一道数学竞赛题的几种解法及推广应用

1999年陕西省大学生高等数学竞赛试题中有如下一道试题：计算的值，其中n为正整数．下面我们先给出其几种解法：解法一利用和差化积公式，由于解法二利用数学归纳法，当n＝1时，显然有当n＝2时因此我们可猜测：下面我们用数学归纳法证明，假设当n＝k时有则当n＝k十1时，解法三利用欧拉公式，以下同解法～．解法四利用换元积分法，令x一计2十户，则而由欧拉公式，。。。。。，’。，、t、，。、，，、，、，。nISllZnx，与本题相类似，我们还可以证明爿——dX一O．。＿．＿。广slnnx．门，n为偶数；综上可知：D——dX二nJbSIn1卜，1为奇…     

关于一道IMO函数方程试题的再推广

第28届IMO的第四题是一道关于函数方程的试题：求证不存在函数f：N→N，使得对于每个n∈N，f（f（n））＝n＋1987[1]．沈华老师[2]将上述试题推广为下面的定理：定理1设m为自然数，存在函数f:N→N，使得每个n∈N，均有f（f（n））＝n＋m的充要条件是m为偶数．但其证明有一处小的疏漏（见［2］中证明的（2）式）．本文我们首先完善定理1的证明，并给出当m为偶数时满足条件的函数f：N→N的构造与个数．定理1的证明对任何m∈N，假设存在这样的函数f，则有f（n＋m）＝f（f（f（n））））＝f（n）＋m．进而由归纳假设易证：对非负整数k，均…     

由柯西不等式的证明所想到的

如果ai，bi（i=1，2，…，n）是任意实数，则式中等号，当且仅当时成立．这就是柯西不等式，其证明过程是：构造二次函数：且等号在时成立．这个不等式证明的关键是构造二农函数，这个村道往往使学生觉得神秘莫测，不可思议．事实上，把柯西不等式两边同乘以4，移项后得容易联想到一元二次方程报的判别式，这样构造①式就合情合理了．遇到有相同结构的式子，构造二农函数就会左右逢源、得心应手．。1。。中二l，8证：b’＞4ac·证明构造二农函数：f（）一ax’＋6x十c，Jib－ZC——二1，aaJHb＋Zc＝0，Ji、八一一一一一）202二次方程ax’…     

一个伪素数猜想的证明

文［1］中提出一个猜想：“对于每一个伪素数k而言，至少存在一组正整数（a，b），使得本文证明此猜想是成立的如果允许a＝k—1，则此猜想的正确性显而易见，本文限定a＜k一回引理1（欧拉定理）设k是大于l的奇数，NO2，（。）。1（n。edk）其中中（k）是欧拉函数，表示0，1，Z，··，k－1中与是互质的数的个数［2］这一引理表明，对任何大于1的奇数k都存在正整数l’，使得2”。1（inedk）（1）引理2设k为大于1的奇数，。为正整数，且有（1）式成立占是使（1）式成立的最小正整数（在数论中称之为2对模k的指数【川，则有8卜（巨）、（2）…     

一个插值公式及其应用

本文介绍二次拉格朗日插值公式及其在证明与二次函数相关的不等式方面的广泛应用．二次拉杜朗间揭值公式：设f（x）是M次多项式，。，，az，as是3个两两不等的常数，则：、（xa。）（xas）。in3u！，＼2382，证明将等式右端的二次三项式记为p（X），由于人J）一户（X）的次数＜2且人工）一户（X）一0有3个不同的根：N一rtl，HMQZ，NMrt3·故f（X）一p（X）．下面略举囊的介绍二次指位公式的应用．例1已知a，b，c为实数，函数／（x）。。2＋bte＋C，g（x）＝。＋b，当1＜x＜1时，if（川＜1．（1）证明：Icl＜1；（2）证明：当一1＜X＜…     

也谈三角形界心的性质

（其中N为九点圆圆心）．证明在三心构成的bOlll中，OJ＝R—Zr，JH—2ofRi－－－－－－u，OH＝JbRnn＝MIMMi＝27；又OG：GN：NH一2：1：3，说明N是OH中点，故应用中线公式可得JN一十（2·QI2＋2·JHZ—OHZ），数据代人化简，即得欲证．我们还得到如下结论：对不等边西周兀来说：事实上，由于N为OH中点，若I与J在OH异侧，由（4）即知（5）成立．下面用反证法证明I．J不会在OH同侧．若相反，作I关于OH对称点I’（如图6）．应用余弦定理可算出即JI’＝H，但显然。”＞H，矛盾．也谈三角形界心的性质@张延卫$江苏沭阳县教…     

