利用相似三角形基本图形解题

<正>在解决有关相似三角形问题时,若能巧妙利用基本图形,则会使解题既轻松又快速准确.灵活运用A字型、X字型、斜截型等基本图形是解题的关键.1.相似三角形典型例题及分析例1如图1,在△ABC中,点D、E分AB、AC边上,DE∥BC,若AD∶AB=3∶4,AE=6,则AC等于().     

平面向量基本定理的面积表示及其应用

在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE …     

例谈连体双胞胎图形在解题中的应用

<正>相似三角形判定定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.如图1,△ABC∽△ADE,上图我们俗称A型图.如果我们规定:(1)公共顶点A称为连体点,(2)△ABC和△ADE称为连体三角形,(3)∠BAC=∠DAE称为连体角,(4)具有连体点的边AB、AC、AD、AE称为连体边,AB与AD、AC与AE称为连体对应边.(5)以连体点为旋转中心,将连体图形旋转分     

浅谈共边共角三角形解题模型

<正>本文介绍一种相似三角形中常见的解题模型——"共边共角"三角形.新人教版教材数学九下第35页例2:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D;求AD的长.分析由∠A=∠A,∠C=∠EDA容易证得△AED∽△ABC,再根据相似三角形对     

三等分线段的方法及其推广

初中已经学过用平行线方法三等分线段.现在向大家介绍另一种尺规法来三等分线段.这种方法由“垂线法三等分线段”和“尺规作线段垂线”组合而成.一、垂线法三等分线段如图,AD=DE=EC,FE、HD都垂直AC,又AC⊥AB,PF⊥FE,QH⊥DH.不难得出P、Q是AB的三等分点.(平行线等分线段定理)     

巧构造,妙解题

<正>前几天的考练中,有这样一道几何题:在等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,在三角形内有一点D,使得AB=DB,AD=CD,求∠ABD的度数.起初,因为老师讲过类似的题目,只是条件改变了,所以我首先想到了用"垂线法"解决这个问题,具体如下:过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.容易证明四边形AMDN是矩形,因此AN=DM.∵AD=CD,DN⊥AC,∴DN为线段AC的中垂线,则AN=     

三角形三边关系的应用

<正>本文介绍三角形三边关系的应用在几种几何图形中的拓展与思考,供参考.一、直接确定线段的取值范围例1如图1,已知■ABCD中,AB=6,AD=8,试求:对角线AC的取值范围.分析要想求AC的取值范围,要把AC与已知线段AB、AD转化在一个三角形中,进而用三角形中边与边的关系,得AC的取值范围.解∵四边形ABCD是平形四边形,     

一道赛题的多种解法

<正>图1赛题("《数学周报》杯"2013年全国初中数学竞赛试题)如图1,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,MF∥AD,则FC的长为.图2解法1如图2,设点N是AC的中点,连接MN,则MN∥AB.又MF∥AD,所以∠FMN=∠BAD=∠DAC=∠MFN,所以FN=MN=12AB.因此FC=FN+NC=12AB+12AC=9.解法2如图3,过点C作AD的平行线交BA的延长线于E,延长MF交AE于点N.则∠E=∠BAD=∠DAC=∠ACE,所以AE=AC=11.     

三角形的五心初谈(三)

<正>5与五心联系的一些竞赛题选讲例20 O,H分别是锐角三角形ABC的外心和垂心,点D在AB上,使得AD=AH;点E在AC上,使得AE=AO.求证:DE=AE.证明作锐角三角形ABC的外接圆,圆心O在形内,垂心H也在形内.连接CO并延长交圆于F,连接AF,BF,OB.易知AHBF为平行四边形,所以BF=AH=AD;FO=AO=AE;     

初二几何第二学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .若一个梯形的中位线长为 1 5 ,一条对角线把中位线分成两条线段 ,这两条线段的比是 3∶2 ,则梯形的上、下底长分别是 .2 .点D在△ABC内 ,连结BD并延长到E ,连结AD ,AE .若∠BAD =2 0° ,AB∶AD =BC∶DE =AC∶AE ,则∠EAC =度 .3 .在△ABC中 ,AC >AB ,点D在AC边上 (点D不与A ,C重合 ) .若再增加一个条件就能使△ABD∽△ACB ,则这个条件可以是 .4.一个三角形的三边长分别为 2cm ,5cm ,6cm ,与它相似的另一个三角形的最大边长为 1 5cm ,则它的周长为cm .5 .小华为班级设计了一个…     

一道经典几何题的证明和推广

<正>1问题呈现如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC的中点,AD垂直于BM于点E,交BC于点D.求证:∠AMB=∠CMD.本题是梁绍鸿先生的名著《初等数学复习及研究(平面几何)》中,关于相等的证题术的第1个例题,梁先生在思索方法中指出:就图形来看,∠AMB与∠CMD所属的各对三角形(如△AMB与既不全等,也不相似,故应设法就原有图形添加辅助线构造全等三角形(或相似三角形).     

