一道组合题的构图

文[1]中提到一道组合题:有两个同心圆,在外圆周上有相异的6个点,内圆周上有相异的3个点,由这9个点所确定的直线最少有几条?作者给出了直线条数为20的一种构图,并提出问题:最少直线条数有无可能小于20条?本文将给出直线条数为19的一种构图.     

两个同心圆的一类记数问题

题1 有两个同心圆,在外圆周上有不重合的6个点,在内圆周上有不重合的3个点,由这9个点确定的直线最少有( )条.     

解析法证明朗古莱定理及其推广

本文通过建立平面直角坐标系,应用解析法对著名的朗古莱定理及其推广进行巧思妙证. 朗古莱定理在同一圆周上有A1、A2、A3、A4四点,从其中任意三点作三角形,在圆周上取一点P,作P点的关于这四个三角形的西摩松线,再从P点向这四条西摩松线引垂线,求证:四垂足共线.     

由一道高考题引发的一节数学课

一、问题前热身1.在同一平面中,一条直线上有三点A、B、C,直线外有五点,除A、B、C外无任何三点共线,问这八个点一共可以确定多少条直线?通过本题提出“组合”分类思想方法,并为练习3埋下伏笔.二、问题的产生上海市2005年高考理科第11题(文科第12题):有两个相同的直三棱柱,高为2/a,底面三角形的边长分别为3a、4a、5a(a>0),用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有的可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是我把这道题拿到课堂上给学生做,下面是教学片段的记录.三、问题的发展老师:今天请同学们做一道题.三分钟后有两位学生解…     

一道奥数题的新证及推广

在几何中证明三点共线,基本思路是先由两点确定一条直线,然后证明第三点具有直线上点的性质,从而第三点也在直线上.在圆锥曲线中证明三点共线,那条定直线一般都是极线.关于极点和极线,有以下的定理:定理1在给定配极变换下,ξ为点x的极线的充要条件是x是直线ξ的极点.定理2(配极原理)如果点x的极线通过点y,则点y的极线必通过点x.定理3二次曲线的内接完全四点形的对角三角形是曲线的自极三点形.关于二次曲线,可以有:定理4[2]点不在二次曲线上,若存在两条切线,则两切点的连线就是该点的极线;若不     

立体几何中“有关公理问题”的商榷

1　问题的提出无论是老教材还是新教材 ,普通高级中学的立体几何课程里总有以下四条公理 :直线在平面内公理 (公理 1) ;两个平面相交时的交线公理 (公理 2 ) ;不共线三点共面公理 (公理 3) ;三线平行公理 (公理4 ) .其中公理 3的推论 3是 :经过两条平行直线 ,有且只有一个平面 ,对于该推论的证明 ,我们已经知道的有三种 .图 1　平行直线如图 1所示 ,已知 :空间两条直线a和b .且a∥b .求证 :经过直线a和b有且只有一个平面 .证法 1　存在性　根据平面几何的知识 ,平面内不重合的两条直线 ,不相交就平行 ,所以经过互相平行的两条直线a和b ,必定…     

关于联赛一试最后一题的几种解法与联想

20 0 3年联赛考试下来 ,许多学生抱怨一试最后一题难度大 ,花费了太多时间 ,却得不了分 .一些高手也是在前面 14个题一帆风顺的前提下 ,被最后这个具有一定开放性的试题所难倒 .究其根本原因 ,是此题不属陈题 ,有新颖的一面 .下面我们来谈一谈这道试题 .为了使大家了解这个题 ,我们先给出几种常见的证法 .题目　一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A ,且OA =a ,折叠纸片 ,使圆周上某一点A′刚好与A点重合 ,这样的每一种折法 ,都留下一条折痕 ,当A′取遍圆周上所有点时 ,求所有折痕所在直线上点的集合 .图 1　解法 1图　　我们先看一看…     

用平面上点表示的二次曲线的方程

本文得到了如下结论:只要给出平面直角坐标系5个互异且不在同一条直线上的点,就可以确定过这五个点的二次曲线的方程.当这些点满足条件的不同,就形成不同的曲线.当已知曲线的对称轴平行坐标轴时,确定曲线互异的点可以减少到4个,当曲线的类型已知时,确定曲线方程所需要互异的点的数目还可以减少到3个.     

对一道习题的直观分析

1习题平面内过一定点P(x0,y0)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?2直观分析(1)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线分为三类:图3第一类,和直线x-y=0平行的直线系(图1),截距不为0.第二类,和直线x y=0平行的直线系(图2),截距不为0.第三类,过原点且和坐标轴不重合的直线系(图3),截距为0.图4(2)平面内点P(x0,y0)的位置与过点P(x0,y0)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数的关系.①P在原点时,有无数条直线(图3).②P不在原点a)P在坐标轴上时,有且只有2条(图4、图5).P在直线x-y=0和x y=0上时有且只有2条(图6、图7)b)P不属…     

细微之处显提升,拓展之后见高度

题目如图1,平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线,相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度.正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D都在这些平行线上,其中点A、C分别在直线l1和l4上,该正方形的面积是平方单位.     

三角形费马点的再推广

1问题的提出1640年,费尔马提出如下问题:“在平面上给出A、B、C三点,求一点P使距离和PA+PB+PC达到最小.”这就是数学史上著名的“费尔马问题”.特别地,点A、B、C三点不共线时,使PA+PB+PC最小的点P称为△ABC的费尔马点.文[1]把费马点问题推广到“两定点、一条定直线”的情形,下面笔者再对“费马点”问题做出如下推广:推广一在平面内,已知三条定直线l1、l2、l3,在平面内求一点P,使点P到直线l1、l2、l3的距离之和最小.     

