函数的最大值与最小值

随着高中数学学习的深入 ,我们常常会遇到各种各样的求最大值和最小值的问题 .解决函数的最值 (最大值与最小值 )问题涉及的知识面较广 ,解法也是多种多样的 .下面就是我对处理函数最值问题的几点心得体会 .1　配方法例 1　设x ,y是实数 ,求u =x2 +xy +y2 -x- 2 y +3的最小值 .解 :u =x2 +xy +y2 -x - 2 y +3=[x2 +(y - 1)x +(y - 1) 24 ]+y2 - 2 y +3- (y - 1) 24=(x +y - 12 ) 2 +34(y2 - 2y +1) +2=(x +y - 12 ) 2 +34(y - 1) 2 +2≥ 2 .当且仅当x =0 ,y =1时取等号 ,所以u的最小值为 2 .(同样 ,也可以 y为主元进行配方 ,读者不妨一试 )…     

探究二元不等式链的间距问题

利用基本不等式√ab≤(a>0,b>0),容易证明如下二元不等式链:若x,y∈R⁺,则x²+y²/2√xy≥x²+y²/x+y≥√x²+y²/2≥x+y/2≥√xy≥√2xy/x+y≥√2xy/√x²+y².     

函数的最大值与最小值

对于函数y=f(x1,x2,…,xn),若存在常数a,使y≥a恒成立,且等号确能取到,则称a为y的最小值;类似地可以定义y的最大值.数学竞赛中的最值问题往往需要综合数学各分支的知识灵活处理.下面通过一些例子来说明解最值问题的一些常用技巧.1利用函数的性质例1求二元函数f(x,y)=x2 4xy 2y2     

最值问题例谈

在初中数学竞赛试题中,常常出现求最大值或最小值问题.除了利用二次函数的配方法求最值外,通常还借助于不等式“a+b≥2(?)”及一元二次方程的根的判别式“△”求解.灵活利用“a+b≥2(?)(a≥0,b≥0)”这个重要而基本的不等式,可以解决不少竞赛中棘手的最值问题.例1(2002年上海初中数学竞赛)若正数x、y、z满足xyz(x+y+z)=4,求(z+y)(y+z)的最小值.分析代数式(x+y)(y+z)展开整理可     

例谈一类最值问题的统一解法

在求多元函数最值时,常常会遇到求某二元齐次式的最值问题,这类问题解法多种多样,灵活多变．本文介绍解决这一类问题巧妙的统一的解法,供参考．例1 (1993年全国高中数学联赛)实数x,y满足4x2-5xy 4y2=5,设S=x2 y2,     

例谈三种最值求法

<正>根据已知等式利用基本不等式等方法求最值,是一类常见题目.本文通过三个题目归纳这类问题的三种常用解法.题1设x>0,x²+y2+y²/2=1,求x(1+y2/2=1,求x(1+y²)2)¹/2的最大值.题2设x,y为实数,4x1/2的最大值.题2设x,y为实数,4x²+y2+y²+xy=1,求2x+y的最大值.题3设正数x,y满足1/x+2/y=1,求x+y的最小值.一、基本不等式基本不等式三个使用条件"一正、二定、三取等"中"定"是关键,解题时需根据题意构造"定积"或"定和".利用基本不等式解题的模式     

多视角探究一道竞赛题的解法

<正>2016年河北省高中数学竞赛高二年级组第7题是:实数x,y满足x²+y2+y²+xy=3,则x2+xy=3,则x²+y2+y²的取值范围是_________.这是一道二元最值问题,经过探究,发现可以从多个视角进行求解.视角一不等式法解法1因为x2的取值范围是_________.这是一道二元最值问题,经过探究,发现可以从多个视角进行求解.视角一不等式法解法1因为x²+y2+y²≥2|xy|,     

等号不成立时的若干处理途径

最值问题往往涉及的知识点多 ,覆盖面广 ,综合性强 ,它是高考考查的一项重要内容 .利用不等式中的等号成立求最值是解决最值问题的主要方法 .学生在利用这种方法求最值时 ,常常会发现等号不能成立 ,得到的是错解 .但此时往往束手无策 ,一筹莫展 .那么 ,出现这种情况后 ,又该如何走出困境 ?本文介绍几种常见途径 ,供参考 .1　 利用函数单调性解题例 1　求 y =x2 + 5x2 + 4的最小值 .错解　∵　 y =x2 + 5x2 + 4=x2 + 4+ 1x2 + 4≥ 2 ,∴　 y的最小值为 2 .分析　因为 x2 + 4≠ 1 ,所以 y取不到最小值 2 .不等式问题可以看成函数的一个分支 ,…     

