空间折线与其中点折线周长间的一个关系

我们知道，依次连接三角形各边中点所得三角形的周长是原三角形周长的一半．一般地，依次连接折线各边中点所得的折线称为中点折线．那么，任意一条封闭折线（不一定是平面的），它的中点折线的周长与原折线的周长之间有什么关系呢？先给出如下引理引理１　△ＡＢＣ中，ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号．证　在△ＡＢＣ中，ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓＡ＝（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２＋（ＡＢ－ＡＣ）２ｃｏｓ２Ａ２≥（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２，∴ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．…     

复数形式的四边形面积公式

复数形式的四边形面积公式李显权（四川省富顺师范学校６４３２００）文［１］给出了复数形式的三角形面积公式：对任意三角形ＡＢＣ有Ｓ△ＡＢＣ＝１２Ｉｍ［（Ｂ－Ａ）（Ｃ－Ａ）］（）当Ａ，Ｂ，Ｃ依逆时针方向绕行时，（）式右边为正值；反之．（）式右边为负值...     

一个三角形中线不等式

一个三角形中线不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）△ＡＢＣ中，边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ．这三边上对应中线分别为ｍａ、ｍｂ、ｍｃ，对应高线分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，△表示此三角形面积．用∑表示循环和．定理在△ＡＢＣ中，有当且仅当△ＡＢＣ为等腰...     

初三(上)期末数学测试题

一、一元选择题（每小题３分，共４５分）１．方程３ｘ２－４＝０的一次项系数是（　）（Ａ）－４　（Ｂ）０　（Ｃ）１　（Ｄ）３图Ａ－８２．如图Ａ－８，在Ｒｔ△ＡＢＣ，∠Ｃ＝９０°，那么ｃｔｇＢ＝（　）（Ａ）ＡＣＢＣ　（Ｂ）ＢＣＡＢ（Ｃ）ＡＣＡＢ　（Ｄ）ＢＣＡＣ３．已知ｋ是不等于零的常数，在下列函数中，一次函数是（　）（Ａ）ｙ＝ｋｘ２＋１　（Ｂ）ｙ＝ｘｋ＋１（Ｃ）ｙ＝ｋ＋１ｘ　（Ｄ）ｙ＝ｋｘ＋１４．△ＡＢＣ的外心是三角形的（　）（Ａ）三条高的交点（Ｂ）三边的垂直平分线的交点（Ｃ）三条内角平分线的交点（Ｄ…     

三维空间中塞瓦定理

三维空间中塞瓦定理刘毅（齐齐哈尔教育学院１６１００５）著名的塞瓦定理可叙述为：设Ｐ是三角形ＡＢＣ内任一点，Ａ’，Ｂ’，Ｃ’分别是ＡＰ，ＢＰ，ＣＰ与边ＢＣ；ＣＡ，ＡＢ的交点，则Ａ’Ｂ．Ｂ’Ｃ．Ｃ’Ａ＝ＡＢ’．ＢＣ’．ＣＡ’（１）考察Ｐ为四面体内任一点，...     

巧构一组三角形证明几个三角恒等式

在△ＡＢＣ中，无论是锐角、或直角或钝角三角形，总有Ａ２＋Ｂ２＋Ｃ２＝９０°．从而也有（９０°－Ａ２）＋（９０°－Ｂ２）＋（９０°－Ｃ２）＝１８０°（１）Ａ２＋Ｂ２＋（９０°＋Ｃ２）＝１８０°（２）Ｂ２＋Ｃ２＋（９０°＋Ａ２）＝１８０°（３）Ｃ２＋Ａ２...     

三角形教与学

第１课　关于三角形的一些概念（一）　　一、学习准备１．线段有个端点．２．如图３－１中有条线段,有个角．用字母表示图中的线段是,表示图中的角是．图３－１图３－２３．如图３－２中,∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ,ＯＣ叫做∠ＡＯＢ的．二、读书自学（Ｐ２～Ｐ３）重点领会三角形、三角形的角平分线、中线的意义,理解这些概念的几何语言．三、效果反馈（做完后同桌互相批改）１．如图３－３中,是三角形的是．图３－３２．如图３－３的图（２）中,△ＡＢＣ的∠Ｂ的对边是,边ＡＢ的对角是．３．如图３－４中有个三角形,分别记为．图３－４…     

关于三角形的一个不等式

关于三角形的一个不等式３１５２１１宁波大学数学系陈计１９９３年，管志宏［１］提出下列不等式：在西ＡＢＣ中，有当且仅当面ＡＢＣ为正三角形时等号成立．事实上，由熟知的几何不等式（见文［２］的２．１２及２．３３）：易知不等式（１）是平凡的．本文中，我们将不...     

三角形垂心的性质及其应用

三角形垂心的性质及其应用海南省农垦中学方亚斌我们知道．对任意ＡＢＣ．三条高线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ（Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为垂足）交于一点Ｈ关于垂心Ｈ．有下述一些重要性质：（１）四点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｈ构成一垂心组．即Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｈ四点中．任意一点都是其余三点连线所成三...     

1993年第3期问题

１９９３年第３期问题７６．已知凸ｎ边形Ａ１Ａ２．．．Ａｎ内接于圆Ｏ，Ｒ为圆Ｏ的半径，Ｏ到各边的距离分别为为ｎ边形的半周长，求证：７７．整点三角形ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上除端点外分别有奇数个整点．（１）求证：边ＢＣ上除端点外还有奇数个整点；（２）△ＡＢＣ...     

