对一个用料最省问题的探讨

文 [1 ]讨论了用矩形剪切扇形如何用料最省的问题 ,本文拟研究其对偶问题 :如何用扇形的材料剪切出一个面积最大的矩形 ?设扇形的半径为Ｒ ,圆心角为α( 0 <α≤π) ,则问题等价于求其面积最大的内接矩形 .为了便于讨论 ,先说明一个事实 :圆心角在 0～π间的扇形 ,其内接矩形的位置只有两类 .第一类 :矩形的两个顶点在圆弧上 ,另两个顶点分别在扇形的两条半径上 ,即矩形关于扇形的对称轴对称 (图 1 ) ;第二类 :矩形的两个顶点在扇形的同一条半径上 ,另两个顶点分别在圆弧及另一条半径上 (图 2 ) (可以用平面几何知识证明这一事实 ,限于篇幅 …     

一个切割问题的再讨论

文 [1 ]提出了这样一个问题 :图 1某工艺品厂要从一块矩形的大理石板中用截断切割方式割出一块各边与原矩形平行的较小的矩形石板 (如图 1 ) .1 )设切割的成本与切割长度成正比 ,当ｍ ,ｎ ,ｐ ,ｑ互不相同时 ,共有多少种成本不同的切割顺序 ?2 )请从如图 1 (ｍ >ｎ >ｐ >ｑ >0 )所示的一般情况下 ,推证使总成本达到最小的切割顺序 ;3)假定切割成本是 0 .2 0元 /ｃｍ ,ａ =70ｃｍ ,ｂ =1 0 0ｃｍ ,ｍ =30ｃｍ ,ｎ =2 0ｃｍ ,ｐ =1 0ｃｍ,ｑ =5ｃｍ时 ,求最小的切割成本 .对于这个问题 ,文 [1 ]的答案是 :1 )共有 1 4种成本不同的切割顺序 ;2 …     

高校应用数学学报第19卷(2004年)B辑(英文版)第3期目次和提要

将小直径图划分为导出匹配杨爱峰　原晋江(郑州大学数学系)给定一个简单图G和一个正整数k,是否存在V( G)的一个k-划分( V1,V2 ,…,Vk)使得每个导出子图G[Vi]是1 -正则的?称该问题为导出匹配k-划分问题.该文对小直径图研究该问题的计算复杂性.证明了直径为6的图的导出匹配2 -划分问题和直径为2的图的导出匹配3-划分问题是NP-完全的,而直径为2的图的导出匹配2 -划分问题是多项式时间可解的.外来的捕食物种对濒危物种的影响张少林(浙江科技学院)研究了从保护生态学中提出的一个重要问题:引入的物种如何通过捕食影响本地物种的持续生存?应用…     

辨析问题本质 活化解题思维——一道椭圆问题的课堂探究

一、问题展示题目:如图1,已知椭圆M:(x2)/4+(y2)/3=1,点F1、C分别是椭圆M的左焦点和左顶点,过点F1的直线l(不与x轴重合)交椭圆M于A、B两点.(1)略.(2)是否存在直线l,使得点B在以线段AC为直径的圆上?若存在,请求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.二、课堂实录师:圆锥曲线问题是高考重点及难点之一,寻找恰当的解题思路是问题顺利求解的关键,高考考查的题型可谓常考常新,题型虽然千变万化,但总有其规律可循,请同学们思考一下解答圆锥曲线问题的通用方法是什么?     

“同底等高的三角形面积相等”的应用

教版八年级下册100页习题8题:如图1直线l1∥l2,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?显然S△ABC=S△DBC,因为这两个三角形同底等高.再画当然可以画出很多,只需在l1任取一点与B、C相连结即可.运用这一结论可以解决一类求面积问题.     

研究性学习的一个案例

任务　对如下问题 1图 1　问题 1图问题 1　已知 :(如图1所示 )正三角形ＡＢＣ的边长为 1 0 ,点Ａ在平面α内 ,点Ｂ ,Ｃ与平面α的距离分别是 4 ,2 ;点Ｂ ,Ｃ在平面α的同侧 ,且Ｂ1,Ｃ1分别是Ｂ ,Ｃ在平面α的射影 ,求 :平面ＡＢＣ与平面α所成的角θ .1 .能用几种方法解决这道问题 ?并请你书写解答过程 .2 .请在查阅数学资料的基础上添加或删减原题中的条件 ,改变问题的结论 ,形成新的数学命题 .3.把你所改编的数学问题给出其尽可能多的不同解答 .4 .在你所改编的或解答的数学问题中 ,可以用到哪些基础知识 ?能列出吗 ?(以上作业必须用书面…     

对一道2002年高招试题的质疑

20 0 2年全国普通高校招生统一考试数学 (文史类 )试卷压轴题为 :(Ⅰ )给出两块面积相同的正三角形纸片(如图 1、图 2 ) ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一块剪拼成一个正三棱柱模型 ,使它们的全面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图 1、图 2中 ,并作简要说明 ;(Ⅱ )试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小 ;(Ⅲ ) (附加题 ,略 ) .图 1　正三角形　　　　　　图 2　正三角形这是一道实际操作落料型应用题 .源于人教版数学第二册 (下Ａ) (试验修订本·必读 )Ｐ52介绍的五种正多面体的表面…     

