1988年全国高中数学联赛试题及解答

策一试(1 oj〕,6「}_l:午8:00一9:3()) 一、选择.(木大题共5小题,李诱小题有一个正确答案,选对得7分,选错、不选或多选均得。分) 1.设仃三个函数,第一个是y=甲(x),‘己的反函数就是第二个函数,而第二个函数的图象,歹第二个函数的图象关于直线二+夕二O对称.那么第三个函数是(). (一J)y=一甲(二).(B)y=一叩(一二). (C)少,一甲一‘(二).(D)夕=一甲一‘(一x). 2.已知原兑在椭圆左“x忍+y忍一4kx+Zhy+k恋一1“0的内部,那么参数k的取值范旧是() (月)I介}>1.(刀)1左l笋2. (C)一l相似文献   

1990年苏州市高中数学竞赛试题与解答

.犷一护2 一、选择题: 1.如果12卜i,0是z的幅角,那么当:变化时,Z二:2 2沈050在复平面上对应点的轨迹是: (A)圆,(B)双曲线;(C)抛物线;(D)两条相交直线. 答(A)和c(x一g)关于s(x),c(x)、s(y)、e勿)的表达式分别为s(x一夕)=s(x)c(y)一c(x)s(y)e(x一y)=c(x)e(夕)一s(x)s(夕)X:a2动直线ux ,y 工=O截已知椭圆、=1于点尸、Q,已知点口为椭圆的 2.如图ABCD为空间四边形,G、E在BC上,F、H在AD上,图中异面直线共有:(A)7对;(丑)8对;B(C)9对,(D)10对.中心,艺P口Q二则:,十,“=丰90“,则 1宁几孟-.. b‘-EG 答(C) 3。不定方程Zx 3夕=。(n任N)的…     

1982年日本高考数学试题选译

一、名古屋大学(理科1一4,文科2,5,6) 1.设。)b>0,当。为自然数时,证明:。一。·簇鲁(。一。)(。一,+。一‘). 、2“- 2.坐标平面上有一长方形,其二边长分别为l和2.此长方形在x轴上的正投影为l,在y轴上的正投影为。。点(l一。,I十。)的集合是什么样的图形?试绘出它的图形。 3.在三角形纸片月BC上,AB一AC==5,BC=6,在边BC上取两点尸、Q使B尸二QC(B尸<3),以线段A尸、A口为折痕,弯折纸片使两边AB、AC互相粘合作成三角锥容器。求它的容积最大时B尸之长? 4.设曲线x“一2二y十y“=0在二》o的部分为C。求C上二坐标最大的点和y坐标最大的点…     

对一道竞赛试题解法的一点看法

20 0 2年全国高中数学联合竞赛有一道平面解析几何试题 ,试题及参考答案如下 :图 1题　如图 1 ,已知点A( 0 ,2 )和抛物线 y2 =x + 4上两点 B,C,使得 AB⊥ BC,求点 C的纵坐标的取值范围 .解　设 B点坐标为 ( y21- 4,y1) ,C点坐标为 ( y2 -4,y) ,　　显然 y21- 4≠ 0 ,故 k AB =y1- 2y21- 4=1y1+ 2 .由于 AB⊥ BC,所以 k BC =- ( y1+ 2 ) ,从而y - y1=- ( y1+ 2 ) [x - ( y21- 4) ],y2 =x + 4 .消去 x,注意到 y≠ y1得 :( 2 + y1) ( y + y1) + 1 =0 ,y21+ ( 2 + y) y1+ ( 2 y + 1 ) =0 .由Δ≥ 0解得　 y≤ 0或 y≥ 4 .当 y =0时 ,点 …     

抛物线焦点弦的性质及应用

例1.已知分别过抛物线-v’=2加_卜点城、:,夕,)、z了(、,。,:)的两条切线相交于尸(x,,,,,),求证:二,二仙丫21夕百十r气六一,夕一二—。 2办’一2一个贡要属性,在后面的性质证明和应用‘卜将不断地被应用。l)抛物线焦点弦性质 性质1.过抛物线焦点弦两端的切线的交点,在抛物线的准线上,证:设过汉点的切线为兀1过B点的切线为从, 则:Ll:为y=P(x十劣,),孟::势y二P(万+介)。两式相除得:生= y.,+劣1几+才‘知道过;、刀两点切线的交点尸,它的横整理得:x(夕,一y‘)二朴y:一为万2。又·:二1一共,男2=华,代入上式可得, 乙P乙尸y lyZ=p一2 一 一︷ 劣…     

