不等式研究成果集锦(8)

88.在△ABC中,当n=4,5,6时,有∑cosnA≥1+8(3.2-n-1)∏sinA2.(黄拔萃.1999,2)89.△ABC三边长分别为a、b、c,其对应中线分别为ma、mb、mc,则　　∑ama≥4∑ma∑a,当且仅当△ABC为正三角形时取等号.(尹华焱,褚小光.1999,2)90.在△ABC中,三条中线分别为ma、mb、mc,三条角平分线分别为ta、tb、tc,半周长为s,则3∑t2a.∑m2a≥s2∑mbmc.(褚小光.1999,2)注:这是杨学枝提出的猜想,褚小光予以证明.91.设H′为伪垂心,过H′的Cave线长分别为f1、f2、f3,AH′、BH′、CH′长分别为R1、R2、R3.对应的Cave线的剩余部分分别为r1、r2、r3,△ABC三边长为a、b、c,E′F′=a′,D′E′=b′,D′F′=c′,若△ABC为锐角三角形,则(i)∑a′k≥2-k∑ak(k≥1);(ii)∑Rk1≤(23)k∑fk1(0     

不等式研究成果集锦(5)

48.△ABC三边长为a、b、c,半周长为s,则　∑(s-b)2 (s-c)2b2 c2≥∑sin2A2≥∑2(s-a)2b2 c2≥34.(褚小光.1998,5)49.在△ABC中,ma、mb、mc,ta、tb、tc,ha、hb、hc,ra、rb、rc,分别表示其中线、角平分线、高线、傍切圆半径,R与r分别为△ABC的外接圆与内切圆半径,则(1)Rr≥∑m2a∑mbmc ∑mbmc∑m2a,∑t2a∑tbtc ∑tbtc∑t2a,∑h2a∑hbhc ∑hbhc∑h2a,∑r2a∑rbrc ∑rbrc∑r2a.(2)Rr≥∑ma9r 9r∑ma,∑ta9r 9r∑ta,∑ra9r 9r∑ra.(尹华焱.1998,5)50.在△ABC中,三边为a、b、c,其对应边上的高分别为ha、hb、hc,则(i)∑(b-c)2≥19∑(b ca)2…     

一个三角形不等式猜想的否定

文[1]中,褚小光先生建立了一个涉及三角形中线和旁切圆半径的不等式:　　　　∑1m2a r2a≤92s2.(1)并且提出了如下猜想:　　　　∑1m2a r2a≥6∑a2.(2)其中a、b、c为△ABC的三边,ma、mb、mc,ra、rb、rc分别为三边上的中线和旁切圆半径,s为半周长.本文否定这一猜想,并得到定理　在非钝角三角形ABC中,有　　　　∑1m2a r2a≤6∑a2.(3)证明　根据三角形中线公式ma=122b2 2c2-a2,旁切圆半径公式ra=△s-a以及海伦公式△=s(s-a)(s-b)(s-c)(△为△ABC的面积),(3)式等价于　　　　∑a2 b2 c2m2a r2a-6≤0　∑(a2 b2 c2)-2(m2a r2a)m2a r2a≤0　…     

Euler不等式的一个加强

设△ ABC的三边长为 a、b、c,对应的中线长为 ma、mb、mc,高线长为 ha、hb、hc,△、p、R、r分别表示△ ABC的面积、半周长、外接圆半径、内切圆半径 ,以∑ 表示循环和 ,∏ 表示循环积 .众所周知 ,三角形的中线长和高线长有如下关系 :ma ≥ ha,　 mb≥ hb,　 mc≥ hc.本文利用上述关系建立 Euler不等式R≥ 2 r的一种加强形式 .定理 [1]　在△ ABC中 ,有R - 2 r≥ ∑ ma - ha2 (1 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .为证明定理 ,先证明下面引理 .引理　在△ ABC中 ,有ma≤ 1 6△ 2 (b3 c3 ) ∑a2 ∏ 2 a2 bc ,(2 )等号当且仅当…     

关于三角形中线的一个不等式

文 [1 ]给出了关于三角形中线乘积的一个不等式 :mambmc≥ 18R∑b2 c2 ( 1 )本文将给出中线乘积的一个上界 ,以下恒用 a,b,c,ma,mb,mc,s,R,r和△分别表示△ ABC的三边边长、中线、半周长、外接圆半径、内切圆半径和面积 .并用 ∑ 表示循环和 ,Π表示循环积 .定理　在△ ABC中 ,有mambmc≤ R8(∑a) 2 (2 )当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 .证明　由中线公式 4 m2a =2 b2 2 c2 - a2 ,知64m2am2bm2c =Π( 2 b2 2 c2 - a2 )=- 4( ∑a2 ) 3 1 8∑a2 ∑b2 c2 - 2 7Πa2故 ( 2 )式等价于- 4( ∑a2 ) 3 1 8∑a2 .∑b2 c2 -2 7Πa2 …     