圆的一个性质的探求

一、问题的提出在高级中学课本《平面解析几何》(必修 )第 68页上有这样一道例题 :已知一曲线是与两个定点Ｏ(0 ,0 )、Ａ(3 ,0 )距离的比为12 的点的轨迹 ,求这个曲线的方程 ,并画出曲线 .课本中给出本题的答案是 :所求的轨迹方程为 (ｘ+ 1) 2 +ｙ2 =4,它是以Ｃ(-1,0 )为圆心 ,ｒ =2为半径的圆 (如图 ) .一般地 ,我们还可以证明 :与两个定点Ｍ1 、Ｍ2 距离的比是一个常数ｍ(ｍ >0 ,ｍ≠ 1)的动点轨迹是一个圆 (证明从略 ) .现在我们要思考的问题是 ,这两个定点及定比与所得的圆是什么关系 ?对于一个圆 ,是否一定存在一对点 (唯一还是无穷多…     

对于2002年高考数学第21题的一点思考

原题　 ( )给出两块面积相同的正三角形纸片 ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一块拼成一个正三棱柱模型 ,使它们的全面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图中并作简要说明 .( )试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小 .( ) (略 )标准答案是一种解法 ,摘要如下 :解　 ( )剪法如图 1、图 2所示图 1　　　　　　图 2( )设给出正三角形的边长为 2 ,则V锥 - V柱 =( 13h锥 - h柱 ) . 34=( 69- 36 ) . 34<0 .所以 V柱 >V锥 .这道题另一种迥然不同的剪法 (如图 3) ,先把正三角形拼成一个长…     

函数y=Asinωx的图像

1　提出实例问题 1　 (大屏幕显示 )烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的 (展示实物 ) .现在我们要用长方形铁片做成一个直角烟筒弯头 (如图 1 ) .如果烟筒的直径为 9cm,最短母线长均为 6 cm,不考虑焊接处的需要 ,选用的材料应是怎样尺寸的矩形铁片 ?如何裁剪 ,才能既省工 ,又节俭 ?图 12　切入正题让我们聚焦直角烟筒弯头 !由于两个圆柱呈垂直状 ,因此两个圆柱形烟筒的截面与水平面成 4 5°角 .现在 ,我们不妨先看一个小问题 ,换一个角度来思考 :问题 2　底面半径是 4 .5cm的圆柱被平面截成形状相同的两个几何体 ,如图 2所示 .若将…     

品味一道课改实验区中考压轴题

原题:(07安徽第24题)如图1,已知⊙P的圆心在反比例函数y=xk(k>1)图象上,⊙P与x轴相交于A、B两点,且始终与y轴相切于定点C(0,1).(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;(2)如图2,若二次函数图象的顶点为D,问当k为初何步感值时受,:四边形ADBP为菱形?本题是代数与几何相结合     

矩形折纸中的风采探究

近几年来,折纸成为中考的热点,难点,它不但考查学生灵活运用数学知识的能力,而且也考查了学生看图、识图、动手操作能力.解决这类问题的关键是:把握折纸实质上是以折痕为对称轴的轴对称,充分利用翻折前后的两个图形全等,问题就容易解决了.下面谈谈矩形折纸中的数学问题. 一、折叠出正方形 矩形最基本的折纸,就是用一张长方形纸片折一个正方形. 如图1,可以折出正方形, 二、折叠出菱形 例1已知:如图2所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接AF和CE.     

一道合理选址问题的推广

20 0 1年第 8期《中学生数学 (高中版 )》第 19页《合理选址问题的求解两例》(作者 :夏国华 )一文的例 2是一个颇有意义的问题 ,即图 1　例题图如图 1,A地产汽油 ,B地的汽油需从产油地A运入 ,汽车自A地运汽油往B地 ,往返的油耗正好等于其满载汽油的吨数 ,故无法将汽油运至B地 .为解决问题 ,在途中C地设一油库为中间站 ,先由往返于A ,C间的汽车将油运往C地 ,再由往返于C ,B间的汽车将油运至B地 .问当C站设在何处时运油率 (即B地收到的汽油量 /A地运出的汽油量 )最大 ,最大值是多少 ?该文得到的答案是 :C站设在A ,B两地的中点处时 ,运…     

