点圆及点圆系的性质与应用

点是几何中最基本的元素,也可以视其为半径为零的圆,即点圆.坐标平面上的点圆Ｐ(ｘ0,ｙ0)的方程可记为(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2=0.由点圆Ｐ,直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=1,圆Ｍ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2=ｒ2(ｒ>0),可构成下列圆系:点Ｐ(ｘ0,ｙ0)在圆Ｍ上,λ为非零实数,有圆系Ｄλ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2-ｒ2 λ[(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2]=0(1)点Ｐ(ｘ0,ｙ0)在直线ｌ上,λ为非零实数,构造圆系Ｅλ:(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2 λ(Ａｘ Ｂｙ Ｃ)=0(2)直线ｌ与圆Ｍ相切于点Ｐ,λ为非零实数,构成圆系Ｆλ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2-ｒ2 λ(Ａｘ Ｂｙ Ｃ)=0(3)下面给出Ｄλ,Ｅλ,Ｆλ的性…     

综合题新编选登

题 1 1　已知复数 -4 ,4,ｚ0 分别对应复平面内的点Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,ｚ0 不在实轴上 ,|ｚ0 |=8.1 )求△ＡＢＣ的外接圆圆心Ｍ的轨迹Ｃ ;2 )若Ｎ是圆 (ｘ -4 ) 2 ( ｙ -ｂ) 2 =4上的动点 ,求 |ＭＮ|ｍｉｎ=ｆ(ｂ)的最大值 ;3 )若二次方程 2ｘ2 ( 2ｍ 4 )ｘ ｍ2 4=0有实根 ,且抛物线 ( ｙ-ｎ) 2 =92 (ｘ ｍ)与轨迹Ｃ有两个不同的交点 ,求实数ｎ的取值范围 .解　 1 )设ｚ0 =ｘ0 ｙ0 ｉ (ｘ0 ,ｙ0 ∈Ｒ) ,则ＡＣ的中点坐标为 ( ｘ0 -42 ,ｙ02 ) ,∴ＡＣ边的中垂线方程为ｙ-ｙ02 =-ｘ0 4ｙ0(ｘ -ｘ0 -42 ) ( 1 )又ＡＢ边的中垂线方程为ｘ =0 …     

综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…     

求一类轨迹方程的代换规律

观察下面的例子 .例 1　如图 ,已知定圆Ｏ :ｘ2 ｙ2 =ｒ2 和不在圆Ｏ上的一个定点Ｑ(ｘｏ,ｙｏ) ,过Ｑ作直线交圆Ｏ于Ａ、Ｂ两点 ,Ｐ为动直线ＡＢ上不同于Ｑ的另一点 ,且｜ＡＰ｜｜ＰＢ｜=｜ＡＱ｜｜ＱＢ｜.求Ｐ点的轨迹 .解　设Ａ、Ｂ、Ｐ的坐标分别为 (ｘ1 ,ｙ1 )、(ｘ2 ,ｙ2 )、(ｘ ,ｙ) ,则有ｘ21 ｙ21 =ｒ2 ,ｘ22 ｙ22 =ｒ2 .设 ＡＰＰＢ =λ ,则 ＡＱＱＢ =-λ .由ｘ=ｘ1 λｘ21 λｙ=ｙ1 λｙ21 λ和ｘｏ =ｘ1 -λｘ21 -λｙｏ =ｙ1 -λｙ21 -λ得ｘｏｘ ｙｏｙ =ｘ21 -λ2 ｘ221 -λ2 ｙ21 -λ2 ｙ221 -λ2=ｘ21 ｙ21 -λ…     

