巧设函数证题

很多数学问题,一旦与函数联系起来,研究解决问题的途径便大为广阔。辅设函数证题是证明某些数学命题的有效方法,也是重要技巧。但是,目前有不少学生对它还比较陌生,至少说对这一方法掌握不够。现举数例如下,以兹参考。例1 设a_1cosα_1+a_2cosα_2+…+a_ncosα_n=0, a_1cos(α_1+1)+a_2cos(α_2+1)+…+a_ncos(α_n+1)=0.试证对任何实数β,有 a_1cos(α_1+β)+a_2cos(α_2+β)+…+a_ncos(α_n+β)=0. 证明设函数 f(β)=a_1cos(α_1+β)+a_2cos(α_2+β)+…+a_ncos(α_n+β).     

Hermite-Fejer Interpolation With Moved End Points

Let Z_n={z_(kn)=cosθ_(kn):θ_(kn)=(2k-1)/(2n)π,k=1,2…,n}be the zeros of T_n(x)=cosnθ(x=cosθ,θ∈[0,π]).For 0≤ε≤1,let α_n=:α_n(ε)=:cos(1-ε)/(2n)π,β_n=:β_n(ε)=:cos(2n-1+ε)/(2n)π=-α_n,X_n~(1)=(Z_n-{z_(1z)})∪{α_n},X_n~(2)=(Zn-{z_(nn)})∪{β_n},X_n~(3)=(Z_n-{z_(1n),z_(nn)})∪{α_n,β_n},Y_n~(1)=Z_n∪{α_n},Y_n~(2)=Z_n∪{β_n},Y_n~(3)=Z_n∪{α_nβ_n}.     

1958年9月号問題

375.已知α_1,α_2,…,α_n各数的倒数組成一等差数列。求証: α_1α_2+α_2α_3+…+α_(n-1)α_n=(n-1)α_1α_n。 376.已知x≠y,問|x|+|y|<100有多少組整数解?(x,y与y,x我们认为是不同的)。 377.求証:以定线段为底可作六个等角三角形,使它們的六个頂在同一圆周上。 378.已知一直三棱柱的底是一直角三角形它有一个锐角等于α,所对的直角边长等于     

M 序列反馈函数的构造方法Ⅰ

设 f(x_0,x_1,…,x_(n-1))=x_0+f_0(x_1,…,x_(n-1))是一 n 元非奇布尔函数,其中加法是模2加.假定二元域 F_2上的无穷序列 α=(a_0,a_1,a_2,…),a_i∈F_2,i≥0,满足a_(k+n)=f(a_k,a_(k+1),…,a_(k+n-1),(?)k≥0,则称α是以 f 为反馈函数的 n 级移位寄存器序列,并以(?)(f)记所有以 f 为反馈函数的亭列组成的集合.因为 f 非奇,所以(?)(f)中的序列都是周期序列.对于 α∈(?)(f),α     

多项式函数奇偶性定理的证明和应用

在解题中,我们往往不自觉地应用了下面关于多项式函数奇偶性的定理: 定理多项式函数f(x)为奇函数(或偶函数)的充要条件是f(x)只含奇次项(或偶次项)。这个定理由于教材上未作介绍,而在解决这方面的问题时又经常用到,为此,笔者将此定理的证明写出,供参考。证明充分性是显然的。下证必要性。若f(x)为奇函数,即有f(x)=-f(-x)。我们写出多项式函数的一般形式,就有a_n(-x)~n+a_(n-1)(-x)~(n-1)+…+a_1(-x)+a。=a_nx~n-a_(n-1)x~(n-1)-…-a_1x-a (1) 若n为偶数,则有 2a_nx~n+2a_(n-2)a(n-2)+…+2a_2x~2+2a_o=0从而 a_n=0,a_(m-2)=0,…,a_2=0,a_0=0。     

退缩椭圆型方程的边值问题

<正> 在 R~n 的有界凸区域Ω上考虑椭圆型方程Lu≡sum from i,j=1 to n (a_(ij)(x)u_(xi)_(xj)+sum from i=1 to n b_i(x)u_i+c(x)u=f(x),(1)设对 x∈(?)及所有的实数组(ξ_1,ξ_2,…,ξ_n)sum from i,j=1 to n a_(ij)(x)ξ_iξ_j≥λ(x)sum from i=1 to n ξ_i~2≥0,a_(ji)(x)∈C(?),即算子 L(u)可能退缩而为退缩椭圆型算子。记(?)的边界为∑,∑上满足 sum from ij=1 to n a_(ij)n_in_j=0的点集为∑_0,(n_1,…,n_n)表示∑上的内单位法向量,∑_3=∑\∑_0,设其 n-1维测度非零,则对方程(1)可提如下的边值问题:     