不等式研究成果集锦（4）

37.△ ABC三边长为 a、b、c,其对应中线分别为ma、mb、mc,R与 r分别为此三角形的外接圆半径与内切圆半径 ,则(i) ∑(maa) 2 ≤ (Rr) 2 (rR) 2 - Rr;(ii) ∑ mbmcbc ≤ 14 Rr;(iii) ∑ maa ≤ (Rr) 2 (rR) 2 Rr 12当且仅当△ ABC为正三角形时 ,上述各式取等号 .(马统一 .1     

外角平分线构成的三角形的又一个性质

定理如图,△DEF是△ABC的三条外角平分线构成的三角形,△ABC与△DEF的三条中线分别为ma、mb、mc及md、me、mf,则m2d+m2e+m2f≥4(m2a+m2b+m2c)(正三角形)(1)     

关于三角形旁切圆半径的一个有趣性质

文[1]曾老师给出了三角形中关于角平分线的一个优美不等式,即定理1 a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,那么有1/(wa4)+1/(wb4)+1/(wc4)≥1/(a4+b4+c4) (1)文[2]安老师把不等式(1)加强为定理2 a,b,c是△ABC的三边,ma,mb,mc为△ABC的中线,那么有1/(ma4)+1/(mb4)+1/(mc4)≥16/(a4+b4+c4) (2)经笔者探究发现三角形旁切圆半径也有以上有趣性质.     

Shc 93的证明

设 P是△ ABC内任意一点 ,△ BPC、△ CPA、△ APB的外接圆半径分别为 Ra、Rb、Rc、∠ A、∠ B、∠ C的内角平分线分别为 wa、wb、wc,相应边上的中线分别为 ma、mb、mc.∑ 表示对 a、b、c循环求和 .刘健在文 [1 ]中提出了如下猜想 :Shc93　∑ Rama wa≥ 1 ( 1 )本文证明猜想不等式 Shc93成立 .先给出下面两个引理 :引理 1 [1] 　设 P是△ABC内任意一点 ,记∠ BPC=α,∠ CPA=β,∠ APB=γ,则有tan A2sinα tan B2sinβ tan C2sinγ≥ 2 ( 2 )引理 2　 ma wa≤acot A2 ,a2 ,当 A≤π- arccos13时 ;当 A≥π- arccos13时 .(…     

中线三角形的几个性质

在△ABC中,记三条边a,b,c上的中线依次为ma,mb,mc,外接圆半径为R,内切圆半径为r,面积为△．     

外角平分线三角形的一个不等式的上界估计

文[1]提出并证明了如下:定理△DEF是△ABC的三条外角平分线构成的三角形,△ABC与△DEF的三条中线分别为ma、mb、mc及md、me、mf,则m2d m2e mf2≥4(m2a m2b m2c)(1)这里给出(1)式的一个上界估计,有m2d m2e m2f≤2Rr(m2a m2b mc2)(2)证明由文[1]知m2d m2e m2f=24R2 6R r(3)m2a m2     

shc66的再加强

刘健先生在文 [1]中提出 10 0个待解决的三角形不等式问题 ,其中第 66个问题是shc66　设△ ABC三边 a、b、c上的高线长和中线长分别为 ha、hb、hc,ma、mb、mc,∑ 表示循环和 ,则　　∑ hamb+ mc ≤ 32 ( 1)文 [2 ]中 ,吴跃生先生证得较 ( 1)式强的一个不等式　　∑ hambmc≤ 3 ( 2 )从而解决了 shc66.本文进一步加强不等式 ( 2 ) ,得到下述定理　在△ ABC中 ,有∑( hambmc+ hbmcma) 2≤ 12 ( 3 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .证明　设△、p、R、r分别表示△ ABC的面积、半周长、外接圆半径、内切圆半径 ,则( 3 )式 ∑( △a m…     

不等式研究成果集锦(11)

131在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,当max( A,B,C)≤ (π - crccosk)时 ,有　 ∑ a2b2 c2 ≤ 2 k2 5k 52 k 3,( 12 ≤ k <1 )当△ ABC为顶角为 (π - arccosk)的等腰三角形时取等号 .(褚小光 .2 0 0 0 ,2 )1 32　在△ ABC中 ,三边长为 a、b、c,则i) ∑ a3b3 c3<389;ii) ∑ a4b4 c4<1 381 7.猜想 ,当 n≥ 2时 ,有∑ anbn cn <2 n-1 22 n 1 .(褚小光 .2 0 0 0 ,2 )1 33　设△ ABC三边长为 a,b,c,则∑( - a b ca ) λ ≥ 3,其中λ≥ p =log2 3- 1 =0 .584 96 2 5… ,且 p是使不等式成立的最小正数 .猜想　设 0≤ xi <1 (…     

一个几何不等式的证明

设P是△ABC平面上一动点,关于和式PA+PB+PC的下界用三角形常见元素表示的不等式有很多好结论.本文将建立和式PA+PB+PC的一个漂亮、简洁的不等式,并由之推证两个稍弱的不等式.以下恒用a、b、c,ma、mb、mc、ha、hb、hc分别表示△ABC相应的边长,中线和高,以s,△,r分别表示△ABC的半周长,面积和内切圆半径.     