积分integral from (1/x~n 1)dx的计算

对于积分当n较小时，好计算，但当n较大时，例如n=6、7等，很难计算．现在利用橡模佛定理、欧拉公式和一些基本方法求出它的原函数，并举例说明其应用．被积函数由律模佛定理可知：方程Xn＋1=0的解为其中．因此有的计算由（1）可得又根据欧拉公式1．3化简由于方程X”＋1一0的根具有共轭性，故有若n为偶数，则上式为若n为奇数，则上式为2计算实例当n较大时，运用上述公式非常简单，现举两个例子说明．。．．。＿l‘l例呈求I＝＝＝－dXJ。x‘＋1解n二7，可列表如下：［＊。」8表示X21时＊。的值减去X一0时＊。的值，［用z亦同．例2求入。一…     

对一个新定理的解析

文[1]证明了这样的一个新定理：定理如困1，△ABC各角顶点与对边三三等分点的连线中，相邻两条连线分别交于P、Q、R，则△PQR∽△hABC，且相似比为1:5．采用[1]的证明方法，文[2]把上面的定理推广到了n等分的情况，得到了如下的命题：等分点的连线中，相邻两条连线分别交于P、Q、R，则APQR——AABC，且相似比为（r一2）：（2n一l）．现在，我们要考虑较［Zj更一般的情形．目的是要证明如下的两个结果．定理1如图3，在AABC中，BAI：AIAZ：AZC＝CBI：BIB。：B。A＝ACI：C；C。：C。B。l：po：1，且相邻两条连线分别交于…     

构造两数和与积的模式解题

合理构造两数和与积求解数学问题，是一种非常有效的手段．其独特功能在于充分运用一元二次方程根的判别式和求根公式变更命题，从而使问题获得简解1用于求值例1已知：为整数），那么，的值是（）．（A）1991-1（B）－1991－1（C）（－1）n1991（D）（－1）n1991－1（1991年全国初中数学联赛题）解设a＝1991，b＝－1991，则a＋b＝2x，ab＝－1，由韦达定理的逆定理，得a、b是方程t2－2xt＝1＝0的两个实根解之，得故答案应选（D）．2用于解方程（组）例2解方程（6x＋7）2（3x＋4）（x＋1）＝6．（1983年湖北省初中数学竞赛题）解原方程可化…     

用判别式解题谨防“三忽视”

1忽视分类讨论例lm为何值时，（m－1）xZ一地；；－1）x－1＜06成立？错解即时,原不等式恒成立,剖析不题打本指明卜；－1）x‘－3（；，；一回）l’一回为二双函数，因此。一1可为0，故四分类讨论．正解若，n—1—06d，属不署式但成正；琶m—1士06立，依副所述知，当三＜n。＜互的，原不等式压成立2忽视有解的前提条件例26程x‘＋（。n—2）x一（。n—3）＝0的两根为l’l，12，末x卜xg的极小盾错解困韦达定理自剖析上述解答忽视了方程有解的动提条件，即面一（m－2）’＋4（。n—3）＞0。；n＜－2人都”。ZZh而7）；＝1的，原方程无买根正…     

拉格朗日定理的一个推广

利用条件极值判别法和连续函数的介值性定理，通过构造辅助函数获得拉格郎日定理的一个推广，即若 f（x）在（a ，b）内2n次可导（n≥2，n∈Z），f （2n）（ξ）≠0，f （3）（ξ）＝ f （4）（ξ）＝…＝ f （2n-1）（ξ）＝0（a＜ξ＜ b），则存在 a1，b1∈（a ，b），使得 f（b1）- f （a1）＝ f′（ξ）（b1- a1）。     

多重整体谱范数最小摄动问题的可解性

1．引言Golub和VanLoan等人［1-8]均研究了TLS问题或多重整体最小二乘问题（简称MTLS问题）：的可解性，其中AECm×n，BECm×d．我们在［6，7］中给出了该问题可解的充要条件如下：定理．设（A，B）H（A，B）＝Cdiag（Al，AZ，…，人十d）C”，其中》1＞入2＞…＞人＞人十1＝…一入。＋1＝…一人t＞人在十1三…三入n＋d；s5fi＜t5fi＋d，CHC一人十d．记则MTLS问题（1．1）可解的充要条件是存在T的子集T’＝｛if，iZ，…，i。n｝使rank（屯…，c：。；cL；…；ex＋。）＝d·（1·2）有趣的是，我们发现存在矩阵对（人B）（见…     

Heisenberg群上Folland—Stein定理的注记

该文在G．B．Folland与E．M．Stein研究的算子的基础上．拓展考虑了算子，其中λ＋μ≠0且λ≠α／2n，μ≠—α／2n），证明了：如果，使得有限（其中ψa，b，1（z，t）＝—4（λ＋μ）ab（｜z｜2＋1—it）a-1（｜z｜2＋1＋it）b-1，那么在分布的意义下将有．特别，当λ＝μ＝—1／2时，此结果即原来的Folland－Stein定理．     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1 对任意素数p和任意正整数n，证明：n｜ψ（p^n-1），其中ψ是欧拉函数．     

