对一道竞赛题的再推广

贵刊文[1]提出了一种对如下命题的推广,即： 命题对任意正实数a,b,c,均有：（a^2＋2）（b^2＋2）（c^2＋2）≥9（ab＋bc＋ca）．     

解一道＂或＂命题

题目 命题p：方程x2＋mx＋1=0有两个不等的正实根．命题q：方程4x2＋4（m＋2）x＋1=0无实数根．若“p或q”为真命题,求实数m的取值范围．     

1997年初中数学竞赛试题参考答案

第一试一、选择题1．下述四个命题（1）一个数的倒数等于自身，那么这个数是1（2）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（3）a2的平方根是 |a|（4）大于直角的角一定是钝角其中错误的命题有（A）l个（B几个（c）3个（D）41解（l）、（2）、（4）是错误的命题，故造（C）．么满足上述不等式的整教x的个数是（A）4（B）5（C）6（D）7N4（H－／Z）wtxwtZ（H＋H）1．27…wtx＜73…故选（C）．3．若实数a，b，c满足a’＋b‘＋c’＝9，代数式ta—b）’＋（b－c）’＋（c－a）’的最大值是（A）27（B）18（C）15（D）12拐（a－b）2＋（b…     

复数概念题解的优化

关于复数ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ、ｂ∈Ｒ）的概念有如下两个命题：１．ｚ∈Ｒｚ－ｚ＝０；２．ｚ∈｛纯虚数｝ｚ＋ｚ＝０（ｚ≠０）．这两个命题的证明十分简单，在此从略．运用这两个命题并结合基本公式ｚｚ＝｜ｚ｜２＝｜ｚ｜２，可使有关概念题解的思路优化，计算简便，...     

一道课本不等式的加强及推广

一道课本不等式的加强及推广魏华（成都七中６１００１５）现行教材高中《代数》下册Ｐ３２第５题．已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）．笔者发现：可将此不等式加强和推广为如下命题．已知ａ，ｂ，ｃ＞０...     

两个不等式的推广

题目 已知x1^2＋x2^2＋…＋x100^2=300。求证： x1＋x2＋…＋X100≤200 （1） 文[2]对不等式（1）进行了加强和推广，分别给出四个命题，其中后两个命题（见原文命题3、命题4）分别为：     

深刻源于质朴

对如下一道2008年德国数学奥林匹克试题： 求最小的常数c，使得对所有的实数x，y，有1＋（x＋y）^2≤c（1＋x^2）（1＋y^2）． 高孝君同学在文[1]中谈及了下述两种解法．     

西班牙数学竞赛一题推广的另证

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为 命题1如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,则x＋y=0．文[1]给出下面推广： 命题2如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）或x,y∈（-∞,＋m]且（x＋√x^2-m^2）（y＋√y^2-m^2）=m^2,那么x=Y． 文[1]采用换元法证明了命题2,仔细研读后笔者给出命题2的另一种简洁证法。     

解法辩析

1．问题 题1已知二次函数f（x）满足条件：（1）f（-1）=0;（2）对一切x∈R,都有x≤f（x）≤1＋x^2/2,求f（x）的解析式． 杨忠老师在《求解不等式命题的另类方法》（见本刊2009,1上期）中给出解答如下：     

从一个命题的推广谈推广时应注意的一个问题

推广是一个命题经过一般化所得到的正确结论,正如波利亚所说：“是从好的东西中提炼更纯净的精制品”,好的推广是“不容易得到的”,因此,推广不能单纯地看成是一个命题简单的一般化,而应抓住命题成立的本质,否则,很可能推出错误的结论,以如下命题的推广为例．命题如果P（x）Q（x）、R（x）、S（x）都是多项式,且使得P（X5）＋xQ（x5）＋x2R（x5）＝（x4＋x3＋x2＋x＋1）S（x）,则X－1是P（x）、Q（x）、R（x）和S（x）的一个公国式．此题是美国第五届中学数学竞赛题,可以根据1的五次单位根和线性方程组的性质得到比较简捷…     