103 反函数

1　复习旧知 ,为“扩展建构”提供支撑点提问　函数中对应的类型 .试分析下列函数是什么类型的对应 ?① ｙ =2ｘ+1;② ｙ =ｘ2 ;③ ｙ =ｘ2 (ｘ ≥0 ) .板书对应的框图 :对应法则　一对一　　　多对一是否映射　　是　　　　　是　　　　图 1还有一种对应 ,如图 2 ,是一对多 ,就不是映射了 .函数 :Ⅰ是映射 ,ⅡＡ、Ｂ是非空数集 .函数三要素 :定义域、值域、对应法则 .图 22　把对应“逆过来”如何———一种扩展数学研究中 ,经常是 ,研究了原问题后 ,就会开始考虑它的逆问题 (这也是对原问题的深化的理解 ) .问 :把一个对应逆过来 (说明“逆过来”的意思 )后 ,对应的状况是怎样的呢 ?对应的法则又可用什么式子来表达呢 ?板书逆对应的框图 (图 3 ) :引导学生观察板书中的逆对应 ,讨论三个题目 :( 1)逆对应分别是什么类型的对应 ?( 2 )把 ｙ看成自变量 ,分别考察它们还是一个函数吗 ?( 3 )如果是函数 ,它们的定义域是什么 ?学生发现 :“一对一”对应的逆对应 ,仍是“一对一”对应 ;“多对一”对应的逆对应 ,成为“一对多”对应了 .说明 ,只有前者 ,对于ｙ在值域...     

给定边连通度的图的最小距离谱半径(英文)

本文研究了边连通度为r的n阶连通图中距离谱半径最小的极图问题,利用组合的方法,确定了K(n-1,r)为唯一的极图,其中K(n-1,r)是由完全图K_(n-1)添加一个顶点v以及连接v与K_(n-1)中r个顶点的边所构成.上述结论推广了极图理论中的相关结果.     

局部剖分邻接冠图的谱（英文）

设G_1,G_2是两个简单连通图,图G_1,G_2的局部剖分邻接冠图G_1■G_2是指复制一个G_1和|V(G_1)|个G_2,图G_1的第i个点的邻点与复制的第i个图G2的每一个点相连接,然后在G_1每一条边上插入一个新的点而得到的图类.本文利用两个图G_1,G_2的邻接谱、Laplacian谱和无符号Laplacian谱刻画了局部剖分邻接冠图G_1■G_2的邻接谱、Laplacian谱和无符号Laplacian谱.另外,本文利用上述结果构造出了若干对邻接同谱图、Laplacian同谱图和无符号Laplacian同谱图.进一步地,本文也利用两个因子图G_1,G_2的Laplacian谱计算出了局部剖分邻接冠图G_1■G_2的生成树数目.     

动态几何问题综述

动态几何问题是近几年中考压轴题的一大亮点,为中考一大特色题型.例1(2003吉林)如图1,矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm.点P从A出发,沿A→B→C→D运动,到D停止;点Q从D出发,尚D→C→B→A运动,到A停止,两点同时出发,P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s.a秒时,两点同时变速,P、Q速度分别变为6cm/s.dcm/s.图2是P出发x秒后△APD面积S1(cm2)与x(秒)的函数图象;图5是Q出发x秒后△AQD面积S2(cm2)与x(秒)函数图象.图1图2(1)参照图2求a,b及图2中c值;(2)求d值;(3)设P离开A的路程为y1;Q到AA还需走y2cm,请写出两点同时变速后,y1,y2关于运动时间x的关…     

一道课本习题的探究及延伸

<正>1原题呈现(北师大版数学九年级上第8页“做一做”)如图1,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分ABCD是菱形吗?为什么?2问题解决分析本题主要考查了菱形的定义及判定方法.很容易判断出重叠部分ABCD是菱形;可以先证其是平行四边形,再证一组邻边相等.而证明邻边相等的方法通常有两种:构造三角形全等或等积法.“纸条等宽”这一条件是解题的关键.具体证明方法如下:     

例谈三角形“相似分割”问题

<正>一、问题背景苏科版八年级数学(下册)第123页有这样一道探索研究问题:"如图1,有两个分别涂有黄色和蓝色的△ABC和△A′B′C′,其中∠C=∠C′=90°,且两个三角形不相似.问:能否分别用一条直线分割这两个三角形,使△ABC所分割成的两个黄色三角形与△A′B′C′所分割成的两个蓝色三角形分别对应相似?如果能,请设计出分割方案;如果不能,请说明理由."图1学生初次接触这种相似分割问题时无从下手,笔者立足此题设计有层次的四个问题,帮助学生初步掌握三角形相似分割的一些基本方法,学会有目的、有条理地分析问题.     

激发兴趣提升能力的高考剪拼题

今年高考文科数学卷的 ( 2 2 )题是一道颇有创意 ,集基础知识、空间想象力、动手能力于一身的一道好题 ,是正在开展的研究性学习的一种命题方向 .题目一出来 ,马上成为研究热点 .本文从引导研究性学习的目的出发 ,给出最一般的剪拼方法 .(1)　　　　　　　 (2 )　　　　　　　 (3)图 1　题目用图原题　 1 )给出两块相同的正三角形纸片(如图 1 ( 1 ) ,图 1 ( 2 ) ) ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一块剪拼成一个正三棱柱模型 ,使它们的全面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图 1 ( 1 ) ,图 1 ( 2 …