用平均值不等式求极值时正数的匹配

用不等式,x+y≥2(xy)~(1╱2)(x,y都为正数)求极值是《不等式》的教学重点之一。由此不等式得出定理:设x、y是正数,如果和x+y(积xy)是定值,那么当x=y时,积xy(和x+y)有最大(小)值。即若两个正数之和为常量,则当两数相等时,其积有最大值;若两个正数之和为常显,則当两数相等时,其和有最小值。这个定理     

x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx的应用

“一般向特殊”的推理称作演绎推理,一个公式在特值(或部分特值)下的应用称作演绎应用。在教学过程中不失时机地向学生介绍公式的演绎应用,无论是丰富知识,还是培养能力,都是有益的事。对不等式 x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx(当且仅当x=y=z时取等式)作演绎变换,如取 z=c(常数),可得不等式 x~2+y~2+c~2≥xy+c(x+y) (当且仅当x=y=c时取等号)。这个“演绎不等式”有多种用途。例1 (解特殊的二元二次方程)解方程 9x~2+6xy+4y~2-3cx+2cy+c~2=0。解原方程化为 (3x)~2+(-2y)~2+c~2 =(3x)(-2y)+c(3x-2y)。由演译不等式可知,等号成立的条件是:3x=-2y=c。故原方程的解为     

不等式问题错解八例

本文列出八道不等式问题的错误解答 ,他们集中反映了中学生学习不等式时常犯的错误 ,你能知道错在哪里吗 ?正确解法又是什么 ?今后如何避免类似错误的发生 ?请先独立思考 ,然后再看错解分析与正确解答 .1)已知x ,y∈R+ ,且x +y =9,求 1x+9y的最小值 .错解 :∵ 1x +9y ≥ 2 1x·9y =6xy≥6x +y2=12x +y=129=43 ,∴ 1x+9y min=43 .2 )已知 0 0 ,∴m +8mx -x2 =m -x +x +8x(m -x) ≥ 33 (m -x)·x· 8x(m -x) =6,∴ m +8mx -x2 min=6.3 )不等式 (a2 -9)x2 +2 (a -3 )x -2 …     

一道数学竞赛题的研究

题目1(2012年上海市高中数学竞赛题)正实数x,y,z满足9xyz+xy+yz+zx=4,求证:(1)xy+yz+zx≥43;(2)x+y+z≥2.分析上面不等式等号成立当且仅当x=y=z=23,这时xy+yz+zx=43,x+y+z=2.对于第(1)小题只要将条件9xyz+xy+yz+zx     

两道高考题的几何视角

2011年浙江省高考(文理)数学试卷中,有以下两道姊妹填空题:1.(文科题)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是____.2.(理科题)设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是____.上述两道高考题,形式稍异,真谛相同.均为在一个二元二次条件等式下,求二元线性目标函数的最大值.     

条件"x+y=1"下1/xn+λ/yn的最小值

1　问题的提出我们经常遇到下列问题 :(1)已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x 4y 的最小值 ;(2 )已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x2 8y2 的最小值 ;问题 (1)“用 1代换”不难求得 :1x 4y =(1x 4y) (x y)　　 =5 yx 4 xy ≥ 5 2 yx .4 xy =9,当且仅当 yx =4 xy,即　 y =2 x时取等号 .问题 (2 )能否“用 1代换”呢 ?1x2 8y2 =(1x2 8y2 ) (x y) ,　 =1x 8y yx2 8xy2 ,虽然有　 1x 8y ≥ 2 8xy ,yx2 8xy2 ≥ 2 8xy 且　 1xy≥ 2x y,但三式等号分别在 y =8x,y =2 x与 y =x时成立 ,故等号不能同时成立 .在 (1x…     