两个“三点共线”问题的妙证

<正>问题一^([1])如图1,已知两直线l_1与l_2不平行,A、B、C是l_1上的三点,D、E、F是l_2上的三点,且直线AE与CF交于点G,AD与BF交于点H,BE与CD交于点K.证明:G、H、K三点共线.证明如图1所示,设直线KH分别交直线AE、CF于点G_1、G_2.则欲证G、H、K三点共线,     

新题征展(45)

A.题组新编1.已知椭圆方程 x22 +y24 =1,过椭圆上点 A(1,2 )作两条倾斜角互补的直线 ,与椭圆分别交于异于点 A的点 B和点 C.(1)求直线 BC的斜率 k0 ;(2 )证明 :直线 OA平行于直线 BC;(3)若直线 BC在 y轴上的截距为 2 ,求△ ABC的面积 S1 ;(4)若四边形 OABC为平行四边形 ,求△ ABC的面积 S2 ;(5 )若△ ABC的面积为 S,求 S的最大值 .2 .(1)某区有 7条南北向街道 ,5条东西向街道 (图 1) ,从 A点走向 B点最短路线有多少条 ?(2 )若在第 (1)小题中 ,又要求必须经过C点 ,最短路线有多少条 ?图 1　　　　　　　　图 2(3)图 2是一个城…     

折纸中的数学开放题

数学中折纸问题 ,易于学生动手操作 ,具有很强直观感 ,趣味性强 ,能培养学生空间想象能力 ,是开展研究性学习的好素材 ,因而 ,它成为近几年各类高中考试的热点内容 ,下面举倒说明 .例 1　一张纸上画有半径为R的圆 .和圆内一定点A ,且OA =a .折叠纸片 ,使圆周上某一点A′刚好与A点重合 ,这样的每一种折法 ,都留下一条直线折痕 ,当A′取遍圆周上所有点时 ,求所有折痕所在直线上点的集合 .( 2 0 0 3年全国高中联赛题 )图 1解　如图 1 ,由折法知 ,A′,A两点关于折痕所在直线l对称 ,即l为线段AA′的重直平分线 ,连结OA′交l于P ,则PO +PA…     

两个数学问题的面积法妙证

<正>问题1^([1])如图1,PAB、PCD分别是⊙O的两条割线,交⊙O于点A、B、C、D,AD与BC相交于点Q,若点M、N分别满足四边形MAQC、四边形NBQD都是平行四边形.证明:P、M、N三点共线.证明如图1所示,设直线MN分别交直线AB和CD于点P_1和P_2,则欲证P、M、N三点共线,须证点P_1与P_2重合,     

五立体几何

1.如果平面外的一条直线与这个平面的一条垂线垂直,那么这直线与这个平面平行。 2.已知a、b为两异面直线,由直线a上两点A、B分别引直线b的垂线,垂足为A_1、B_1,已知AB=2,A_1B_1=1;求异面直线a、b所成的角。 3.已知三条射线SA、SB、SC所成的∠ASC=∠BSC=30°,∠ASB=45°;求平面ASC与平面BSC所成的二面角的大小。 4.巳知A、B、 C、D四个点在平面a和平面β之外,A、B、C、D在平面a上的射影是A~1、B~1、c~1、D~1,且这四点在一直线上 A、B、C、D在平     

摆线趣谈

一、问题的提出很早以前 ,人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣 .有人误认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧 ,也有人误认为这个轨迹是一段段的抛物线 .实际上 ,当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时 ,动圆圆周上一个定点的轨迹是一条摆线 ,也叫旋轮线 .二、摆线的方程和图像设圆的半径为ａ ,取圆滚动所沿的定直线为ｘ轴 ,圆周上定点Ｐ落在直线上的一个位置为原点 ,建立直角坐标系 (如图 1) .图 1设点Ｐ(ｘ ,ｙ)为轨迹上任意一点 ,圆心滚动到Ｂ点时 ,圆与直线相切于Ａ点 .取∠ＡＢＰ=θ为参数 ,作ＰＤ⊥Ｏｘ ,Ｐ…     

折线问题中的圆锥曲线——一道试题的推广

2003年全国高中数学联赛有这样一个问题：一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a．折叠纸片，使圆周上某一点A’刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A’取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．     

一道高中数学联赛省级预赛试题的探究

<正>1问题呈现(2019全国高中数学联赛福建省预赛)已知F为椭圆C:x²/4+y2/4+y²/3=1的右焦点,点P为直线x=4上的动点,过点P作椭圆C的切线PA,PB,A、B为切点.(1)求证:A、F、B三点共线;(2)求△PAB面积的最小值.解析(1)要想证明A、F、B三点共线,我们只要求出直线AB的方程,若点F在直线     

帕斯卡定理的面积法证明及应用

<正>帕斯卡定理^([1])圆的内接六边形的三双对边如果分别相交,那么三个交点共线.这是法国数学帕斯卡16岁时发现的一个惊人的定理,发表于1639年.这条共点直线为帕斯卡线.帕斯卡定理可改写成:设六边形ABCDEF内接于圆(与顶点次序无关,即ABCDEF无需为凸六边形),直线AB与DE交于点x,直线CD与AF交于点z,直线EF与BC交于点y,则x、y、z三点共线.