多变量函数的最值

多变量的函数最值问题,历来是同学们的一个难点,由于变量多或变量之间的相互约束,往往是顾此失彼,感到难以入手.虽如此,这类问题也有一定的规律可循.下面给出处理这类问题的几种常用的方法,供参考. 一、利用不等式利用不等式结合等号成立的条件,可以很方便地求解某些多变量函数的最值.     

等号不成立时的若干处理途径

最值问题往往涉及的知识点多 ,覆盖面广 ,综合性强 ,它是高考考查的一项重要内容 .利用不等式中的等号成立求最值是解决最值问题的主要方法 .学生在利用这种方法求最值时 ,常常会发现等号不能成立 ,得到的是错解 .但此时往往束手无策 ,一筹莫展 .那么 ,出现这种情况后 ,又该如何走出困境 ?本文介绍几种常见途径 ,供参考 .1　 利用函数单调性解题例 1　求 y =x2 + 5x2 + 4的最小值 .错解　∵　 y =x2 + 5x2 + 4=x2 + 4+ 1x2 + 4≥ 2 ,∴　 y的最小值为 2 .分析　因为 x2 + 4≠ 1 ,所以 y取不到最小值 2 .不等式问题可以看成函数的一个分支 ,…     

你关注等号成立的条件了吗?

利用均值不等式求函数最值是不等式应用的典型类型,同学们在解此类问题时常因忽视等号成立的条件而致错,现分析数例如下.     

利用均值不等式巧解三角问题

<正>均值不等式是中学数学的一个重要不等式,是证明不等式及各类最值问题的一个重要依据和方法.均值不等式的形式有多种,其中最基本和最常用的是:1当a>0且b>0时,a+b≥2(ab)^(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a²     

谈条件不等式含不含等号问题

在数学解题中,经常会将题意转化为不等式来解,但转化成含等号的不等式还是不含等号的不等式,着实困惑了不少同学,而且往往就因为一念之差导致了错误结果,尤其是填空题将功亏一篑.现对高中数学教学中常见的几种情况进行树立分析.     

“成”也等号 “败”也等号

<正>数学研究中,发现了一些不仅形式优美而且具有重要应用价值的不等式,人们称它们为经典不等式,基本不等式和柯西不等式就属于这样的不等式.运用这些经典不等式可以求解某些最值问题或取值范围问题,其中,"等号"成立的条件扮演了很重要的角色.它好比一把双刃剑,用好它,可以帮助我们轻松解决问题,忽视它,可能导致我们解题失误.本文从正反两个方面来谈谈"等号"成立的条件,既开拓了学生的解题思路,又活跃了学生的思维,从而提高学生的解题能力.一、成也等号——利用等号妙解题     

求函数最值的一点思考

<正>基本不等式的应用是高考的一个重点、热点,而较复杂的问题判断等号成立条件是一个难点,笔者在平时的教学中发现了基本不等式一个应用的规律——基本不等式和函数单调性结合求函数最值,供大家参考.     

当等号不能成立时

在应用基本不等式的有关定理求最值时要把握定理成立的三个条件,就是＂一正——各项都是正数;二定——积或和是定值;三相等——等号能否取到＂.求最值时,若忽略了某个条件,就会出现错误,     

从等号成立的条件探讨不等式的证明

不等式的证明是中学数学中的难点,方法灵活多样,技巧性强,没有固定的证题模式。有些不等式,如果我们挖掘出其等号成立的条件,则常使我们觅得解决问题的途径,为了说明问题,先看下面的题目: 例1 a,b为正实数,且a b=1,求证: 因观察以上证明过程,虽然推理没有错误,但没有达到证明原不等式的目的,不难发现使用的不等式ab 2/ab≥2(ab·2/ab)~(1/2)中,等号不能成立,这说明这一不等式还需进一步加强,那么如果使用平均不等式,如何使等号成立呢?所证不等式中,易知a=b=1/2时等号成立,此     

引入参数求最值

在利用均值定理求最值时,往往由于忽视等号成立的条件而导致错误,引入参数求最值可避免这类错误的发生.下面举例说明,供同学们参考. 例1当0相似文献   

连续放缩两次探求多元函数最值

<正>求多元函数最值问题,内涵丰富,方法灵活多变,技巧性强,难度大,解法没有规律性,且有些此类问题按常规方法求解更有难度.若利用题设条件、不等式性质、基本不等式及柯西不等式等连续放缩两次,将多元变量转化为少元变量或单元变量,并兼顾等号成立的条件来解答,可使思维简约,过程简捷.下面举例说明,旨在抛砖引玉.1.由题设条件和均值不等式连续放缩两次由题目直接或间接给出的条件和均值不等式连续放缩两次,将多元变量最值问题转化为一     