圆的一个性质的探求

一、问题的提出在高级中学课本《平面解析几何》(必修 )第 68页上有这样一道例题 :已知一曲线是与两个定点Ｏ(0 ,0 )、Ａ(3 ,0 )距离的比为12 的点的轨迹 ,求这个曲线的方程 ,并画出曲线 .课本中给出本题的答案是 :所求的轨迹方程为 (ｘ+ 1) 2 +ｙ2 =4,它是以Ｃ(-1,0 )为圆心 ,ｒ =2为半径的圆 (如图 ) .一般地 ,我们还可以证明 :与两个定点Ｍ1 、Ｍ2 距离的比是一个常数ｍ(ｍ >0 ,ｍ≠ 1)的动点轨迹是一个圆 (证明从略 ) .现在我们要思考的问题是 ,这两个定点及定比与所得的圆是什么关系 ?对于一个圆 ,是否一定存在一对点 (唯一还是无穷多…     

点参数的应用

借助常见曲线的参数方程 ,恰当地引入点参数解题 ,有时是十分简便的 ,下面例说点参数的几个应用 .1　求动点的轨迹例 1　已知Ｐ为双曲线ｘ21 6- ｙ29=1上任一点 ,Ｆ1,Ｆ2 是双曲线的两个焦点 ,求△Ｆ1ＰＦ2 的重心的轨迹方程 .解　∵Ｐ点在双曲线ｘ21 6- ｙ29=1上 ,∴可设Ｐ(4ｓｅｃθ,3ｔｇθ) ,又设△Ｆ1ＰＦ2重心的坐标为 (ｘ ,ｙ) ,而Ｆ1(- 5,0 ) ,Ｆ2 (5,0 ) ,则ｘ =4ｓｅｃθ- 5+53 =43 ｓｅｃθ,ｙ =ｔｇθ.消去θ ,得 91 6ｘ2 - ｙ2 =1 .由题设知重心不能在ｘ轴上 ,则所求轨迹方程为91 6ｘ2 - ｙ2 =1 (ｙ≠ 0 ) .2　求参数的范围 (…     

这个轨迹该如何检验?

求轨迹方程的最后一步检验 ,一般省略不写 ,因此致使许多学生干脆省略不想 .其实 ,这一步是不能省略不想的 ,有时甚至不太容易想清楚 ,比如下面两例 .例 1　已知双曲线方程为ｘ2 - ｙ2 =4,过点Ａ(3,7)的直线ｌ与该双曲线交于两点Ｐ1和Ｐ2 ,求线段Ｐ1Ｐ2 的中点Ｍ的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么图形 .解　设Ｐ1(ｘ1,ｙ1) ,Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,Ｍ (ｘ ,ｙ) ,则ｘ =ｘ1 ｘ22 ,ｙ =ｙ1 ｙ22 .由Ｐ1,Ｐ2 在双曲线上 ,有ｘ21- ｙ21=4,ｘ22 - ｙ22 =4,两式相减 ,可得ｘ21-ｘ22 =ｙ21- ｙ22 .当ｘ1≠ｘ2时 ,化为ｙ1- ｙ2ｘ1-ｘ2 =ｘ1 ｘ2ｙ1 ｙ2 =ｘ…     

对"椭圆和双曲线第二定义"教材处理的几点建议

人民教育出版社出版的高中数学高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 ) (以下简称课本 )第 78页 ,是这样引入椭圆第二定义的 :图 2 -18“例 3　点Ｍ(ｘ ,ｙ)与定点Ｆ(ｃ,ｏ)的距离和它到定直线Ｌ:ｘ =ａ2ｃ 的距离的比是常数ｃａ(ａ >ｃ>0 ) .求点Ｍ的轨迹 (图 2 -1 8) .解　设ｄ是点Ｍ到直线Ｌ的距离 .根据题意 ,所求轨迹就是集合Ｐ =Ｍ ＭＦｄ =ｃａ ,由此得 (ｘ-ｃ) 2 +ｙ2ａ2ｃ -ｘ=ｃａ 将上式化简 ,得 :(ａ2 -ｃ2 )ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 (ａ2 -ｃ2 ) ,设ａ2 -ｃ2 =ｂ2 (ｂ>0 ) ,就可化成ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 .这是椭圆的标准方程 ,所…     