巧证一个性质

笔者运用几何画板探得如下命题： 命题1 已知椭圆方程为x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0），如图1．切椭圆于点P的直线与⊙O：x^2＋y^2=a^2相交于M，N两点，⊙O在点M，N处的切线相交于点Q，则PQ⊥x轴．     

一道USAMO赛题的别证及引伸

１９９７年第２６届美国数学奥林匹克试题５：证明对所有正实数ａ、ｂ、ｃ满足（ａ３＋ｂ３＋ａｂｃ）－１＋（ｂ３＋ｃ３＋ａｂｃ）－１＋（ｃ３＋ａ３＋ａｂｃ）－１≤（ａｂｃ）－１．（１）文［１］给出了该命题的简证．其实,该命题还可简证如下：证明由ａ＋ｂ＞０及...     

简易逻辑问题

一、会用集合知识判断充要条件 例1设命题P：2x^2-3x＋1≤0;命题q：x^2-（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0．若q是P的必要不充分条件．求实数a的取值范围．     

纠正一道例题的推广的错误

现行高中代数（下）课本在不等式一章中有这样的一道例题：设ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，求证ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．文［１］中作出如下的推广：命题１若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ，ｎ∈Ｎ，则ａｍ＋ｎ＋ｂｍ＋ｎ＞ａｍｂｎ＋ａｎｂｍ命题２若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ...     

一个命题的再研究

命题　△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，求证　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｂｃ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣｃａ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡａｂ　≥０．（１）（《数学通报》１９９７年５月号问题１０７２）文［１］对上述命题给出了一种简捷证法．通过对（１）式证法的研究，笔者得到了以下几个命题．命题１　设△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，则有：　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｃａ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣａｂ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡｂｃ　≤０．（２）证明　由正弦定理知，不等式（２）等价于ａ－ｂｃａ＋ｂ－ｃａｂ＋…     

一数学竞赛题变式推广的简证

命题 如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）,或x,y∈（-∞,m],且（x＋√x^2＋m^2）（y＋√y^2＋m^2）=m^2,那么x=y．     

一道德国数学奥林匹克试题的解答

2008年德国数学奥林匹克有一题如下： 题目求最小的常数c,使得对所有的实数x、y,有1＋（x＋y）^2≤c（1＋x^2）（1＋y^2）．     

对一个命题的联想

对一个命题的联想张克刚（湖南洪江市教委教研室４１８２００）命题如果正实数ａ、ｂ、ｃ、ｄ满足条件：ａ２十ｂ２＋ｃ２＋ｄ２那么ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ．这是一个普通的命题，由此进行广泛联想，它有很多可挖掘的地方．改变命题的条件和结论，并将代数命题改为几何命题，就可...     

函数y=lgcx＋d/αx＋b图象的对称问题及引申

文[1]探索证明了函数y=lgcx/d/αax＋b（αd≠bc,cα≠0）的图象是中心对称图形，它的对称中心是-d/c＋d/α/2,lg（c/α），但过程稍显繁琐，笔者认为用结论：“函数f（x）的图象有对称中心（h，k）的充要条件是对定义域中的任何一个x，均有f（h＋x）＋f（h-x）=2k．”证明较为简洁明了．证明如下：     

不等式“有解”与“恒成立”

不等式历来是高考和竞赛命题的热点．不等式“有解”与“恒成立”是容易混淆的问题．下面给出一组命题,说明两者之间的区别．Ⅰ　ａ＞ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＞ｆｍａｘ（ｘ）;Ⅱ　ａ＜ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＜ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅲ　ａ＞ｆ（ｘ）有解　　ａ＞ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅳ　ａ＜ｆ（ｘ）有解　　ａ＜ｆｍａｘ（ｘ）．例１　不等式ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解,求ｋ的范围．解　ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解　ｋ（ｘ２＋１）＜２有解ｋ＜２ｘ２＋１有解　ｋ＜［２ｘ２＋１］ｍａｘ＝２　（应用命题Ⅳ）∴　　　　ｋ∈（－∞,２）．…