四点共圆用处大

<正>探究四点共圆,除了学会证明四点共圆以外,更多地应注意到利用它来证明别的命题.比如,对于角的相等,线段之间的位置关系,线段的比例关系等方面的证明,利用四点共圆,往往就有许多优越的地方.例1如图1,PA、PB是☉O的切线,A、B为切点,PCD为割线,过A作AE∥PD,交☉O于E.     

运用中间媒介证明圆中线段相等

在学习了圆的知识后，在证明线段相等的方法上，增添很多新的思路和策略，如运用同圆（等圆）的圆心角相等、圆周角相等的方法来解决，或运用垂径定理来证明．除此之外对一些比较复杂的圆中线段相等的证明题，还需要运用中间媒介过渡才能达到目的．笔者以近年来的竞赛题为例，简析如何运用中间媒介来证明圆中线段相等．     

共圆点及其应用

共圆点及其应用四川师范大学邓安邦四川民政干校濮青一、基础知识在同一个圆上的一些点，称为共圆点，或者说这些点共圆。要证明一些点共圆，关键在于会证明四点共圆。证明四点共圆，主要根据：１、圆的定义：证明这四点到某一定点的距离都相等。２、角的关系：证明这四点...     

四点共圆之托勒密定理

<正>说起四点共圆,想必大家一定都不陌生,它的诸多性质帮助我们解决了很多几何上的难题.今天要研究的托勒密定理,能让我们在四点共圆的基础上进一步深入学习,探索更多的规律.1定理的内容托勒密定理实际上出自伟大的古希腊数学家依巴谷之手,而托勒密只是从他的书中摘出.托勒密定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.     

例析“辅助圆”的作用

<正>部分初中几何综合题,如果能根据题目的本质特征恰当构造辅助圆,既能巧妙地利用"同弧所对圆周角是圆心角的一半,同弧所对的圆周角相等"求角,也能利用"圆外一点与圆上各点之间的最长距离是这点到圆心的距离与半径的和,圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差",从而突破线段最值问题.     

婆氏定理与四边形的九点圆

印度数学家婆罗摩及多(Brahmegpta,598 年～660年)发现了下面的著名定理[1]: 婆氏定理　设圆内接四边形ABCD的对角 线互相垂直相交于E,则过点E平分一边BC的 直线必垂直于对边AD.反之,过点E垂直于一 边AD的直线必平分对边BC. 本文将对角线互相垂直的圆内接四边形简 称为“婆氏四边形”. 下面的著名定理提出了四边形的九点圆概 念[2]: 库得奇———大上定理　以圆内接四边形任 意三个顶点作三角形,则这四个三角形的九点 圆心共圆. 上述定理中的四个圆心所在的圆被称为四 边形的九点圆.它的半径等于四边形外接圆半 径的一…     

由角平分线想到的

<正>角平分线定理及其逆定理在几何证明中应用十分广泛,有非常重要的地位,尤其为证明线段或角相等开辟了新的思路.当题设中出现角平分线时,如能联想到轴对称、全等三角形以及等腰三角形,往往可以很快沟通思路,提高解题效率.在此,我们把与角平分线有关的题型及作辅助线的方法分类归纳如下,与大家一起分享.     

关于线段相等问题的证明

平面几何中证明线段相等是我们经常遇见的问题之一 ,解决它的方法有很多 ,但归纳起来较为常见的方法主要有以下几种 :①在同一个三角形中利用等角对等边来证 .②在不同的三角形中利用全等三角形来证 .③利用角平分线的性质来证 .④利用线段的垂直平分线的性质来证 .⑤利用特殊四边形的性质来证 .⑥利用同圆或等圆中等弧 (弦心距 )对等弦来证 .⑦利用比例的性质来证 .⑧利用平行线等分线段定理及其推论来证 .⑨利用垂径定理及其推论来证 .⑩利用直角三角形斜边上的中线 ,或等腰三角形底边上的高和顶角的平分线的性质来证 .面对上述众多种方法 ,我们如何根据题目中所给的图文信息 ,选择恰当的方法来证两条线段相等呢 ?现举例给予说明 ,供读者参考 .例 1　如图 1,已知在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,Ｄ是ＡＢ上一点 ,ＤＥ⊥ＢＣ ,Ｅ是垂足 ,ＥＤ的延长线交ＣＡ的延长线于点Ｆ .求证 :ＡＤ =ＡＦ .分析 :欲证ＡＤ =ＡＦ ,观察图形知ＡＤ ,ＡＦ是同一△ＡＤＦ的两边 ,即本题属于证同一三角形的两边相等的问题 ,故优先考虑利用“在同一三角形中 ,等角对等边”证之 ,从而把问题转化为证∠ＡＤＦ =∠Ｆ .因为从所给条件看 ...     

几何证明选讲之“圆”的题根研究——从“圆周角定理”说起

几何证明选讲在人教版新课标教材中以选修内容出现,其主要内容之一是圆及其相关性质定理的应用,如"相交弦定理""线割线定理""割线定理""弦切角定理"等,高考对此部分内容的考查多以选择或填空及附加题的形式出现,试题难度不大,考查的知识点较为固定,本文以"圆周角定理"为根,就相关定理的推广应用,展开探究.题根:(圆周角定理)在同一圆上,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍.证明:略.说明:由圆周角定理可直接得出结论:同弧所对的圆周角相等,这是圆最基本的性质之一,在此基础上我们可以直接或间接得出圆的其他相关性质定理.     

