＰＡ，△ＡＰＢ的外接圆半径分别为Ｒａ，Ｒｂ，Ｒｃ；点Ｐ至边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ的距离分别为...     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年９月号问题解答（解答由问题提供人给出）９１１设点Ｍ是△ＡＢＣ的ＢＣ边的中点，Ｏ是内切圆的中心，ＡＨ是高，Ｅ为直线ＯＭ和ＡＨ的交点，求证：ＡＥ等于内切圆半径ｒ．证明如图，设Ｐ为内切圆与边ＢＣ的切点．连ＯＰ．设ＢＣ＝ａ、ＡＣ＝ｂ、Ａ...     

四面体上的莱布尼兹公式

四面体上的莱布尼兹公式湖南益阳师专胡耀宗我们先介绍三角形中的莱布尼兹公式；设△ＡＢＣ三边分别为ａ、ｂ、ｃ，重心为ＧＰ是△ＡＢＣ所在平面上任意一点，则［１］三角形莱布尼兹公式可以引伸和迁移．公式的引伸若把公式中的Ｐ点移到空间任意位置，公式（１）仍然成立...     

综合题新编选登

题 5　如图 1 ,四面体ＡＢＣＤ中 ,△ＡＢＣ与△ＤＢＣ都是边长为 4的正三角形 .1 )求证 :ＢＣ⊥ＡＤ ;2 )若点Ｄ到平面ＡＢＣ的距离不小于 3,求二面角Ａ ＢＣ Ｄ的平面角的取值范围 ;3)求四面体ＡＢＣＤ的体积的最大值和最小值 .解　 1 )取ＢＣ的中点Ｏ ,连结ＡＯ ,ＤＯ ,∵△ＡＢＣ ,△ＢＣＤ都是边长为 4的正三角形 ,∴ＡＯ⊥ＢＣ ,ＤＯ⊥ＢＣ ,且ＡＯ∩ＤＯ =Ｏ .∴ＢＣ⊥平面ＡＯＤ .又∵ＡＤ 平面ＡＯＤ ,∴ＢＣ⊥ＡＤ .2 )由 1 )的证明过程可知 ,∠ＡＯＤ为二面角Ａ ＢＣ Ｄ的平面角 ,记为θ,则θ∈ ( 0 ,π) .过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＯ交…     

简证一个有价值的三角形不等式

设△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ与外接圆半径、面积和半周长分别为ａ、ｂ、ｃ、Ｒ、△、ｓ．Ｐ是△ＡＢＣ内任意一点,ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｌ、Ｍ、Ｎ．１９６６年荷兰的Ｏ．Ｂｏｔｅｍａ建立了不等式ＡＬＢＭＣＮＳ△ＬＭＮ≥４ｓ（１）等号当且仅...     

第35届IMO第2题的又一证法

第３５届ＩＭＯ第２题的又一证法李纯红（四川师范学院数学系６３７００２）第３５届ＩＭＯ第２题如下所述：题Ｎ为∠ＢＡＣ的角平分线上一点，点Ｐ及点Ｏ分别在直线ＡＢ和ＡＮ上，其中∠ＡＮＰ＝９０°＝∠ＡＰＯ．在ＮＰ中任取一点Ｑ，过点Ｑ任作直线交ＡＢ和ＡＣ分别于...     

1993年第3期问题

１９９３年第３期问题７６．已知凸ｎ边形Ａ１Ａ２．．．Ａｎ内接于圆Ｏ，Ｒ为圆Ｏ的半径，Ｏ到各边的距离分别为为ｎ边形的半周长，求证：７７．整点三角形ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上除端点外分别有奇数个整点．（１）求证：边ＢＣ上除端点外还有奇数个整点；（２）△ＡＢＣ...     

与费马问题相关的两个不等式

与费马问题相关的两个不等式续铁权（山东省青岛教育学院２６６０７１）设有△ＡＢＣ和△Ａ１Ｂ１Ｃ１，它们的边、角、面积分别记为ａ，ｂ，ｃ；Ａ，Ｂ，Ｃ；△和ａ１，ｂ１，ｃ１；Ａ１，Ｂ１，Ｃ１；△１．在平面上总存在一点Ｐ，使ａ１·ＰＡ＋ｂ１·ＰＢ＋ｃ１·ＰＣ...     

莱布尼兹定理的推广及基引伸

莱布尼兹定理的推广及基引伸熊曾润（江西赣南师范学院３４１０００）数学家莱布尼兹曾经发现，三角形的重心有一个优美的性质，即莱布尼兹定理设△ＡＢＣ的重心为Ｇ，则对于△ＡＢＣ所在平面内的任意一点Ｐ，有［１］本文拟将这个定理推广到一般多边形中，再引伸到一般多...     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年８月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０２６设Ｐ为△ＡＢＣ内一点，ＡＰ，ＢＰ，ＣＰ的延长线交面△ＡＢＣ的三边于Ｄ，Ｅ，Ｆ．若Ｓ△ＡＰＦ＝Ｓ△ＢＰＤ＝Ｓ△ＣＰＥ，则Ｐ为△ＡＢＣ的重心证明不妨设Ｓ△ＡＰＦ＝Ｓ△ＢＰＤ＝Ｓ△ＣＰＥ＝...     

全国各地市1998年高考模拟试题汇编

六、立体几何（解答题）１．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中,∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＣ＝６０°,ＰＡ与底面ＡＢＣ所成角为４５°,ＡＢ＝ＡＣ．（１）求证：ＰＡ⊥ＢＣ;;（２）又若ＰＡ,ＡＢ,ＢＣ的长成等差数列,求二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ的正弦值．（第１题图）（第２题图）２．如图...