圆锥曲线焦点弦的一个性质

笔者在利用《几何画板》探索圆锥曲线的性质时 ,发现圆锥曲线的焦点弦和准线间存在一个有趣性质 ,在此给出 ,共大家分享 .我们先看一个引理 :引理　在极坐标系中 ,设A(ρ1,θ1) ,B(ρ2 ,θ2 )是圆锥曲线 ρ=ep1 -ecosθ 上任意两点 ,则直线AB的方程为 :ρ[cos(θ1+θ22 -θ) -ecosθ1-θ22 cosθ]=epcosθ1-θ22 .证明　在极坐标系中 ,若A(ρ1,θ1) ,B(ρ2 ,θ2 ) ,则直线AB的方程是 :sin(θ1-θ2 )ρ =sin(θ1-θ)ρ2+sin(θ -θ2 )ρ1( )因为A(ρ1,θ1)、B(ρ2 ,θ2 )在圆锥曲线 ρ =ep1 -ecosθ上 ,所以 ρ1=ep1 -ecosθ1,ρ2 =ep1 -…     

圆锥曲线的一个性质

由文 [1]可得圆锥曲线的一个性质 .定理　过圆锥曲线的焦点F的一条直线与这曲线相交于A ,B两点 ,M为F相应准线上一点 .则直线AM ,FM ,BM的斜率成等差数列 .证　对双曲线 x2a2 - y2b2 =1(a >0 ,b >0 ) ,记点A ,F ,M的坐标分别为 (x1,y1) ,(c ,0 ) ,(a2c ,m ) .设双曲线的极坐标方程为 ρ =ep1-ecosθ,点A的极坐标为 (ρ1,θ1) ,则无论点A在双曲线的左支还是在右支 ,都有 ρ1=ex1-a .于是AM的斜率为kAM =y1-mx1- a2c=e(y1-m)ex1-a =e(ρ1sinθ1-m )ρ1=e(epsinθ11-ecosθ1-m)ep1-ecosθ1=еpsinθ1+emcosθ1-mp .　　设点B的极角为…     

圆锥曲线的焦半径公式及应用

如图 1 ,F为圆锥曲线的焦点 ,l为相应于焦点F的圆锥曲线的准线 ,过点F作准线l的垂线 ,垂足为k,令|FK| =p ,M为圆锥曲线上任意一点 ,MN⊥l于N ,FH⊥MN于H ,设∠XFM =θ ,依圆锥曲线的统一定义有|MF||MN| =e ( 1 )又 |MN| =|NH|± |MH| =|FK|± |MH|=p + |MF|cosθ,代入 ( 1 )有|MF|p + |MF|cosθ=e,|MF| =ep1 -ecosθ ( 2 )若直线MF交圆锥曲线于另一点M′.同理可证|M′F| =ep1 +ecosθ ( 3)由此还可推出过焦点F的弦长为|MM′| =|MF| + |M′F|=ep1 -ecosθ+ ep1 +ecosθ=2ep1 -e2 cos2 θ ( 4 )应用上面的公式 ( 2 ) ,( …     

圆锥曲线焦点弦弦长定理及其应用

所谓圆锥曲线的焦点弦,就是一直线经过圆锥曲线的焦点且与圆锥曲线相交于两点所成的线段。焦点弦弦长公式可由下面的定理和推论给出。定理苦e是圆锥曲线的离心率,p是焦点到准线的距离,则与圆锥曲线的对称轴的夹角为θ的焦点弦的长为:l=2ep/(1-e~2cos~2θ) 证明:如图1, 以圆锥曲线的焦点F为极点O,焦点向准线所作垂线的反向延长线为极轴建立极坐标系,则圆锥曲线的极坐标方程     

一个定理的引申及应用

《数学通讯》2010年第11、12期(学生刊)的文[1]中给出了这样一个定理:设F是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的一个焦点,过F的弦AB与x轴的夹角为θ(θ∈(0,π/2],│→AF│/│→FB│=λ (λ＞1),e是离心率,椭圆焦点到相应准线的距离为p,则 (1)ecosθ=λ-1/λ+1; (2) |AB|=2ep/1-(λ-1/λ+1)2.     