数学思想引路 思维方法当先—一堂“优化思维教学”课回顾

笔者在一堂初中数学竞赛培训课上,选用了1998年全国初中数学竞赛第11题,有意识地用数学思想引路,引发学生创造性思维,得到了多种精巧(异于参考答案)的解答.师生意浓浓、乐融融.课后细品其妙,仍意犹未尽,今欣然举笔,整理成文.图1BAECF题:如图1,在等腰直角三角形ABC中,AB=1,∠A=90°,点E为腰AC的中点,点F在底边BC上,且FE⊥BE,求△CEF的面积.(1998全国初中数学竞赛第11题)1　构造思想思维方法1:构造一个与三角形CEF全等且其面积易于计算的三角形.取BC的中点D,连AD、DE,则AD⊥BC,DE⊥AC(如图2),设AD与BE相交于G,则在△CEF与…     

一道中考题的多种证明和拓展

<正>题目(2016·江西)如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC于点F,交过点C的切线于点D.求证:DC=DP;一、本题的多种证明证法1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

三角形等角线的一个新性质

本文将给出三角形等角线的一个新性质 :定理　设 AD、AE是△ ABC的等角线(∠ BAD =∠ CAE,如图 1 ) ,且△ ABD、△ ACE的内切圆分别与BC相切于点 M和 N,则1MB 1MD=1NC 1NE.图 1证明　如图 1 ,由切线长公式得MB =12 ( AB BD - AD) ,MD =12 ( AD BD - AB) ,NC =12 ( AC CE - AE) ,NE =12 ( AE CE - AC) .所以 ,有BD .NC .NE= BD4( AC CE - AE) ( AE CE - AC)= BD4( CE2 - AC2 - AE2 2 AC .AE)= 14[BD( CE2 - AC2 - AE2 ) 2 BD.AC.AE],1CE .MB .MD= CE4( AB BD - AD) (…     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①     

相似三角形与方程相结合

如图,正方形AB-CD中,过点D作DP交AC于点M、交AB于点N、交CB的延长线于点P,若MN=1,PN=3,求DM的长.这道题引起我兴趣的是,求DM的长的时候,一定要用到相似三角形,而与DM边有关的任何一对相似三角形,它们的对应边至少有两个未知量,有的更多,所以用一对相似三角形对应边成比例的办法是求不出DM的长的.这就为解题增加了难度,当想到未知量较多时可用方程组解题的办法时,我的眼前一亮,我把题中所有的相似三角形都列出来,分成几     

三角形的一个共点线

定理　三角形一内角平分线分原三角形为两个新的三角形 ,两个新三角形的内心和该内角的外角平分线与对边延长线的交点三点共线 .已知 :如图 2 ,△ ABC中 ,AD、AE分别为∠ BAC的内、外角平分线 ,D、E分别为 AD、AE与直线 BC的交点 ,I1,I2 分别为△ ABD,△ ADC的内心 .求证 :I1、I2 、E三点共线 .先证一个引理 .图 1　　　　　　　　图 2引理　如图 1 ,I为△ ABC的内心 ,过 I点的直线 PQ交 AB于 P,交 AC于 Q,则有 :1AP 1AQ=AB BC ACAB .AC .证明　连接 AI,BI,CI,过 I作 ID⊥ BC于 D,作 IE⊥ AC于 E,作 IF…     

等顶角、共顶角顶点的等腰三角形

<正>三角形是平面几何中的基本图形之一,等腰三角形又是特殊的三角形,如果两个等腰三角形顶角相等且共顶点,又能产生什么样的"火花"呢?问题一已知:C是线段AB所在平面内任意一点,分别以AC、BC为边,在AB同侧作等边三角形ACE,等边三角形BCD.如图1,当点C在线段AB上移动时,AD=BE是否总成立?证明你的结论.证明∵△ACE是等边三角形,∴AC=CE,∠ACE=60°.∵△BCD是等边三角形,∴BC=CD,∠BCD=60°.∴∠ACE=∠BCD.     

构造相似三角形解几何计算题

<正>有这样一道几何计算题,图形简洁,但解法众多,每种解法都离不开构造相似三角形.题目如图1,在△ABC中,D是边AC上一点,E是BD的中点,且∠DCE=∠ABD,若AB=3,AC=4,求CD的长.解法1延长DC到点F,使CF=DC,连接BF,如图2.     

中考题中的调和点列

1.调和点列的概念和性质。定义1^[1]如图1,对于线段AB的内分点C与外分点D,若AC/CB=AD/DB,则称C、D调和分割线段AB(或线段AB被C、D调和分割),或称点列A、B、C、D为调和点列.在射影几何中,①式写成AC·AD/BC·BD=-1(AC·AD/BC·BD称为点列A、B、C、D的交比,记为(AB,CD)).