用几何画板求与直线、定圆相切的圆心轨迹

先看下面的问题及解答 :图 1已知圆Ｃ :(ｘ -2 ) 2+ｙ2 =1 ,一动圆与ｙ轴相切 ,又与圆Ｃ外切 ,试求这动圆的圆心的轨迹方程 .解　如图 1 ,设动圆的圆心为Ｏ1(ｘ ,ｙ) ,有|Ｏ1Ｃ|=|Ｏ1Ｐ|+|ＰＣ|=|Ｏ1Ｐ|+1 ,即　 (2 -ｘ) 2 +ｙ2 =ｘ +1 .因此所求动圆的圆心轨迹方程为ｙ2 =6ｘ -3 .当定圆的半径变化时 ,比如半径分别为 2、3时 ,上述解法是否仍然正确呢 ?答案是否定的 .我们可以通过几何画板来观察分析 .具体作法如下 :显示坐标系 ,作一长度为 1的线段ＡＢ ,以Ｃ(2 ,0 )为圆心、ＡＢ为半径画圆 ,由上述解法可知与ｙ轴相切且与 (ｘ -2 ) 2 +ｙ…     

配方法求一般二次曲线标准方程

本文介绍待定常数配方法求一般二次曲线标准方程 .只须方程组和点到直线的距离等基础知识 ,不仅方法简明 ,理论上也易为中学生接受 ,是中学解析几何教学改革的一个可行方案 .设一般二次曲线方程为　φ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ　 Ｅｙ Ｆ =0 (1 )当Ｂ =0时 φ(ｘ ,ｙ)可配方 ,故本文专论Ｂ≠ 0 ,并设Ａ≥ 0 ,记△ =Ｂ2 - 4ＡＣ .1　二次函数的配方定理 1　当Δ =0时 ,可恒等变形 ,使φ(ｘ ,ｙ) =(Ａｘ Ｃｙ ｈ1) 2 ｑ(- Ｃｘ　 Ａｙ ｈ2 ) ｒ (2 )证　因Δ =0 ,Ｂ≠ 0 ,Ａ≥ 0 ,必有Ａ >0 ,Ｃ >0 .展开 (2 )式右边与 (1…     

圆的直径式方程的妙求活用

若知圆的一直径的两端点Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则圆的方程为 (ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) + (ｙ - ｙ1) (ｙ -ｙ2 ) =0 .特别地 ,若Ａ ,Ｂ为一直线和一圆锥曲线的两交点 ,则可妙求圆的方程 ,下面给出一个定理 .定理　设直线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0和二次曲线 ｇ(ｘ ,ｙ)=0交于Ａ ,Ｂ两点 ,联立两方程 ,分别消去 ｙ和ｘ得ｕ(ｘ) =0及ｖ(ｙ) =0 (其中ｕ(ｘ)和ｖ(ｙ)的二次项系数相等 ) ,则以ＡＢ为直径的圆的方程为ｕ(ｘ)+ｖ(ｙ) =0 .证明　设Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,显然ｘ1,ｘ2 是方程ｕ(ｘ) =0的两个根 ;ｙ1,ｙ2 是方程ｖ(ｙ) =0的两个根 ,…     

抛物线弦中点轨迹的一个重要结论

以下三道关于抛物线弦中点的轨迹问题引起了我的思考 ,即 :例 1　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =4ｘ的顶点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 2　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =16ｘ的焦点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 3　直线ｌ过 (0 ,4 )点 ,与抛物线ｘ2 =8ｙ相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .将以上三题的相关结果列表如下 :表 1　例 1,例 2 ,例 3的解答结果内容题号抛物线方程弦中点轨迹方程弦所过定点弦中点轨迹顶点抛物线通径弦中点轨迹通径例 1ｙ2 =4ｘ ｙ2 =2ｘ (0 ,0 ) (0 ,…     

