一位名师一道题

问题 :实数a ,b,c满足 (a +c) (a+b+c) <0 .求证 :(b -c) 2 >4a(a +b+c) .分析与解　要证的式子与二次方程的判别式形式相似 .故可构造辅助函数y=ax2 + (b-c)x + (a+b +c) .当a≠ 0时 ,二次函数过点P1( 0 ,a+b+c)及P2 ( -1 ,2 (a+c) ) .显见 ,y1y2 =2 (a+b +c) (a +c) <0 (已知条件 ) .即P1、P2 中有一点在x轴上方 ,另一点在x轴下方 .为此二次函数的图像与x轴相交 .所以　Δ =(b -c) 2 -4a(a +b +c) >0 .即得　 (b-c) 2 >4a(a+b+c) .当a=0时 ,由已知条件得c(b+c) <0 ,即b≠c,(b -c) 2 >0 ,结论也成立 .原命题得证 .构造二次函数来解题是一…     

探究解法“促”理解 追根溯源“亮”本质——对2012年高考数学安徽卷理科第20题别解与探源

一、问题展示(2012年高考数学安徽卷第20题)如图1,F(1-c,0),F(2c,0)分别是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a2/c于点Q;     

有趣的数形结合

例 1.求函数y =x - 3-x - 1的值域解 :y =x - 3-x - 1=- 4　 (x 3)2 - 2x　 (- 1 x 3)4　 (x - 1)得　y∈ - 4,4 (如图 )变式 :已知 :a 相似文献   

利用点重合巧解题

众所周知,点P(a,b)与Q(c,d)重合的充 要条件是a=b且b=d,利用这一条件解某些 数学问题,可以收到出奇制胜的效果,请看两 例. 例1 设n∈N且sinα+cosα=-1,求 sinnα+cosnα的值. 解 易知点P(sinα、cosα)既是直线x+y, =-1上的点又是圆x2+y2=1上的点,而该 直线和圆的公共点只有A(0,-1)和B(-1,0) 两点,所以点P与点A或点B重合,从而有     

斜率与离心率的一个有趣性质

本文介绍椭圆双曲线离心率与其有关斜率的一个有趣关系式 ,并说明它的应用 ,供读者参考 .定理　l1是过椭圆 x2a2 + y2b2 =1 (a >b >0 )焦点F且与x轴垂直的直线 ,A ,l2 是与F相对应的顶点和准线 ,经过椭圆中心O作斜率为k的直线l与l1,l2 分别交于P ,Q两点 ,则AP⊥AQ的充要条件是k2 + 2 =e +1e(e是离心率 ) .证明　由对称性 ,不妨设F是左焦点 ,则l1,l2 的方程分别是x =-c和x =- a2c.又知l的方程为y =kx ,分别与l1,l2 的方程联立解得点P( -c ,-kc)和Q( - a2c,ka2c) .又知点A( -a ,0 ) ,所以AP⊥AQ kAPkAQ=- 1 - kca -c·- ka2ca - a2…     

初三代数第一学期期末自测题

A组一、填空题1 .13 x2 =2x的二次项是 ,一次项是 ,常数项是 .2 .二次方程 2ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 )有一根为 1 ,那么 2a +b +c=.3 .已知 (m +1 )xm2 -2m -1 +3x -2 =0是关于x的一元二次方程 ,那么m的取值范围是 .4.已知点P在第二象限 ,它的横坐标与纵坐标的和为 1 ,点P的坐标可以是 (只要写出符合条件的一个点的坐标即可 ) .5 .已知y +3与x-1成正比例 ,且x =2时 ,y=2 ,则x=-3时 ,y=.6.若解方程 2xx +1 -m +1x2 +x=x+1x 产生增根 ,则m=.7.要使直线y =3x -2通过点 ( 2 ,1 0 ) ,应把此直线向上平移个单位 .8.若直线y =-x +a和直线y =x +b的交…     

椭圆焦点弦中的新结论

1·引言文[1]介绍了椭圆x2a2 by22=1焦点三角形的若干性质,读后很受启发,笔者研究了焦点弦的若干性质·2·几个结论定理1设P是椭圆x2a2 by22=1上任意一点,F1、F2是两个焦点,弦PP1、PP2分别过焦点F1、F2,过P1、P2的切线交于P′,则P′点的轨迹方程为:x2a2 (ab22 y2c2)=1·证明设P(acosθ,bsinθ),F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2,P1(图x1,1y1),P2(x2,y2)·直线PP1方程为y=acbossiθnθ c(x c),b2x2 a2y2=a2b2,b2(acosθ c)2x2 a2b2sin2θ(x c)2=a2b2(acosθ c)2,x2项的系数为b2(a2sin2θ a2cos2θ 2accosθ c2)=b2(a2 c2 2accosθ)·x项的…     

