初学数列者鉴

初学数列,不少同学由于概念不清、考虑不周等原因,常犯这样或那样的错误,现列举数例如下. 一、忽视关系式an=Sn-Sn-1的使用条件 例1 已知数列{an}的前n项和Sn=2×3n,求{an}的通项公式. 错解 由an=Sn-Sn-1, 得 an=2×3n-2×3n-1=4×3n-1,     

几类递推数列通项的求法

求由递推关系所确定的数列的通项,通常可通过对递推关系的一系列突破,构造出一个新的数列,转化为等差、等比数列,或与之相类似的问题来求解.下面通过具体的例子来说明由递推关系求通项的方法.一、递推式an-an-1=f(n)(n∈N*,f(n)为等差、等比数列的通项).例1、已知{an}中,a1=1,an=an-1 n(n≥2),求an.解:由已知有a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n.将上面n个等式左、右两边分别相加,得an=1 2 3 … n=n(n2 1).例2、已知{an}中,a1=1,an=an-1 2n-1(n≥2),求an.解:由已知,有a1=1,a2-a1=2,a3-a2=22,…,an-an-1=2n-1.将上面n个式子的等号左右两边…     

赋予新内容 用递推公式

<正>递推数列是数列一章的难点,若赋予新知识内容,则关系更加隐蔽,题目难度更大,现举例说明,供读者参考.一、赋予三角内容例1已知数列{an}满足a1=1,an=an-1cosx+cos(n-1)x(x≠kπ,n≥2),求通项公式an.解∵a1=1,an=an-1cosx+cos(n-1)x(n≥2).∴a2=a1cosx+cosx=cosx+cosx     

新题征展(35)

A　题组新编1 .已知曲线 C:xy - 2 kx k2 =0与直线 l:x - y 8=0有唯一的公共点 ,而数列{an}的首项 a1=2 k,点 ( an- 1,an)恒在曲线上( n≥ 2 ) ,数列 {bn}满足关系 bn =1an - 2 .( 1 )问数列 {bn}是等差数列吗 ?( 2 )求数列 {an}的通项公式 .2 .已知二次函数 f ( x) =ax2 bx c有f ( 0 ) =3,且直线 y =5x 1与 f( x)的图像相切于点 ( 2 ,1 1 ) .( 1 )求函数 f ( x)的解析式 ;( 2 )若 f( n)为数列 {an}的前 n项和 ,求数列 {an}的通项公式 ;( 3)求limn→∞ ( 1a2 a3 1a3a4 1a4 a5 … 1an- 1an) .B　藏题新掘3.在边长为 1的正△ …     

一类“形似而神异”的递推数列

2011年广东高考数学第20题第（1）问是：设b〉0,数列{an}满足a1=b,an=（nan-1）/（an-1＋2n-1）（n≥2）,求数列{an}的通项公式.看到这个问题,使我们想起了2006年江西高考22题第（1）问：已知数列{an}满足：a1=32,且an=（3nan-1）/（2an-1＋n-1）（n≥2,n∈...     

一道普通高考题的另解

题目:设数列{an}的首项a_1∈(0,1),a_n=(3-a_(n-1))/2,n=2,3,4,….(Ⅰ)求{a_n}的通项公式;(Ⅱ)设bn=an.3-2an,证明bn相似文献   

赋予新内容 用递推公式

递推数列是数列一章的难点,若赋予新知识内容,则关系更加隐蔽,题目难度更大,现举例说明,供读者参考.一、赋予三角内容例1已知数列{an}满足a1=1,an=an-1cosx＋cos（n-1）x（x≠kπ,n≥2）,求通项公式an.解∵a1=1,an=an-1cosx＋cos（n-1）x（n≥2）.     

争鸣

问题问题97数列{an}中,a1=2,2an=an-1 an1-1(n≥2),求an.解由特征方程2x=x 1x得x=±1.∴2(an-1)=an-1 a1n-1-2=(ana-n1--11)2(1)2(an 1)=an-1 a1n-1 2=(ana-n1- 11)2(2)由((21))得aann -11=(aann--11 -11)2=[(aann--22- 11)2]2n-1=(aann--22 -11)4=…=(aa11- 11)2n-1.∵a1=2,∴aann- 11=(13)2n-1,即an=21-3-2n-1-1.上面解法是找特征根后,通过化简变形后得出规律的.但递推式变为:3an=an-1 an1-1(n≥2)后,用上面方法失效.我也曾试过好多种方法均告失败.请同行们参与讨论:“已知数列{an}中,a1=2,3an=an-1 an1-1(n≥2),求an”问题.an怎样求呢?是…     

逐差累加是法宝,出神入化显奇巧

先给出一个简单的数列问题: 已知数列{an}的首项a1=1,an+1=an+1,求数列{an}的通项公式. 一方面,很明显an+1-an=1,故根据等差数列的定义可求得:an=n.     