用平移变换巧解一类对称问题

关于直线 ｙ =±ｘ ｂ (ｂ≠ 0 )对称的问题 ,常规思路是直接用“垂线法”求解 ,虽思路自然 ,但运算烦琐 .若通过平移变换 ,转化为关于直线 ｙ′=±ｘ′对称的问题 ,则将减少运算量 ,轻松获解 .例 1　求点Ａ(5 ,3 )关于直线ｌ:ｙ =ｘ 1的对称点Ｂ的坐标 .解　作平移变换　ｙ′=ｙ ,ｘ′=ｘ 1 .在新坐标系下 ,点Ａ的坐标为 (6,3 ) ,它关于 ｙ′=ｘ′的对称点为 (3 ,6) .∴在原坐标系下 ,所求对称点Ｂ的坐标为 (2 ,6) .例 2　已知ｌ1和ｌ2 的夹角的平分线为2ｘ 2 ｙ 1 =0 ,如果ｌ1的方程为 3ｘ - 4 ｙ -1 2 =0 ,求ｌ2 的方程 .解　∵ 2ｘ…     

怎样想数学问题

问题　已知以点Ｃ(2,0)为圆心的圆Ｃ与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)相切,动直线ｌ与圆Ｃ相切且与射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)分别交于Ａ,Ｂ两点,求ＡＢ的中点的轨迹方程.分析:1)首先细审题意,分清已知条件与求解目标,明确问题结构.已知几何条件有三点:①圆心为Ｃ(2,0)的圆与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)相切;②直线ｌ与圆Ｃ相切;③ｌ与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)分别交于Ａ,Ｂ两点.所求是适合上述三个几何条件的线段ＡＢ中点的轨迹2)充分运用综合分析法.首先从求解目标出发逆推:①动点Ｍ的确定依赖于线段ＡＢ两端点Ａ与Ｂ的位置.若考虑到ＡＢ与圆Ｃ相切,则可知若Ａ,Ｂ两…     

圆锥曲线中的一个距离问题

设抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ ,椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1和双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1,Ｍ (ｘ ,ｙ)是曲线上的动点 ,Ａ(ｎ ,0 )是它们过焦点的一条对称轴上的一定点 ,求 |ＭＡ |的最小值是圆锥曲线教学中常遇到的一个问题 ,也是用方程根的判别式难以解决的问题 .本文以它们统一的极坐标方程对其加以研究 .设焦点Ｆ为极点 ,Ｆｘ为极轴 .Ｍ(ρ ,θ) (ρ >0 ) ,则极坐标方程为 ρ =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ.为方便运算 ,以Ｆ点为新原点 ,相应的直角坐标系ｘ′Ｆ ｙ′里 ,Ｍ点坐标为Ｍ(ｘ′ ,ｙ′) .图 1　二次曲线如图 1,极坐标系下Ａ点坐标设为Ａ (ｍ ,0 ) ,…     

面积法解题举隅

对于一些涉及三角形的解析几何题 ,灵活地引用三角形面积公式 ,可以优化解题过程 ,请看下面的例图 1子 .例 1　在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ= 6 0° ,Ｓ△ＡＢＣ=8,试求ＢＣ边的中点Ｍ的轨迹方程 .解　以Ａ为原点 ,直线ＡＣ为ｘ轴 ,建立如图 1所示的直角坐标系 ,设Ｍ (ｘ,ｙ)(ｘ>0 ,ｙ >0 ) ,则　ＡＣ =2 (ｘ - 33ｙ) ,　ＡＢ =2·2 33ｙ ,∵　Ｓ△ＡＢＣ=12 ·ＡＣ·ＡＢ·ｓｉｎ∠ＢＡＣ =8,∴　 12 ·2 (ｘ - 33ｙ)·2·2 33ｙ·ｓｉｎ6 0°=8.故点Ｍ的轨迹方程是ｘｙ - 33ｙ2 =4　 (ｘ≥4 42 73,轨迹是双曲线在第一象限内的一支 ) .图 2例 2　如…     