多项式恒等定理的初等证法

待定系数法是一个非常重要的数学方法,其理论根据是下面要提到的“多项式恒等定理”。这个定理如果应用高等代数中的代数基本定理来证明是十分容易的。但由于代数基本定理要到大学才能学到,所以在中学教科书中对“多项式恒等定理”没有加以证明。本文对此提供一个中学生能接受的证法,供大家参考。引理若α_nx~n+α_(n-1)x~(n-1)+…+α_2x~2+α_1x+α_n≡0,则α_n=a_(n-1)=…=α_1=α_o=0。证明先证α_0=0。假若不然,设a_0≠0。由于|α_0|≠0,n是一个给定的自然数,因此一定可以取到充分小的正数ε,使得下面几个不等     

关于 Poincaré 型方程解的渐近性态的若干注记

<正> Ⅰ.引言假若 n 阶线性微分方程y~(n)+α_1(x)y~((n-1))+…+α_n(x)y=α_0(x) (**)的系数α_v(x),当 x 无限增长时渐近于常数α_v:(?)α_v(x)=α_v (v=1,2,…,n)则称方程(**)为 Poincaré 型微分方程(简称为 P 型方程).θ(λ)=λ~n+α_1λ~(n-1)+…+α_n=0称为它的特征方程.     

高三代数高次方程一章中的三个定理

一.一元n次方程的根的个数定理一元n次方程有n个根而且只有n个根。 課本中的証明大意如下: (1)根据代数基本定理,推得 f(x)=a_1x~n+a_1x~(n-1)+…+…a_n(a_0≠0) =a_0(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)=0,而 f(x_1)=f(x_2)=…=f(x_n)=0,所以f(x)=0有n个根x_1,x_2,…,x_n。 (2)设x_(n+1)是和x_1,x_2,…,x_n都不相同的任一数, ∵f(x_n+1)≠0 ∴x_(n+1)不是f(x)=0的根。从而得出結論:f(x)=0只有n个根。证毕。我們知道,要断定f(x)=O的根只有n个,必須确定所有不同的根以及每一个根的重复度。上面的証法只能滿足前者的要求而不能滿足后者,因此,很容易使人发生以下的問題:如果x_(n+1)和x_1,x_2,…,x_n中的某一个相等,于是f(x_(n+1)=0;那么是否可以說x_(n+1)是f(x)=0的第n+1个根呢? 所以这个証法是不妥当的。事实上这个定理应該根据多項式的典型分解式的唯一性来証明。     

用劈二次因子法解方程的一个三阶迭代格式

用劈二次因子法可以求出实系数多项式方程: f(x)=a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a_(n-1)x+a_n=0 (1)的复根,而避免复数运算。目前多采用具有二阶敛速的Bairstow方法,即设     

线性移存器序列的伪随机特性

<正> §1.引言 线性移存器序列是指满足下面递归关系的二元序列a=(a_o,a_1,a_2…)a_i∈GF(2). a_(n+k)=c_1a_(n+k-1)+c_2a_(n+k-2)+…+c_na_k,c_i∈GF(2),(k=0,1,2,…)称f(x)=x~n+c_1x~(n-1)+…+c_n为产生序列a的线性移存器的联接多项式.以f(x)为联接多项式的线性移存器所产生的二元序列全体,形成二元域GF(2)上的线性空间,记之为G(f).本文的目的是由联接多项式f(x)的特点来刻划G(f)中非零二元周期序列的伪随机特性.     

关于Fourier余弦级数L~1收敛性的一点注记

本文指出文[1]中的定理4.1证明中包含着错误,并且建立了相应的正确结果。设α_0/2+sum from n=1 to ∞ α_n cos nx是f∈L(0,π]的Fourier余弦级数,假如存在a>0和单调数列{l_n}∈SV(N)使得α_n/(n~αl_n)↘(n→∞),那么下面两断言是等价的,(ⅰ) ‖S_n(f)-f‖_(L1)=0(1)(n→∞):(ⅱ)α_nlogn→0(n→∞)。     

Oscillatory Strongly Singular Integral Associated to the Convex Surfaces of Revolution

Here we consider the following strongly singular integral T_(?,γ,α,β)f (x, t) =∫ _(R~n)e~[i|y|~(-β)]?(y/|y|)/|y|~(n+α)f (x - y, t - γ(|y|))dy,where ? ∈ L~p(S~(n-1)), p 1, n 1, α 0 and γ is convex on(0,∞).We prove that there exists A( p, n) 0 such that if β A( p, n)(1 + α), then T_(?,γ,α,β)is bounded from L~2(R~(n+1)) to itself and the constant is independent of γ. Furthermore,when ? ∈ C~∞(S~(n-1)), we will show that T?,γ,α,βis bounded from L~2(R~(n+1)) to itself only if β 2α and the constant is independent of γ.     