基本不等式中的“一正二定三相等”

“一正二定三相等”是指在应用基本不等式a1＋a2＋…＋an/n≥√a1·a2·…·an求函数的最值时,需同时满足以下三个条件：（1）各项均为正数;（2）和或积为定值;（3）具有等号成立的条件．然而在求解时,学生往往考虑不周,造成解题错误,主要体现在以下三个方面：     

例谈多元函数最值的求法

多元函数的最值问题一般都含有两个或两个以上的变元,常与不等式、函数方程、线性规划、三角等知识交汇,知识综合性强,求解技巧性高,学生困惑多,教学难度大.高中数学中有许多问题都与多元函数的最值有着密切联系.本文针对这一常见题型,适当侧重于二元函数z=f（x,y）型的最值问题,试对其主要解法作一概述,旨在对同学有所裨益.1.不等式法基本不等式a＋b/2≥ab（1/2）（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时等号成立）是一个重要的不等式,     

利用基本不等式解题应注意的问题

对于实数x,y有不等式x2 y2≥2xy,其中当且仅当x=y时取等号,应用这一等号成立的条件来解一些诸如求最值、值域等问题,有时显得简洁、轻快,能收到化难为易、事半功倍之效.但一定要注意题目中存在的某些隐含条件,否则极易产生错误,且不易觉察,笔者结合多年的教学实践,谈一点体会,以引起同学们的注意.     

质疑不等式恒成立中的一类提法

不等式恒成立中求参数取值范围问题,有一种非常典型的错误提法,即把问题转化为函数最值问题来处理,然后将参数与函数最值作比较,就得到了参数的取值范围.症结在于提出结论的人有一种潜在的假设,即函数的最值存在.但事实上,我们可能遇到的函数是没有最值的,若机械套用上述方法,就有可能导致思维受阻,甚至拿不准是该用带等号的"≥(或≤)"符号还是该用绝对不等的">(或<)"符号来表示参数的取值范围,这也恰是学生参数取值范围问题的难点.笔者先原文摘录刊物上的一些典型的提法,再构造反例说明其中的不科学性,最后用定理形式试给出一些正确结论.     

巧用“镶嵌”求最值

评注 解法1、解法2中用到的方法可分别称为“和镶嵌”、“积镶嵌”．“和镶嵌”和“积镶嵌”就是在欲求最值式子乘以定值或式子,通过使用均值不等式得到最值,解题过程中要注意保证等号成立．     

一元一次不等式的非常规解法

解一元一次不等式 ,与解一元一次方程类似 :去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.只是涉及到在不等式两边同时乘以 (或除以 )一个负数时 ,要改变不等号的方向 .尽管如此 ,同学们还是容易出错 .我们在练习中发现 ,直接用解一元一次方程 ,来求一元一次不等式的解集 ,这样就可以避免“方向是否改变”容易出现的错误 .这种方法可按以下三步进行 :①将不等式变为方程 (即将不等号改为等号 ) ;②解这个方程 ,得出方程的解 ;③取大于(或小于 )方程的解的任一个值 ,代入原不等式的未知数进行验证 .若使不等式成立 ,则大于(或小于 )方程的…     

利用Lagrange乘数法证明加权平均不等式

在高等数学中,证明不等式的常用方法是利用函数的单调性及函数的极值或最值．文献[1]用多元函数极值性质证明了算术-几何平均不等式,本文用Lagrange乘数法证明在应用上很重要的一个不等式—加权平均不等式．不等式称为加权平均不等式其中等号当且仅当时成立．行证明即可．构造Lagrange函数对诸X;求偏导并令其为零,则有解得,将其代中就得到山（下转第37页）为唯一驻点．因为是诸的连续函数,由文献[3]知,处取得最小值所以等号当且仅当时成立．利用Lagrange乘数法证明加权平均不等式@张俊祖$西安公路交通大学[1]薛红,条件极值在证明不…     

当等号不能成立时

我们知道,在应用均值不等式求有关函数的最值时,必须注意"一正(各项均为正数)、二定(和或积为定值)、三相等(等号能否取到)"三个条件.若忽略了某个条件,应用它求最值就会出错,特别是"取得等号"这个条件最易被忽视.或者说,当不能取等号时,求函数最值就显得无能为力了.事实     

“不正、不定”怎么办

基本不等式＂（a＋b）/2≥（ab）（1/2）（a,b≥0）＂是高中所学不等式中的重点,其内涵丰富,应用之广泛.其中求最值是它最典型的应用,也是高考常考内容.在利用基本不等式求最值时,必须要满足＂一正、二定、三相等＂三个条件,缺一不可,才能确保等号的成立.＂一正＂即＂a、b均为正数＂;＂二定＂即＂和为定值时,积有最大值...