例谈极化恒等式在数量积问题中的应用

向量是高中数学中的重点内容,由于它独特的性质（代数与几何的桥梁）,在近年来的全国各地高考中迅速成为创新题命制的出发点,使向量题有越来越综合,越来越灵活的趋势.下面,笔者就极化恒等式在数量积问题中的应用做一些探讨.     

平面向量的极化恒等式解题研究

极化恒等式是解决向量数量积问题的利器，可以简化运算.本文中介绍了极化恒等式的两个模型及几何意义，并结合极化恒等式的具体应用案例，通过比较解法，分析极化恒等式在解决问题时的优点.     

利用中线长的向量表示解题

从一道高中数学月考试题出发,通过基底法、坐标法、极化恒等式、数形结合四种方法分别探究其解题思路,为平面向量这一类题的解题方法提供借鉴.通过对比四种解题方法,发现坐标法在解决平面向量问题时极具优势,但也要引导学生发现所求数量积取得最值时的图形特征,“知其然”并“知其所以然”.     

巧解平面向量的几种技巧

平面向量是高中数学研究数与形的一种重要工具.平面向量问题具有较强的灵活性,大多学生在解题过程中往往“费力不讨好”,而选择合适的方法可以“事半功倍”.因此,本文中提供了解决平面向量问题的三种技巧,即极化恒等式、奔驰定理与等和线定理,以帮助学生发散思维,节省时间,提高解题效率.     

向量恒等式的研究

<正>在学习平面向量的过程中,恒等式(→a±→b)²=→a2=→a²±2→a·→b+→b2是我们不得不需要面对的.在平面向量中,这个恒等式的地位不亚于平面向量基本定理,在各级各类考试中,有着广泛的应用.下面对这一恒等式作一番适度的探究.     

巧用极化恒等式破解数量积问题

<正>向量是高中数学中的重要模块,特别是向量数量积的运算,不但具丰富的内涵,更是把平面向量和其他知识相融合．在高考和竞赛中,经常会涉及到数量积的求值或求最值的问题,通常我们会比较关注基底法、坐标法,但随着向量研究的不断深入,有些数量积的问题,用以上方法解决会出现过程不够简洁,思路不够清晰等问题,此时,如果能合理运用极化恒等式,常常能让问题迎刃而解．     

在向量解题中强化学生的解题意识

向量在近几年高考中越来越重要,其工具性作用已渗透以数学的各个分支.解答题中主要是以向量为载体的综合问题,体现向量"搭台",其他知识"唱戏"的特点.近年来高考中小题综合化的特点,已被大家所共识.选填题中对向量知识的考查更加灵活多变,对学生能力要求较高,可是只要是题型新颖一点或能力要求高点的题就成为学生得分的"事故多发地带".……     

一个向量恒等式在解题中的应用

若A1，A2，…，An-1，An围成封闭折线，则有如下的向量恒等式^→A1A2 →A2A3 …^→AnA1，本文举例说明该恒等式在解题中的应用．     

利用一个向量恒等式解决一道征解题

<正>向量兼具代数与几何的性质,在求解向量的相关问题时,常用的解题思路有两类:一是利用向量基本定理,选择恰当的基底表示出所研究的向量,结合向量的运算(线性运算以及数量积)进行求解;二是通过坐标化,利用坐标运算进行求解.在高中阶段,我们也接触过部分与向量相关的恒等式,例如三点共线,四点共面等条件对应的系数和为1等^[1],灵活地运用相关的恒等式,能有效地提升解题的效率,发掘问题的本质.     

解析几何题的处理新途径

新编高中数学教材中增加了向量后,应用连绵不断,很多同学比较认同向量在平面几何与立体几何中的应用,但对向量在解析几何中的应用还很陌生,其实向量的应用可以使很多解析几何题的运算不再纷繁复杂.     

向量恒等式的推广

本刊2009年3月上（总365期）《数苑纵横》栏目里郭味纯老师在《一个向量恒等式及其应用》的文章中提出了一个向量恒等式（即本文定理1）．本文在其基础上提出了一个更一般的新的恒等式（即本文定理2）．在新的恒等式中，不再要求A1、A2、A3共线，只需A1、A2、A3是平面上任意三点，因而使得恒等式既优美又更具有普遍性．     

向量恒等式的推广

本刊2009年3月上(总365期)《数苑纵横》栏目里郭味纯老师在《一个向量恒等式及其应用》的文章中提出了一个向量恒等式(即本文定理1).本文在其基础上提出了一个更一     

一道多变量数量积最值问题的多角度求解

<正>平面向量数量积的计算方法众多,在具体问题中,同学们的难点在于不能选择合适的方法．本文以2023届丰台高三二模第10题为例,一方面分析了如何利用定义法、投影法、坐标法、基底法和极化恒等式法等多种方法求数量积;另一方面分析了如何通过固定变量和不等式放缩解决多变量最值问题．     

Laplace 型恒等式与可分解 m-向量

本文考虑两个 m 阶行列式的积,得到一个类似于 m 阶行列式 Laplace 展开式的恒等式.将所得恒等式应用于 Grassmann 代数,导出了关于可分解 m-向量的一个恒等式(它是 Pl(?)cker 方程的直接推广),顺便给出 Pl(?)cker 方程作为 m-向量可分解的充要条件的一个简单新证明,并给出分解公式.     

一道三角恒等式的作差证明

三角恒等式是三角函数的重点内容,其证明方法因三角函数的多变而数不胜数,但大多是从正面考虑变形直接得证.作差法在不等式证明中属常用手法之一.当它应用于技巧性强的三角恒等式证明时,往往也很方便. 例题求证: 分析此题若从正面考虑,其过程涉及众多变形,十分繁杂.但我们看题中给出各项的     

一个奇妙的向量恒等式

最近,笔者偶然发现了一个涉及三角形勃罗卡角的奇妙而新颖的向量恒等式,在诸多文献上未曾见过,现介绍如下.     

Frechet空间的几个重要不等式

本文给出了Frechet空间中的几个重要不等式，它们是Hilbert空间中的著名极化恒等式在Frechet空间中的情形．推广了Banach空间的许多不等式，且在许多领域中有着各种各样的应用．利用这些不等式，可将许多结果从Banach空间推广到Frechet空间．     

运用一题多变构建方法体系——以平面向量复习课为例

构建方法体系是高三复习课的重要目的,一题多变是构建方法体系的重要途径.本文以平面向量复习课为例,通过一题多变,探究平面向量中的最值和范围问题,总结解题策略,构建方法体系.     

巧用向量的数量积解三角问题

向量的数量积是向量的一个重要知识点.有些数学问题似乎与向量的数量积毫无瓜葛,但如能根据题设的结构特征构造出对应的向量,巧妙地利用向量的数量积求解,则方法新颖别致,过程简捷、明了.本文结合实例介绍向量的数量积在三角问题中的应用,供同学们学习参考.     

巧用向量的数量积解三角问题

向量的数量积是向量的一个重要知识点.有些数学问题似乎与向量的数量积毫无瓜葛,但如能根据题设的结构特征构造出对应的向量,巧妙地利用向量的数量积求解,则方法新颖别致,过程简捷、明了.本文结合实例介绍向量的数量积在三角问题中的应用,供同学们参考.