解析几何中的四类对称变换

[复习说明 ]由于平面解析几何中所研究的许多图形是对称图形 ,于是相关的对称变换问题经常在全国高考试卷与各地模拟试卷中出现 ,它是高考复习的一个热点专题 .本专题复习的重点是两点关于直线成轴对称问题 ;难点是两曲 (直 )线关于直线成轴对称问题 .[内容提要 ]1 .点 P(x,y)关于点 M(a,b)成中心对称的点是 P′(2 a - x,2 b - y) .2 .两点 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )关于直线 Ax+By +C=0 (AB≠ 0 )成轴对称的充要条件是　 A .x1+x22 +B .y1+y22 +C =0 ,且 (- AB) .y1- y2x1- x2=- 1 .特例　点 P(x,y)依次关于直线 x =a,y =b,y =x,y =- x…     

用行列式求通过定点的曲线与曲面方程

线性方程组的理论中有一个基本结论 :含有 n个方程 n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零。利用这个结论 ,我们可以建立用行列式表示的直线、平面和圆的方程 ,也可以求出一般多项式的表达式。如果平面上有两个不同的已知点 ( x1,y1) ,( x2 ,y2 ) ,通过这两点存在惟一的直线。设直线方程为 :ax+by+c=0 ,且 a,b,c不全为零。由于 ( x1,y2 ) ,( x2 ,x2 )在同一直线上 ,所以它们满足上述直线方程 ,即 :ax1+by1+c=0 ,ax2 +by2 +c=0。因此有ax +by +c=0ax1+by1+c=0ax2 +by2 +c=0　　这是一个以 a,b,c为未知量的齐…     

问题与解答

一、本期问题 1.设曲线y=ax~2+bx+c(a,b,c为实数)与直线y=x及y=-x均不相交。试证对一切x∈(-∞,∞)都有 |ax~2+bx+c|>1/(4|a|)。 2.在五个连续的自然数中恰有三个数成公比为自然数的等比数列。求出这五个连续的自然数。 3.一直线通过线段AB的中点O,直线与线段AB的一个夹角为θ且0<θ<π/2,动点P在直线上变动,证明tgθ/2 ≤PA/PB≤ctgθ/2。     

双曲线的通径不一定是最短的焦点弦

设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,c=a2+b2),取其右焦点F(c,0),过点F的直线与双曲线交于不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).若P1,P2同在双曲线右支上,则当P1P2垂直于实轴时,|P1P2|取最小值2b2a(即通径长)(证明见《中学数学》2005年第7期P16);若P1,P2分别在双曲线左、右支上,则当P1P2垂直于虚轴时,|P1P2|取最小值2a(即实轴长).证明如下:证明令直线P1P2的方程为y=kx+m(|k|相似文献   

椭圆的一个有趣性质及应用

性质　椭圆 x2a2 +y2b2 =1(a >b >0 )上任意一点P与过中心的弦的两端点连线PA ,PB与对称轴不平行 ,则直线PA ,PB的斜率之积为定值 .图 1　性质证明用图证明　如图 1,设P(x ,y) ,A (x1,y1) ,则B(-x1,- y1) ,∴ x2a2 +y2b2 =1(1)x12a2 +y12b2 =1(2 )(1) - (2 )得x2 -x12a2 =- y2 - y12b2 ,∴ y2 -y12x2 -x12 =- b2a2 .∴kPA·kPB=y - y1x -x1·y +y1x +x1=y2 - y12x2 -x12 =- b2a2为定值 .这条性质是圆的性质 :“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广 ,它充分揭示了椭圆的图 2　推论图本质属性 ,因而能简洁解决问题 .推论　…     

一道探究题的拓展

正苏教版数学"必修2"教材中有一道探究题目:已知圆C:x2+y2=r2,直线l:ax+by=r2.(1)当点P(a,b)在圆C上时,直线l与圆C具有怎样的位置关系?(2)当点P(a,b)在圆C外     

谈向量方法在有关直线问题中的应用

平面向量引入中学数学 ,丰富了中学数学的内容 ,也为解决数学问题提供了一种全新的方法向量法 .以下笔者通过对联赛题及高考题中相关问题的分析 ,介绍向量法在直线方程及直线与圆锥曲线综合问题中的应用 .1　有关知识1.向量a(x1,y1) ,b(x2 ,y2 )共线的充要条件是　x1y2 -x2 y1=0 .2 .向量a(x1,y1) ,b(x2 ,y2 )垂直的充要条件是　x1x2 +y1y2 =0 .3.直线l经过点P0 (x0 ,y0 ) ,v(a ,b)为其方向向量 ,则直线的点向式方程为 x -x0a =y -y0b .4 .直线l经过点P0 (x0 ,y0 ) ,n(a ,b)为其法向量 ,则直线的点法式方程为a(x -x0 ) +b(y - y0 ) =0 .2　…     