问题征解

一、本期问题征解 1.已知47~(100)是168位数,试求47~(25)的位数。 2.已知x、y为正整数,且xy=24,求函数1/(x~2+y~2)的极大值。 3.在△ABC和△A′B′C′中,已知∠B=∠B′,BC=B′C′,AB+AC=A′B′+A′C′, 求证△ABC≌△A′B′C′。 4.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,AC延长线上取一点E,使DB=EC,连接DE交BC于G,求证DG=GE。黄冈上巴河标云岗中学熊红英 5.M为BC边的中点,AD为∠A的平分线。过A、D、M三点作圆设交AB、AC于E、F点,求证BE=CF。     

有心圆锥曲线的一个共线点性质

本文给出椭圆、双曲线的一个共线点性质.先约定:若椭圆、双曲线的两条弦分别与该圆锥曲线的一对共轭直径平行,则称这两条弦是一对共轭弦.引理:若过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线与直线l:Ax+By+C=0交于点P(P≠B),则P分有向线段AB的比λ=AAxx12++BByy21++CC.定理1:△ABC内接于椭圆,P为椭圆上异于A、B、C的任意一点,过P作△ABC三边的共轭弦分别交AB、BC、CA于D、E、F,则D、E、F三点证共明线:设.椭圆b2x2+a2y2=a2b2,当AB、BC、CA都不与x轴、y轴垂直时,设A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),C(acosγ,bsinγ),P(acosθ,bsin…     

从圆幂定理到圆锥曲线幂定理

设圆的方程为G(二,y),x“十y“一左2=0,尸(二。,夕。)为平面」详毛意一点,我们称 乙(·。,夕。)一:;*一夕}一RZ为点尸(x。,少。)对于圆口(x,y)=0的幂. 当点尸(x。,y。)在圆G的外部时、幕G(x。,y。)‘x0“ 夕。“一R“的几何意义是:从点尸(x。,y。)向圆‘(x.夕)=xZ十y“一R“=0所引切线尸T长的平方,即G(x。,y。)=O尸2一RZ=尸TZ(图下左). 将上述切线尸7’改为害吐线尸T;7’:(图_上丫:),山切割线定理可知,幂G(二。,.v。)的几何意义是有向线段尸T,,尸了2的乘积,即抓G(x。,y。)=尸T,·尸TZ(I) 当点尸(x。,y。)在圆〔汉x.y)~o的上面或在…     

综合题新编选登

题149已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2=80上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).1)若△ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;2)若∠A=π2,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.解1)设B(x1,y1),C(x2,y2),BC中点为(x0,y0),F(2,0),于是有x1220 y1216=1,x2220 y221     

圆上的两个结论的再推广

文 [1 ]将圆上的两上结论 :结论 1　P是⊙O上任意一点 ,AB是直径 ,经过A和B各作圆的切线 ,分别与经过点P的切线相交于C和D ,AD和BC相交于Q ,PQ交AB于K ,则Q是PK的中点 .结论 2　过同心圆中的小圆上任意一点P作小圆的切线与大圆相交于A和B ,则P图 1　椭圆是弦AB的中点 .我们将上述结论作如下推广 .结论 3　如图 1 ,过椭圆 x2a2 + y2b2 =1的长 (短 )轴AB的端点A ,B分别引切线AM ,BN ,P是椭圆上异于A ,B的任意一点 ,过点P引椭圆的切线CD分别交AM ,BN于C和D ,AD和BC相交于Q ,PQ交AB于K ,则Q是PK的中点 .结论 4　过椭圆…     

自我检查练习题

一、初中自我检查练习题①填空(用适当的数、式或符号填到横线上)z)若a(b乙B>艺C.那末匕月_60’,乙B_45。,乙C_60’. 9)口A厅CD的对角线的交点为。,在较长的对…     

涉及抛物线的一条性质

文 [1]给出了如下一个命题 :过抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点 F作一直线交抛物线于 A、B两点 ,若线段 AF与FB的长分别为 a,b,则S△ A OB=p24 (ab+ba) .经过探索 ,我们证明了另一个命题　如图 1,过 x轴正方向上一点 M作直线 AB交抛物线y2 =2 px(p >0 )于 A、B两点 ,AM、BM的长分别为 a、b,且S△ AOB =p24 (ab+ba) ,则点 M为抛物线的焦点 .图 1证明　设 M(c,O) ,A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,AB的方程为 y =k(x - c) ,与 y2 =2 px联立得k2 (x2 - 2 cx +c2 ) =2 px,k2 x2 - 2 (k2 c+p) x +k2 c2 =0 ,∴　 x1 +x2 =2 (k2 c+p)k2 ,　 x1…     

一道中考压轴题的求解途径及其拓展

题目 (2010年上海市中考数学第25题)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,半径为1的⊙A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连接DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.(1)当∠B=30°时,连接AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;(3)若tan∠BPD=1/3,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.     