用不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|解题

（事实上，也成立，证明略）在高中《代数》下册不等式一章给出，教材主要研究了它在绝对值不等式证明中的运用．而在其它方面的运用几乎没有涉及．有关资料一般也未作探讨，为了强化《考试说明》中提及的这一重要基础，下面就其运用举例说明．1证明不等式例1用数学归纳法证明：（1985年全国高考上海试题）证明（1）n=1时，不等式显然成立．（2）假设成立，那么n＝k十1时，＜Silk。OSSI＋ICOSk。i。l＜ksinxl＋Dsinx【＝（k＋1）Isinx【．不等式成立．综合（1）、（2）有lsinn6I。nlsin8I．NZ已知a、b、c是实数，函数（1996年全国（3…     

一道IMO函数方程试题的推广

第28届IMO的第四题是一道关于函数方程的试题：求证不存在函数f：N→N，使得对于每个n∈N，f[f（n）]＝n＋1987[1]．首先，我们把上述试题推广到一般的情形定理1设m为自然数，存在函数f：N→N，使得对每个n∈N，均有f[f（n）]＝n＋m的充要条件是m为偶数证明当。为偶数时，取函数f：N→N，f（n），显然该函数满足f[f（n）]＝n＋m。反过来，如果m为奇数，那么对于任何n∈N，不存在函数f：N→N，使得f[f（n）]＝n＋m．事实上，假设存在这样的函数f，则有f（n＋m）＝f｛f[f（n）｝＝f（n）＋m，进而用归纳法可验证f（n＋km）＝f（n）＋km…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅳ)

例题讲解25设0≤ai≤9(i＝0，1，2，n，）。）且。，；产0，A—10’la＋10”’a。；－I＋…＊10al＋ac（1、）作AI＝D（A）＝。，；十2。；；l＋2、，；，十··＋2”Ial＋2”a。（z）AZ＝D（AI），A3＝D（AZ），…（1）证明：对任意自然数A，在上述过程中必出现Ah＜20，使D（Ah）一Ah门）若A＝1998，试确定Ah使D（Ah）一Ah证明（1）若，I＝0即A为一位数，则D（A）＝A；若n—1即A为两位数，则A－D（A）＝（10al＋ac）－（al＋Zan）一901－10（3）故A—D（A）＞0即A＞D（A），当且仅当川”1，。0“9，即A＝19时成立等号若…     

异步并行非线性对称Gauss-Seidel迭代算法

1．引言考虑非线性方程组其中A＝（a。。）EL（＊”）为＊一矩阵，B＝（衬。）EL（＊”）为非负矩阵，呐X）一（p。（X。》，4（二）＝（吵k（kk》：＊一＊一为连续的对角映射，而6＝（6k）E＊一为已知向量．这里，什小：”一”均可微，但二者的导函数并不一定连续．这类方程组具有丰富的实际背景．例如，描述冰体溶解过程的著名的Stefan问题，就可归结为问题（1·1）的数值求解（见［l］）．为在多处理机系统上有效地求解问题（1．1），文山利用这类非线性方程组的特殊结构，建立了一类并行非线性Gauss—Seidel型迭代算法．为避免该算…     

等差数列中一定包含等比子数列吗

最近在一本《高考数学模拟题》中见到这样一道题：题1当a、d∈N时，等差数列｛a＋（n－1）d｝（n∈N）中，是否含有无穷的等比数列？试加以证明．原书的解答是这样的：设｛bm｝为等比数列，今b1＝a1＝a，b2＝a＋ad＝a（1＋d），…，bn＝a（1＋d）(m－1)．令an＝a＋（n－1）d，利用数学归纳法，只需证明bm∈｛an｝．当m＝1时b1＝a∈｛an｝，设m＝k时命题成立，即bk∈E｛an｝，则h一a（1＋d）‘－‘一a十id（tEN），当m—k－I－1时，h＋l一a（1十的‘一。（1十N‘－‘（1十山一（a＋id）（1＋d）一a＋（a－f－－l＋id）d一a＋pd．其中P—a…     

一类函数条件最值的矩阵求法

设有n元二次齐次函数并设B＝（bij）为正定阵，求函数（1）在条件下的最大值与最小值。设则所讨论问题可表述为：求f（x1，x2，…，xn）＝x’八x在条件O＜a＜x’Bx＜b下的最大值与最小值。（3）本文的主要结果如下①：定理设A为n阶实对称阵，B为n阶正定阵，则1）卜一只刚一0的根全为实根；2）设人1＜人＜…＜人是卜一人则一0的全部根，则条件极值问题（3）的最大值finex和最小值八n为证明1）由于B是正定阵，故存在可逆阵P，使得B一PP。令C一（P－）AP－。则C为对称阵，从而其特征值均为实数。即IC－AEI一O的根为实根。但IC－AE；…