点关于圆的极线的三种情形

人教版高中《平面解析几何》必修本P62 例 3描述了这样一个命题 :若点P(a ,b)在圆x2 +y2=r2 (r>0 )上 ,则直线ax +by=r2 (把圆方程中x2 ,y2 各拿一个字母分别换成a ,b)表示过点P的圆的一条切线 .这是情形①在一些教辅资料中 ,则介绍了情形② :若点P(a ,b)在圆x2 +y2 =r2 (r>0 )外 ,过点P作圆的两条切线 ,切点分别为A ,B ,则直线ax +by=r2 表示过点A ,B的直线 (该直线方程俗称为切点弦方程 )略证　设A ,B的坐标分别为 (xA,yA) ,(xB,yB) ,由情形①得 :lAP:xAx+yAy=r2lBP:xBx+yBy=r2因点P既在lAP 上 ,又在lBP上 ,则 xAa+yAb=r2xBa…     

一道课本习题的错解及剖析

高中数学第二册 (上 ) (试验修订本·必修 )P1 0 3上有这样一道习题 :点P与一定点F( 2 ,0 )的距离和它到一定直线x =8的距离的比是 1∶2 ,求点P的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么图形 .常见解法 :由椭圆的第二定义及性质得 :c=2ca=12 a =4 b=2 3于是点P的轨迹是椭圆x21 6+y21 2 =1这种解法靠得住吗 ?不妨再看一例 :点P与一定点F( 1 ,0 )的距离和它到一定直线x =5的距离的比是 1∶ 3 ,求点P的轨迹方程 .错解 1 :同上例得所求的方程为x23 +y22 =1 .错解 2 :由椭圆的性质得c=1a2c=5 a2 =5,b2 =4.于是所求的方程为 x25+y24=1 .错解 3 :由椭圆的…     

用向量证明不等式两例

由向量的内积:a·b=|a|·|b|·cosθ, 可得 因为 -1≤cosθ≤1, 所以有 这个结论在证明不等式时常常用到. 例1 已知口a2+b2+c2=1,x2+y2+z2= 1,其中a、b、c、x、y、z均为实数,求证: -1≤ax+by+cz≤1. 证明 设p=(a,b,c), q=(x,y,z), 则 ,即.     

二次函数和抛物线不等式

考察二次函数 y =ax2 +bx +c(a≠ 0 ) .为了方便起见 ,记 f(x) =ax2 +bx +c,对它进行配平方 ,可以得到f(x) =a x + b2a2 + 4ac -b24a .由上式 ,我们容易得到以下诸结论 :1)若a >0 ,则当x≤ - b2a时 ,y是单调递减的 ;当x≥ - b2a时 ,y是单调递增的 .因此 ,y =f(x)在全实轴上没有最大值 ,只有x =- b2a是 y在全实轴上的最小值点 ,其最小值为ymin=f - b2a =4ac -b24a .从而有 f(x)≥4ac -b24a (1)2 )若a <0 ,则当x≤ - b2a时 ,y是单调递增的 ;当x≥ - b2a时 ,y是单调递减的 .因此 ,y =f(x)在全实轴上没有最小值 ,只有x =- b2a是 y在全实轴上的最…     

W.Janoux猜测的原形(本源)浅析及其加强与应用

以下问题就是W .Janoux猜测设x、y、z>0　则y2 -x2z +x + z2 -y2x +y + x2 -z2y +z ≥ 0此不等式流传已久 ,迄今为止已有多种证法 ,但其最简表示形式 (即原形 )是什么 ?不得而知 .在正本清源这种思想的引导下 ,笔者对其进行了分析、研究 ,并获得了一个很好的结果 ,现介绍如下 .1　一个简单而有趣的代换设x、y、z是正数 ,令a=x +y ,b=x+z,c=y +z.则y-x=c-b ,z -y=b-a ,x-z=a -c.而且这里的a、b、c满足条件a+b>c,a+c >b ,b+c>a ,故以a、b、c为边可构造一个三角形 .所以这个代换就揭示了一组正数与三角形的边之间的一种等价转换关系 .2　猜测…     

再谈“两相交直线所成角的平分线方程”

本刊 2 0 0 3年第 8期中 ,金亮同学的结论是 :当两相交直线的斜率之积为± 1时 ,两直线方程相加减即得两直线所成角的平分线方程 .我经研究后发现 ,该结论的表达不准确 ,这从金亮同学的证明中可以看出 ,应改为 :两相交直线ax +by +c1 =0与bx±ay +c2 =0 ( |a|≠ |b| ,a≠ 0 ,b≠ 0 )的方程相加减即得两直线所成角的平方线方程 .因为a2 +b2 =b2 + (±a) 2 ,本人可将此结论推广如下 .推广　当两相交直线l1 ∶a1 x +b1 y +c1 =0 ,l2 ∶a2 x +b2 y +c2 =0 (a1 b2 ≠a2 b1 ) ,满足a21 +b21 =a22 +b22 时 ,两直线方程相加减可得 .证明设 (x ,y)为…