用极坐标巧解圆锥曲线高考题举例

<正>以圆锥曲线椭圆为例,以它的左(或右)焦点为极点,建立极坐标系得:ρ=(ep)/(1-ecosθ)(其中p为焦准距,e为圆锥曲线的离心率,θ为极角)一些重要结论1.若直线L过焦点F交椭圆(或双曲线)两点A、B,则1/(|AF|)+1/(|BF|)=2/(ep)     

《圆锥曲线焦点弦的一个性质》一文的补充和推广

在文 [1 ]中给出如下结论 :定理 1　设AB ,CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦 ,弦端点连线AC ,BD交于点M ,则M的轨迹是圆锥曲线的相应准线 .本文对文 ( 1)的证明做些补充并给出定理1的推广形式 .1　补充在文 [1]中给出的定理 1的证明 ,其实是仅证出点M一定在准线上 ,还应补证 :准线上任意一点M ,都存在过焦点的两条弦AB ,CD使AC ,BD的交点为M .补充如下 :设点M( ρ0 ,θ0 )是圆锥曲线E的准线l:ρcosθ=-p上任意一点 ,过点M做直线AC交E于A( ρ1 ,θ1 ) ,C( ρ2 ,θ2 ) ,延长AF ,CF分别交E于B( ρ1 ′,θ1 π) ,D( ρ2 ′,θ2 π)…     

小议圆锥曲线的另一极坐标方程

在六年制重点中学课本《解析几何》(平面)中,介绍了三种圆锥曲线的统一的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)。这里,谈谈中心在极点(抛物线的顶点在极点)、焦点(右)在极轴上的椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程与应用。 (一) 定理1 中心在极点、右焦点在极轴上的椭圆x~2/a~2+y~2/p~2=1(a>b>0)的极坐标方程为ρ~2=b~2/(1-e~2cosθ)(e为离心率) 证明:将x=ρcosθ、y=ρsinθ代入椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1得b~2ρ~2cos~2θ+a~2ρ~2sin~2θ=a~2b~2, ∴ρ~2=a~2b~2/(b~2cos~2θ+a~2sin~2θ)     

圆锥曲线的两个性质

本文拟介绍圆锥曲线的两个性质.定理1已知圆锥曲线C的焦点为F1,F2,准线为l1,l2.P为曲线C上一点,过点P作平行于曲线C的对称轴的直线交l1,l2于点M,N,直线MF1,NF2交于点Q,则点P,F1,F2,Q四点共圆.证不妨设曲线C为椭圆,其方程为(x~2)/(a_2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0),则F1(-c,0),F2(c,0),设P(acosθ,bsinθ),N(a~2/c,bsinθ).     

二次曲线的极坐标方程与标准直角坐标方程互化的一种简单方法

在十年制统编教材高中第二册中,我们知道二次曲线统一的极坐标方程是:ρ=ep/(1-ecosθ)(1)其中p是焦点是准线的距离,即焦距。e是二次曲线的离心率,当e<1时,曲线为椭圆,当e>1时,曲线为双曲线;当e=1时,曲线为抛物线。把二次曲线的极坐标方程(1)化成标准直角坐标方的程一般方法是: 由(1)得:ρ-eρcosθ=ep,ρ=ex+ep ∴ρ~2=e~2x~2+2e~2px+e~2p~2, ∴x~2+y~2=e~2x~2+2e~2px+e~2p~2 ∴(1-e~2)x~2+y~2-2e~2px-e~2p~2=0 (2) (1)当e=1时,方程(2)变成;     

圆锥曲线的一个性质

笔者在圆锥曲线性质的探索过程中发现一个性质,现呈现如下结论1 如图1,过双曲线C:x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的右准线x=a2/c与x轴的交点P作双曲线C的割线交于A,B两点,如双曲线离心率为e,焦准距为p,右焦点为F,∠AFB =θ,直线AB的斜率为k(k＞0),则k=ecosθ/2.     

圆锥曲线"准点弦"的几个性质

圆锥曲线焦点弦和顶点弦长问题是中学数学研究的热点,如文[1]和文[2],而对圆锥曲线“准点弦”(经过圆锥曲线准线与其对称轴交点的直线被圆锥曲线截得的弦)问题的研究并不多见.为此,笔者对圆锥曲线“准点弦”作了些研究,得到了几个性质,现说明如下,供读者参考.定理1经过横向型圆锥曲线的准线与其对称轴交点E作斜率为k或倾斜角为θ的直线L,L与圆锥曲线相交于A,B两点,圆锥曲线焦点F到相对应准线的距离为p,圆锥曲线的离心率为e,则｜AB｜=2p(1 k2)(e2-k2)｜1 k2-e2｜=2pe2-tan2θ｜secθ-e2cosθ｜.证明以EF所在直线为x轴,F为坐标原点建立直…     