一道高考题的另一解法

2007年高考全国卷(Ⅰ)理科第22(Ⅱ)题也可以用“辅助数列法”求出通项bn,然后证明.题:已知数列{an}中a1=2,an 1=(2-1)(an 2),n=1,2,3,….(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}中b1=2,bn 1=23bbnn 34,n=1,2,3,….证明:2相似文献   

一道课本习题的解答与拓展

抄录新课标人教A版教材必修5复习参考题B组第6题如下:"已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),对这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?"     

培养学生迁移能力的好素材--新定义型数列

普通高中数学课程标准(实验)的知识与技能目标中要求学生具有一定的掌握、应用、迁移知识的能力.而近年在高考或各地高考模拟试卷中出现的一些新定义型数列,笔者认为是培养学生迁移和探究能力的良好素材.本文将介绍几种新定义型数列的定义、通项公式或前n项和、性质及初步应用,以供参考.1等和数列1.1定义在数列{an}中,若对任意n≥2都有an+an-1=d(n∈N+,d为常数),则称{an}为等和数列,常数d称为数列的公和.1.2通项公式与前n项和设等和数列{an}的首项为a1,公和为d,则an=a1,d-a1,n为奇数;n为偶数.Sn=a1+n-12d,n2d,n为奇数;n为偶数.1.3性质(1)an…     

对一道课本习题解答的完善

人教社2005年1月出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5A版P39B组第4题:已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1 3an-2(n≥3),对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?教参中给出的解答有两个缺陷,1)解法上的缺陷,对和式31-32 33-…-3n-3 3n-2分组变为(31 3     

《一道课本习题的变式教学》一文的一点补充

文[1]例谈了an=pan-1 f(n)型数列的通项求法,让笔者受益匪浅.但文[1]中变题2,3,4,7最后在方法点评上似有不妥,今冒昧提出,与大家讨论.我们先看变题2:已知数列{an}中,a1=21,an=4an-1-3n-1,求an.解将递推式变为an λ·3n=4(an-1 λ·3n-1),即an=4an-1 λ·3n-1.所以λ=-1.则an-3n     

对一道高考题的探究

已知数列{an}的前n项和Sn,满足Sn=2an (-1)n(n≥1).1)写出数列{an}的前3项a1,a2,a3;2)写出数列{an}的通项公式;3)证明对任意的整数m>4有1a4 1a5 … 1am<78.思路分析1)略.2)an=23[2n-2 (-1)n-1](n≥1).3)由于1a4 1a5 … 1am是关于m的递增数列,故不能直接用数学归纳法证明不等式,     

老师我这样做可以么

在高三数列复习课中笔者选择了一道山西的高考题,下面是教学片段.题目:已知数列{an}满足:a1=32,且an=3nan-12an-1 n-1(n≥2,n∈N*),(1)求列数{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,不等式a1a2…an<2.n!.(1)解略an=n1-(31)n.(2)结论化简后,需证:(1-31)(1-312)(1-133)…(1-31n     

从一个案例看问题解决的三条基本途径

案例 数列{an}满足a1+8/7a2+(8/7)2·a3+…+(8/7)n-1·an=n(n+1), (Ⅰ)求数列{an}的通项.     

a_n=(c·a_(n-1) d)/(a·a_(n-1) b)的通项的又一解法

文[1]采用常数消去法,以学生熟悉的特例为依托,简单明了地解决了求分式线性递推数列通项的问题,受此启发,经过研究,笔者得到了另一种解法,现以文[1]的两个例子来说明.例1已知数列{an}中,满足a1=2,且an=3an-1 55an-1 3(n=2,3,…),求数列{an}的通项公式.解引入参数t,使得an t=3an     

一道调研考试题讲评的改进教学与反思

1.问题的提出今年一月底我校组织了高三调研考试,其中数学试卷倒数第二题是数列题,题目如下:已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n≥2),且a4=81.(1)求数列的前三项a1,a2,a3;     

由数列和的关系求数列

在给定的条件下 ,求数列的通项、数列的前n项和等问题是数列中非常重要的一个类型 .当已知条件与数列前n项和有关时 ,这类问题的解决比较复杂 ,它也是数列教学中的难点 .那么 ,能否给出一种统一的求解方法呢 ?1　由条件Sn=f(t)Sn- 1 + g(t) (t∈R ,n≥ 2 )求数列例 1　设数列 {an}的首项a1 =1 ,前n项和Sn 满足 3tSn=( 2t+ 3)Sn - 1 + 3t (t >0 ,n≥ 2 ) .求数列 {an}的通项公式以及前n项和Sn.分析　求数列 {an}的通项公式an,常用的方法有两种 .第一 ,证明数列 {an}为等差或等比数列 ;第二 ,求出数列 {Sn}的通项公式Sn,由an=Sn-Sn- 1 可…