(三)和差角公式一例

解评 “裂项求和法”求等差角同名函数的和:设有等差角a_1,a_2,a_3,…,a_n,为求其同名三角函数的和,如求 cosα_1 cosα_2 … cosα_n 可先配以“积因子”,如sinβ而得 cscβ(cosα_1sinβ cosα_2sinβ … cosα_nsinβ) 并使括号中各积化成和差形式后能够消项。     

正则线性差分方程

<正> 1.引言H.Poincaré 与 O.Perron 研究了 Poincaré 型(以下简称 P 型)差分方程解的渐近特性,给出下面的定理 (Poincaré)假若 n 阶线性齐次差分方程y(x+n)+α_1(x)y(x+n-1)+…+α_n(x)y(x)=0 (x=0,1,2,…).(*)是 P 型的,即其系数 α_v(x)具有有限极限     

关于Lekkerkerker格点分布定理的注记

<正> §1 引言我们用 x,c 等表示 n 维实矢量,用|x|=|(x_1,…,x_n)|=(x_1~2+…+x_n~2)~(1/2)表示矢量 x 的长.用∧表示 n 维格(Lattice),即下面诸矢量的集:u_1α_1+…+u_nα_n,(u_1,…,u_n 为整数),其中 α_1,…,α_n 是 n 维实欧氏空间的一组固定的线性无关矢量,称为∧的基底,并把|det(α_1,…,α_n)|称为格∧的行列式,记为 d(∧),它是不依赖于基底选取的不变量.我们还用∧_0表示以单位矢 e_i(i=1,2,…,n)为基底的格.     

五次缺插值样条的渐近性态

f(x)定义于[0,1]。将[0,1]n等分,记x_j=jh,j=0,…,n.h=1/n,且 f~(α)(x_j)=f_j~(α),j=0,…,n;α=0,1,…,5。 A.Meir和A.Sharma提出五次缺插值样条函数,即满足下面条件的函数s_n(x): (i)s_n(x)∈C~3[0,1], (ii)在区间[x_j,x_(j 1)]上(j=0,…,n-1),s_n(x)是五次多项式, (iii)s_n(x_j)=f_j,s″_n(x_j)=f″_j,j=0,…,n, (iv)s′_n(0)=f′_0,s′_n(1)=f′_n。 (1) [1]还考虑了把(1)中的(iv)换成 (iv′)s′′′_n(0)=f′′′_0,s′′′_n(1)=f′′′_n (2)的五次样条。为叙述方便,我们分别称之为(Ⅰ)型、(Ⅱ)型缺插值样条。[1]证明了(Ⅰ),(Ⅱ)型插值样条在n为奇数时是唯一存在的。[2,3,4]继续了这方面的工作,得到了一     

Banach空间非扩张映像不动点强收敛定理

设E是具弱序列连续对偶映像自反Banach空间, C是E中闭凸集, T:C→ C是具非空不动点集F(T)的非扩张映像.给定u∈ C,对任意初值x0∈ C,实数列{αn}n∞=0,{βn}∞n=0∈ (0,1),满足如下条件:(i)sum from n=α to ∞α_n=∞, α_n→0;(ii)β_n∈[0,α) for some α∈(0,1);(iii)sun for n=α to ∞|α_(n-1) α_n|<∞,sum from n=α|β_(n-1)-β_n|<∞设{x_n}_(n_1)~∞是由下式定义的迭代序列:{y_n=β_nx_n (1-β_n)Tx_n x_(n 1)=α_nu (1-α_n)y_n Then {x_n}_(n=1)~∞则{x_n}_(n=1)~∞强收敛于T的某不动点.     

关于Lagrange插值平均收敛的注记

Ⅰ 设w(x)是区间[-1,1]上的权函数,{φ_n(x)}是相应的正交多项式序列,用X:-10,寻找一个附加节点系:     

三角多項式的恆等定理兼談三角函数的周期

本文主要目的在于提出并証明一个关于三角多項式的恆等定理,并用以計算一些三角函数多項式的周期。此定理的証明沒有在书籍或文献中发现,因而这里的証法是否妥当,尚希讀者指正。 (一) 三角多項式的恒等定理在代数学中,把形为φ(x)=c_0+c_1x+c_2x~2+…+c_nx~n的函数叫做关于x的多項式,其中n是正整数或零,c_0,c_1,c_2,…,c_n都是常数。当c_n(?)0时,n称为多項式φ(x)的次数。同样地,对于形为 f(x)=a_0+(a_1cos x+b_1 sin x)++(a_2cos 2x+b_2 sin 2x)+…++(a_ncos nx+b_n sin nx)的函数叫做关于x的三角多項式,其中n是正整数,所有的a_i(i=0,1,2,…,n)与b_j(j=1,2,…,n)都是常数。当a_n与b_n真不同时为零时(或a_n~2+b_n~2)(?)0时),n称为三角多項式f(x)的次数。因而,三角多項式是关于角系数为正整数的正弦与余弦的綫性組合。