一个轮换对称不等式的证明

文[1]中,证明了一个优美的三角形轮换对称不等式　　∑a2≥4△b2a2+c2b2+a2c2.(1)不等式(1)经变换等价于∑m2ah2a≥12(b2a2+c2b2+a2c2)+32.(2)其中a、b、c,ma、mb、mc,ha、hb、hc,△分别表示△ABC的三边长,中线,高及面积.本文将给出类似不等式(2)的一个结论.定理　在△ABC中有　　∑m2aa2≥34(b2a2+c2b2+a2c2).(3)证明　先将(3)式右边进行恒等变换可得　2(b2a2+c2b2+a2c2)=b2a2+c2b2+a2c2-a2b2-b2c2-c2a2+∑(c2b2+b2c2)=(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2+∑b2+c2a2.而　　∑4m2aa2=∑2b2+2c2-a2a2=2∑b2+c2a2-3,所以(3)式等价于　14(2∑b2+c2a2-3)≥38[(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2+∑b2+c2a2]上式化简整理∑b2+c2a2-6≥3(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2　∑a2(b-c)2　≥3(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2).(4)(4)式左...     

对一个中线不等式的再探讨

笔者曾在又［1」中给出了一个中线不等式，其结论较弱，在不文里，我们将进一步探讨文［1］中提出的问题．本文将统一采用以下记号：在△ABC中，三边长为BC=a，CA=b，AB=c，其对应中线分别为ma、mb、mc，R、r分别为△ABC的外接圆半径和内切圆半径，“∑”麦示循环和，“Π”表示循环积．定理在△ABC中，有当目仅当面ABC为正三角形时，（1）式取等号．为证定理，需用到以下几个引理．引理1在△ABC中，有当且仅当△ABC为正三角形时，（2）式取等号·引理1的证明可参见文［2］．引理2在△ABC中，有当且仅当△ABC为正三角形时，（3…     

对一道猜想题的进一步加强

文[1]曾提出如下猜想，即Shc43（b）在ABC中，证明或否定其中ma、mb、mc、ra、rb、rc分别表示BC、CA、AB边上的中线及旁切圆半径．（1）式是成立的，笔者在寻求不等式（1）的证明过程中，注意到即有4mbmc≤2a2＋bc，类似还有两式，由此得到了较（1）更强式：今证（2）式．由对称性，不妨设a≥b≥c，应用旁切圆半径公式及半角三角函数有关公式，得到由对称性，不妨设a≥b≥c，则（2）式获证．由于（2）式kb（1）式强，故知（1）式成立．对一道猜想题的进一步加强@褚小光$江苏省吴县市外贸公司!2151281刘健.100个待解决的三角形不等式问题…     

伴内心三角形的一组优美不等式

定理　设△ ABC与其伴内心△ A′B′C′的边长分别为 a,b,c与 a′,b′,c′;外接圆半径分别为 R与 R′;内切圆半径分别为 r与 r′;半周长分别为 s与 s′;面积分别为△与△′.则有　△′≤ 14△　 ( 1 )　　　 R′≥ 14R ( 2 )　 s′≥ 12 s ( 3) r′≤ 12 r ( 4)等式成立当且仅当△ ABC是正三角形 .笔者在文 [1 ]中建立了不等式 ( 1 ) ( 2 ) ,今另辟蹊径建立了不等式 ( 3) ( 4) ,先介绍 :引理　 (第二届友谊杯国际数学邀请赛试题 )设 a,b,c都是正数 ,则a2b c b2c a c2a b≥ a b c2 . ( 5)证明　由伴内心定义 ,AC′C′B=ab…     

欧拉不等式的六层隔离——几何画板用于初等数学研究一例

1问题的提出人们熟知:9r≤(1)ha hb hc≤(2)ia ib ic≤(3)ma mb mc≤(4)92R(Ⅰ)式中a,b,c表示△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,ha,hb,hc;ia,ib,ic;ma,mb,mc分别表示过A、B、C三点的高线,角平分线及中线的长.最初笔者猜想,有以下不等式链:3r≤(1)31ha 1hb 1hc≤(2)3hahbhc≤(3)ha hb h     

IMO试题与欧拉不等式

1　欧拉不等式设△ ABC外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,则有　 R≥ 2 r ( 1 )下面寻找该不等式的几种等价形式 .记△为△ ABC的面积 ,s为半周长 ,则△ =rs=abc4R,∴　 4R△ =abc,8△2s =8r△ ,从而 R≥ 2 r等价于 abc≥ 8△2s,由海伦公式 ,又可得欧拉不等式的另一等价形式abc≥ 8( s- a) ( s- b) ( s- c) ( 2 )式 ( 2 )又等价于abc≥ ( b c- a) ( c a- b) ( a b- c) ( 3)对式 ( 3)简证如下 :a2≥ a2 - ( b - c) 2=( a b - c) ( c a - b) ,b2 ≥ b2 - ( c- a) 2=( b c- a) ( a b - c) ,c2 ≥ c2 - ( a - b) 2=( c a - b) (…