圆锥曲线的准线切线焦点弦的相关性

文 [1 ]定理 5概括了抛物线的准线切线焦点弦的一个相关性 .本文将利用极坐标法证明三种圆锥曲线的准线切线焦点弦的几个相关性质 .1　极坐标系中的直线方程引理 1　在极坐标系中 ,过两点A( ρ1 ,α) ,B( ρ2 ,β)的直线方程 (两点式 )为ρρ2 sin(θ - β) =ρρ1 sin(θ -α) + ρ1 ρ2 sin(α - β) ,或sin(α- β)ρ =sin(α-θ)ρ2 + sin(θ- β)ρ1(不经过极点时 ρρ1 ρ2 ≠ 0 ) .证明略 .引理 2　在极坐标系中 ,过点A( ρ1 ,α) ,斜率为k的直线方程 (点斜式 )为 ρsinθ-kρcosθ =ρ1 sinα-kρ1 cosα .引理 3　A( ρ1 ,α) ,B…     

圆锥曲线的一个性质定理及其推论

最近,在高考复习中笔者“无意识”发现了圆锥曲线这样的一个美妙性质:定理如图1,F是圆锥曲线的焦点,l是其相应的准线,过焦点F作直线交圆锥曲线于A,B两点,M是准线l上的任意一点,则直线MA,MF,MB的斜率成等差数列.证以焦点F为坐标原点,过焦点F且垂直于准线的直线为x轴,建立如图1所     

谈极坐标方程ρ=■p/(■eCOS

圆锥曲线统一的极坐标方程(1)р=cp/1-ecosθ分母中第二项的符号是正的时,方程即为(2)р=ep/1+ecosθ°显然它已不是圆锥曲线统一的极坐标方程,但它仍然表示圆锥曲线,e仍然是离心率,р仍然是焦点到准线的距离,且01时表示双曲线。e、p取确定值时,方程(2)与(1)表示的曲线形状完全相同,只是在极坐标系中位置不同。现以椭圆为例列表比较如下。     

注意椭圆参数方程{x=acosθ y=bsinθ}中参数θ的意义

题目 A、B为椭圆b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)上的两点,O为中心,OA⊥OB;求1/OA+1/OB的南的最大值和最小值。错解化椭圆的普通方程为参数方程x=acosθ y=bsinθ (θ为参数) 设A、B两点的坐标分别(acosθ_1,bs nθ_1),(cosθ_2,bsinθ_2)。由OA⊥OB得θ_2+θ_1±π/2,则B点坐标为(±asinθ_1,bcosθ_1)。可证 1/(OA)~2+1/(OB)~2=(a~2+b~2)/a~2b~2。则有 (1/OA)+(1/OP)~2=(a~2+b~2)/(a~2b~2)+2/(OA·OB) =(a~2+b~2)/(a~2b~2)+2/(a~2b~2+(a~2-b~2)/2))~2sn~2θ_1     

圆锥曲线一个有趣性质的统一简证与再推广

《数学通报》2012年第2期刊登的《圆锥曲线一个有趣性质的再推广》一文(文[1])给出了圆锥曲线一个统一的美妙性质(本文称之为定理): 定理设圆锥曲线E的一个焦点是F,相应的准线为l,过焦点F的直线交圆锥曲线E于A、B两点,C是E上任意一点,直线CA、CB分别与准线l交于M、N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F.     

一个换算公式的启示

文 [2 ]在文 [1 ]的基础上给出如下一个换算公式 .定理　ＡＢ是过圆锥曲线焦点Ｆ的弦 ,其长度为ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾角为θ(θ≠90°) ,ｔａｎθ=ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ与ｋ的关系式 :ｄ=2ｅｐ(1 +ｋ2 )｜ 1 +ｋ2 -ｅ2 ｜ 或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ± 2ｅｐ- 1 .在该定理的启示下 ,笔者进一步探究 ,得到一个类似的公式 ,现说明如下 .ＡＢ是经过横向型圆锥曲线顶点 (指的是抛物线的顶点、椭圆长轴顶点、双曲线实轴顶点 )Ａ的弦 ,其长度为ｄ ,斜率为ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ=2ｅｐ 1…     

阿基米德螺线的性质与应用

阿基米德螺线ρ=ρ_0 αθ又称为等速螺线,它的特殊形式是过极点的螺线ρ=αθ。其主要性质有: 1.若点(ρ,θ)在曲线ρ=ρ_0十αθ上,则点(—ρ,—θ)在曲线ρ=—ρ_0 αθ上。这两支曲线关于π/2线对称。特别是(图1)当ρ_0=0时,阿基米德螺线ρ=αθ可以画出关于π/3线的对     

考点23 椭圆

1.(广东卷,5)若焦点在x轴上的椭圆x22+my2=1的离心率为12,则m=().(A)3(B)23(C)38(D)322.(全国卷,10)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为().(A)22(B)22-1(C)2-2(D)2-13.(江苏卷,11)点P(-3,1)在椭圆ax22+y2b2=1(a>b>0)的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为().(A)33(B)31(C)22(D)21第4题图4.(浙江卷,17)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1、F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,…