以图形为基点发展学生思维

教学理论和教学实践告诉我们，学生如果能清楚、准确地识图，那就能更有效，更快捷地发现图形所揭示的数学本质．所以在教学中要着重培养学生从几何直观上分析问题的意识，指导学生掌握观察图形的思维方式，从而发展学生的思维．下面我们就此谈几点认识．１　视线聚焦找关键观察，是以图形启发思考起点．教学中应指导学生寻找关键图形，创设出更为简洁、鲜明的情境，使问题顺利得解．例１　二面角Ｂ—ＰＡ—Ｃ为直二面角，ＰＢ⊥面ＡＢＣ，则△ＡＢＣ的形状为（　　）．　（Ａ）锐角三角形　　　（Ｂ）直角三角形　（Ｃ）钝角三角形（Ｄ）无…     

1997年日本东京大学入学考试理科数学试卷及解答

１９９７年日本东京大学入学考试理科数学试卷及解答刁品喜编译（江苏丹阳中等专业学校２１２３００）１ａ，ｂ都是正数，ΔＡＢＣ是ｘｙ平面内以两点Ａ（ａ，０）和Ｂ（０，ｂ）为顶点的正三角形，而点Ｃ是第Ⅰ象限的点．（１）求ΔＡＢＣ能含于正方形Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜...     

点对称三角形的性质及其应用

点对称三角形的性质及其应用４４５０００湖北恩施市教研室熊光汉Ｐ为三角形ＡＢＣ内一点，点Ｐ关于△ＡＤＣ的边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的对称点分别为Ｐ１、Ｐ２，Ｐ３我们称△Ｐ１Ｐ２Ｐ３为点对称三角形（如图１）．将点对称三角形Ｐ１Ｐ２Ｐ３与原△ＡＢＣ结合起来研究，可...     

复数形式的三角形面积公式

复数形式的三角形面积公式陈飞新（河北涿州物探中学０７２７５１）已知△ＡＢＣ的三个顶点坐标分别为Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３）．求Ｓ△ＡＢＣ．高中《代数》（必修）下册Ｐ１７６第１４题用行列式给出了计算公式：Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｘ１ｙ１...     

几个三角形面积比定理的统一证明

本文约定：△ＡＢＣ的三内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边长分别为ａ，ｂ，ｃ，面积为Ｓ，且△ＡＢＣ的半周长为ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ），内切圆半径长为ｒ（＝４ＲｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２）．本刊文［１］给出了下面关于锐角三角形的内接三角形面积的一个不等式链Ｓ垂足△?..     

二倍角三角形的一个性质及其应用

二倍角三角形的一个性质及其应用喻俊鹏（湖北应城市实验中学４３２４００）定理三角形中，如果有一个角是另一个角的二倍，那么这个角所对边的平方等于另一个角所对边的平方加上另一个角的对边与第三边的积．如图，△ＡＢＣ中ａ，ｂ，ｃ为角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边．设Ａ＝２Ｂ...     

第二周几何能力训练一

说明　此组题主要训练对三角形一章的知识、方法的灵活应用能力．　　一、选择题（每小题３分，共２４分）１．定理：三角形的两边之和大于第三边的知识依据是（　）．（Ａ）两边差小于第三边（Ｂ）两点之间，线段最短（Ｃ）两点间的距离的定义（Ｄ）两点确定一条直线２．证明等腰三角形的性质定理的辅助线不能是（　）．（Ａ）顶角的平分线　（Ｂ）底边上的中线（Ｃ）腰上的中线　　（Ｄ）底边上的高３．到三角形的三边距离相等的点是三角形的（　）．（Ａ）三条高的交点（Ｂ）三条中线的交点（Ｃ）三条角平分线的交点（Ｄ）三边的中垂线的…     

巧用三角形证不等式

巧用三角形证不等式熊佩英（湖南益阳财税学校４１３０５４）很多不等式与三角形有着直接或间接的联系，如能想到这一点．往往能收到事半功倍之效．例１正数ａ，ｂ，ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，满足ａ＋Ａ＝ｂ＋Ｂ＝ｃ＋Ｃ＝ｋ，求证ａＢ＋ｂＣ＋ｃＡ＜ｋ２．（图１）证明构造图形如...     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年４月号问题解答（解答由问题提供人给出）８８６在△ＡＢＣ中，求证：证当△ＡＢＣ为钝角三角形或直角三角形时不等式的左边小于或等于零，而右边大于零，不等式显然成立．当△ＡＢＣ为锐角三角形时同理将这三个同向不等式相乘得．８８７证明方程ｍ...     

精彩题尝析

在直径为ＡＢ的半圆内,划出一块三角形区域,使三角形的一边为ＡＢ,顶点Ｃ在半圆周上,其它两边分别为６和８,现要建造一个内接于△ＡＢＣ的矩形水池ＤＥＦＮ,其中,ＤＥ在ＡＢ上,如图１９的设计方案是使ＡＣ＝８,ＢＣ＝６．（１）求△ＡＢＣ中ＡＢ边上的高ｈ．（２）设ＤＮ＝ｘ,当ｘ取何值时,水池ＤＥＦＮ的面积最大？（３）实际施工时,发现在ＡＢ上距Ｂ点１．８５的Ｍ处有一棵大树,问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．…