直线方程x0x/a2-y0y/b2=1的几何意义

文 [1 ]探讨了直线方程ｘ0 ｘａ2 +ｙ0 ｙｂ2 =1的三种几何意义 ,读后深受启发 ,作为文 [1 ]的继续本文探讨直线方程ｘ0 ｘａ2 -ｙ0 ｙｂ2 =1的几何意义 .定理 1　若点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上 ,则直线ｘ0 ｘａ2 -ｙ0 ｙｂ2 =1是经过点Ｐ的双曲线的切线 .这只要在已知条件下证明联立方程 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2= 1与ｘ0 ｘａ2 -ｙ0 ｙｂ2 =1消去ｙ或ｘ后的一元二次方程的判别式等于零即可 .定理 2　若点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ >0 )的外部 (不含焦点的部分 ) ,且点Ｐ不在双曲线的渐近线上 ,过点Ｐ引双…     

关于根的判别式应用的课堂讨论

研究曲线的交点问题 ,就是探求由它们的方程所组成的方程组的实数解的问题 ,若该方程组消元后能转化为一元二次方程 ,常考虑运用根的判别式来解决 .运用这种方法 ,同学们产生过困惑吗 ?请参加我们的课堂讨论 .问题　(1)求直线 2ｘ -5ｙ + 5 =0与双曲线 ｙ =-10ｘ的交点 ;(2 )若圆ｘ2 + ｙ2 =1与双曲线 ｘ29ｋ2 -ｙ24ｋ2=1没有公共点 ,求实数ｋ的取值范围 .问题 (1)是新教材第二册 (上 )第 72页练习题 4,联立直线与双曲线的方程组成的方程组 ,无论消ｘ或 ｙ均有Δ <0 ,故交点不存在 .问题 (2 )解答时则出现了分歧 .方案一联立圆与双曲线的方…     

待定系数法求直线方程应注意的

一、关于截距一般地 ,已知直线与坐标轴上的截距有关 ,常设截距式 .但截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 ,故用截距式求直线方程时 ,要注意检验过原点及与坐标轴垂直的直线 .例 1　求经过直线 7ｘ + 8ｙ =38及 3ｘ -2 ｙ =0的交点且在两坐标轴上的截距相等的直线 .解　易得两直线交点为 ( 2 ,3) ,设所求直线方程为　 ｘａ + ｙａ =1 ,∵　点 ( 2 ,3)在直线上 ,∴　 2ａ+ 3ａ=1 ,　∴　ａ =5 .因此所求方程为　ｘ + ｙ =5 .许多同学往往解题到此结束 .显然题解中漏掉过原点的情况 ,即　 3ｘ -2 ｙ =0 .从上题我们知道 ,解此类问题 ,…     

极坐标中常见错误浅析

同学们在学习极坐标时 ,由于受直角坐标学习中形成的思维定势的影响 ,常犯下述几种错误 ,现剖析如下 ,望能引起同学们注意 .1　忽视极点的极角可取任意值致误例 1　化直角坐标方程 2ｘ - 5ｙ =0为极坐标方程 (必修课本Ｐ1 3 5 第 3( 3)题 ) .错解 :当ｘ≠ 0时 ,由 2ｘ - 5ｙ =0得 ｙｘ =25,即ｔｇθ =25;当ｘ =0时 ,ｙ =0 ,从而 ρ =ｘ2 ｙ2 =0 .故所求极坐标方程为ｔｇθ =25或 ρ =0 .分析 :这个解法虽没有什么“原则性”错误 ,但“ρ= 0”却是一只“蛇足” ,应截去 .事实上 ,由于极点的极角可以取任意值 ,在这些值中 ,必有一个能满足ｔ…