一道最值问题的发散思维

例求曲线C:槡x+槡y=1上的点到原点的距离的最小值.分析一在使用基本不等式求最值时,凑定值是解题的重要一环.本题中虽然有定值"1",但与曲线上的点P(x,y)到原点的距离x2槡+y2所要求的定值无直接的关系.可以考虑用"中间量"x+y来联系槡x+槡y与x2+y2.解法一设点P(x,y)是曲线C上的任意一点,则1=(槡x+槡y)2=x+y+2槡xy,结合基本     

二元不等式（组）解集的图示及应用

对于不等式 ｇ(ｘ ,ｙ)≤ 0 ,或 ｇ(ｘ ,ｙ)≥0 ,若曲线 ｇ(ｘ ,ｙ) =0将平面分成两部分 ,则不等式的解集通常是其中的一部分 ,利用平面上的点集表示二元不等式 (组 )的解集 ,可为求以二元不等式 (组 )为约束条件的某些二元函数的最值提供方便 ,新教材中关于线性规划问题的求解正是这一思想的体现 .例 1　已知ｘ + ｙ≤ 4ｘ - 2 ｙ≤ 03ｘ - ｙ≥ 0( 1 )( 2 )( 3)求ｘ2 + ｙ2 的最大值 .图 1　例 1图解　如图 1 ,不等式 ( 1 )的解集是直线ｘ+ ｙ =4下方的半平面 .不等式 ( 2 )的解集是直线ｘ - 2 ｙ =0上方的半平面 .不等式 ( 3)的解集是直…     

二元条件下求最值的解题策略

<正>题目设x,y为实数,若4x²+y2+y²+xy=1,则2x+y的最大值是_____.本题是一个在二元条件下求最值的问题.题目短小但内涵丰富.对于这类二元条件下的最值问题,常常出现于近年模拟卷、高考卷或竞赛卷中.下面,笔者从不同的视角切入,给出这一典型试题的多种解法,供广大高中生学习参考.     

圆锥曲线中最值问题求解的五个转化

本文从五个转化中探求圆锥曲线最值问题的一般解法.一、转化为常见函数的最问题此法一般是直接设点,列式求解析式,转化成目标函数,利用函数或不等式的性质解决最值问题.例1一只酒杯的轴截面是抛物线一部分,它的函数解析式2y=x2(0≤y≤20)若在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,求玻璃球的半径r的取值范围.解析:本题即可转化为抛物线上到圆心A(0,r)的距离最短的点为抛物线的顶点,设抛物线上点M的坐标为(x,y)则y≥0,|MA|=x2+(y-r)2=(y-r)2+2y=[y-(r-1)]2+2r-1(y≥0)根号下为关于y的二次函数最值问题,其对称轴为y=r-2,∴其对称轴y=r-1≤0,…     

对条件最值问题的思考

本文通过对一道最值问题的多角度思考 ,来说明求最值时的一些常用思想方法 .题目　已知x >0 ,y >0 ,xy -(x +y) =1,求x +y的最小值 .思路 1　由于已知条件中x、y的地位均等 ,x、y实际上是对称的两个量 ,因此 ,从对称的角度我们可以猜想当且仅当x =y时 ,x +y取得最小值 (波利亚的解题思想 ) .解法一　 (猜想 )　若x =y ,则　x2 -2x -1=0 ,∴　x =1± 2 .∵　x >0 ,　∴　x =y =1+2 .故猜想x +y的最小值为 2 +2 2 ,以下工作只是“补行手续”(波利亚语 ) .思路 2　若将x +y看作为一个整体变元 ,问题则变更为设法消去xy项 ,寻求关于x+y的等式或…     

“分步法“巧证分式不等式

常言道:“饭要一口一口地吃”.面对千姿百态的分式不等式,如果一时难以“一步到位”达到证明目的,不妨探究“分步法”,分成两步或多步,逐步实现证明目的.1.将分式不等式化为整式不等式例1设x,y,z∈R+,求证:(y+z)x(yx+z)+(z+x)y(zy+x)+(x+y)z(xz+y)≥43.(《数学教学》1992(6),数学问题289)证明(1)待证不等式可化为整式不等式:x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2≥6xyz;(2)x2y+xy2+y2z+yz2+zx2+z2x≥66x2y·xy2·y2z·yz2·z2x·zx2=6xyz.证毕例2若a,b,c∈R+,求证:a·aa++cb+b·bb++ca+c·cc++ab≥a+b+c.(1992年国际“友谊杯”数学邀请赛试题)证明(1)证…