两个三角形有相等外接圆的定理及其应用

众所周知,好些在同圆中具有的性质在等圆中也具有,由此使我们想到寻找两个三角形有相等外接圆定理。对此有: 定理:两个三角形如果有一条边对应相等,并且对应相等的边所对的角也相等(或互补),则这两个三角形的外接圆相等。其证明,显然由正弦定理立即可以得出。适然也可分两种情况(相等、互补)依平几知识证得(证明略)。应用这个定理,我们可以解决平几中某些较费解的问题。例1.已知:在ABC中AD、BE、CF是高,H是三条高的交点。求证:△ABC、△ABH、△BCH、△CAH的外接圆相等。证明:△ABC、△ABH     

一道俄罗斯“四点共圆”试题的探究

<正>"四点共圆"问题常出现在中高考问题中,知道"圆内接四边形的对角互补"便可证得这个四边形的四个顶点共圆.本文源自俄罗斯国家统一考试专业水平数学试卷,是一道关于四点共圆问题的平面几何题.俄罗斯考试中的平面几何有什么特殊之处?俄罗斯的"四点共圆"试题有什么特点?我们不妨做些简单地分析.     

四点共圆及其应用(上)

<正>顶点在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形.我们也可以说圆内接四边形的四个顶点共圆.圆内接四边形的性质定理圆内接四边形对角互补.圆内接四边形外角等于内对角.由此可以推论出:内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形.     

二弦定理及应用

<正>笔者发现圆中互不垂直的两弦有如下美妙的结论,该结论对解决一些四点共圆式多点共圆问题提供一种方法.1.二弦定理及逆定理二弦定理圆中互不垂直的两弦端点在彼此上的射影共圆.证明如图1,设AB、CD是⊙O中互不     

一个组合几何命题的重新证明

1 一个几何定理溯源 文献[1]证明了杨路教授提出的如下问题: 定理1 一个平面凸四边形,经过其中三个顶点可作一个圆,这样可得到4个圆(不排除其中有重合).如果这4个圆中有3个是等圆,则此4顶点共圆.     

第39届国际数学奥林匹克试题及解答

问题1设凸四边形ABCD的两条对角钱AC与BD互相垂直,且两对边AB与DC不平行．点P为线段AB及DC的垂直平分线之交点,且在四边形ABCD的内部．证明：A,B,C,D四点共圆的充分必要条件为△ABP与△CDP的面积相等．证记AC与BD交于点E,过点P作线段AE,BE之垂线,垂足分别记为M,N．由AC上BD可知PMEN为矩形,因此PM=NE,PN=ME．由点P的选取可知PA=PB,PC=PD．为了证A,B,C,D四点共圆,只要证明PA=PB=PC=PD下面先来计算△ABP,△CDP之面积：因此,为了证明S△ABP=S△CDP当且仅当设S△ABP＝S△CDP,我们来…     

四点共圆的应用

诚然,有些几何题,其图形的结构较为复杂,不过,经考察条件,若能从中得出某四个点共圆,那么就能挖出隐藏条件,扩充已知,拉近结论,如线段、角、圆弧的相等,均可通过四点共圆得到,进而为完成解题打开通道.     

三角法简证一道奥赛题

<正>(2021年欧洲女子数学奥林匹克第3题)对于钝角△ABC,∠A为钝角,E,F分别为∠A的外角平分线与顶点B,C关于△ABC的垂线的交点,M,N分别为线段EC,BF上的点,满足∠EMA=∠BCA,∠ANF=∠ABC．证明:E,N,M,F四点共圆．该题主要考查三角形垂心,圆的割线定理及四点共圆的判定等知识点．     

张景中院士讲数学

三角形与圆几何图形中只有直线,多少显得单调.一旦出现了圆,就更加生动活泼,丰富多彩了.圆的性质很多,其中最重要的一条,是圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角相等,它们都等于同弧所对的圆心角的一半.     

如何证明线段相等

在平面几何中 ,证明两条线段相等是一种最常见的题型 .常用的证明方法有 :利用三角形全等、利用等角对等边、利用特殊四边形 (如平行四边形、等腰梯形等 )的有关性质、利用平行线等分线段定理、利用比例线段等等 .本文仅谈谈如何利用三角形全等和等角对等边证明线段相等的问题 ,供参考 .(一 )利用三角形全等利用三角形全等是证明两条线段相等最常用的手段 .当要证明两条线段相等时 ,可以证明它们所在的三角形全等 .证明三角形全等最主要的方法有SAS、ASA、SSS以及HL .例 1　如图 ,已知AC⊥BD于C ,AC =BC ,BE⊥AD于E ,BE交AC于F …     

托勒密定理、三弦定理和四角定理

众所周知,在三角形中,边、角之间存在着许多重要的关系．不难想到,在圆内接四边形中,边、角之间也应该存在着类似的重要关系．如托勒密定理,它表述的是圆内接四边形中边之间存在的重要关系的一种,那么在圆内接四边形中,是否在边、角之间或角之间也存在某种重要的关系呢？答案是肯定的,如文［１］三弦定理．我们探讨了它的来源和证明． 定理 如果Ｐ是一圆上的任意一点,ＰＡ、ＰＢ／Ｃ是该圆上的三条弦,那么： ＰＢｓｉｎ（ＡＰＢ＋ＢＰＣ） ＝ ＰＣｓｉｎ ＡＰＢ＋ＰＡｓｉｎ ＢＰＣ 文［２］指出,这种新的边角之间的积和关系,…