二次曲线的一种作法

,椭卿对、-雾·,的作图夕一 由曲线关于坐标轴和坐标原点对称可知,只须作出二>。,百>砧勺点(x,妇。作法如下:取OA二a犷O刀二b,ON二x,作AS上OX,BR‘LOXNT上OX,以口为圆心OA为半径画弧交NT于几作尸兀_LOY,交As于Q,连OQ交BR于M,,作M’M上NT,对为垂足,则M为砰十y,_,石‘犷一上D‘上的点(劣,妇。 作法的根据如下:在直角△口尸对中,由勾┌──┐│一卫││琳 ││夕 │└──┘股定理得,pN“=O尸么一ON“=a“一护。由△OM尹B冈△O口过得,口A OA五万了石=J刀,又口月二PN,砂一rM,B二MN研;、;二到兰_,,,仍形刀艺OA旦OB么’即…     

问题征解

本期问题征解 1.求方程了xZ+yZ+了(2一二)2+夕2 +了xZ+(2一夕)2+杯(2一x)2+(2一夕)2”4亿2的一切实数解. 2.已知x“+yZ一Zx一2,+1一。,若不论从梦为任何实数均成立不等式二+y十左》。,试求k的最大可取值. 浙江新昌工商行政管理局陈荣提供 3.若直角三角形的两条直角边长都是正整数的平方,则它的斜边不可能是正整数. 4.00和△A刀C内切,A刀、月C是00的两条切线,尸、Q是切点.试证:线段尸Q的中点是△ABC的内,合. 郑州市七中骆传枢提供 5.已知△ABC中a十b+c一abc,求证:(1)a、b、c不可能都是整数;(2)△ARC的面积不超过3侧3/4. 6.已知△AB…     

不共线三点所确定的圆的方程

P.设不共线三点尸:(x:,夕:)、p:(x:,夕:)、(x:,夕。)所砍定的圆的一般方程为xZ+万:+Dx+E召+F二o(l)奋把三点坐标代入方程(I),并略加整理而成D、E、F的方程组(xl·夕+夕,·E+F=一(川十川),lx,’甘+夕:·E+F二一(x要+杏二),一x3.口卜万3·E+F=一(x孟十夕孟).由三点不共线跳充要条件可知 ‘“U 笋心.二口.几姗.工丫1夕-劣:玄:工3刀s应用克莱姆法则可得..r‘...,月.‘..lr!!1 1 .1 1 1 1 2 21豹脚如豹如如豹如如xl九xs朴介介幻朴勺川川川嘴几,二..人,二,几,二 .二,﹄3 y夕g山口‘人22,自,曰 y夕yJ++,舀,︸门山,.,.侣」X XXD*一内占1曰…     

导数巧解三角题

运用导数,可以简捷地解一些三角题. 1.求单调区间 [例1]函数y一xcosx一sinx在下列哪 个区间内是增函数(). (于 3汀) (B)(汀,2盯) (D)(2汀,3汀) 汀 5一2 A)C) 解y‘=x‘eos二+x(cos二)‘一(Sin二) -—XSlnX。 x任(二,2二)时,夕 选(B). 2.求最值 【例21扇形AOB 的半径为1,中心角为 60“,尸QMN是扇形内接 矩形(如图),问P在什 >O, 二耳夕} M 厂月 么位置时,矩形PQMN的面积最大,并求出这 个最大值. 解连接OP,设匕AOP=口,00<8<600, 则尸N一、ino,ON一eos口, MN=eos口一sins·eot6o。, S=(eoso一sin夕·eot600)sin夕 1 一气二~Sln乙U…     

从一道竞赛题看抛物线的一个优美性质

2010年全国高中数学联赛第10题:已知抛物线y2=6x上两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2,且x1+x2=4,线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求△ABC面积的最大值.     

圆的重要定理在椭圆上的推广

1　一道高考题启示2 0 0 3年高考北京试卷有如下题目 :如图 1 ,椭圆的长轴A1 A2 与x轴平行 ,短轴B1 B2 在 y轴上 ,中心为M( 0 ,r) (b>r >0 ) .图 1　椭圆1 )写出椭圆的方程 ,求椭圆的焦点坐标及离心率 ;2 )直线y =k1 x交椭圆于两点C(x1 ,y1 ) ,D(x2 ,y2 ) ( y2 >0 ) ;直线 y =k2 x交椭圆于两点G(x3,y3) ,H(x4,y4) ( y4>0 ) .求证 :k1 x1 x2x1 +x2=k2 x3x4x3+x4;3)对于 2 )中的C ,D ,G ,H ,设CH交x轴于点P ,GD交x轴于点Q .求证 :|OP| =|OQ| .(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形 )解　 1 )椭圆方程为 x2a2 + ( y -r) 2b2 =1 ,焦…     

关于二、三、四次方程的代数解法

(一)考虑三个行列式先根据行列式性质按以下方法镬个进行什算犷夕!,万夕宕y言夕牛x十y 二,名即!les!J ,!!JIyr宕禽yy言即r+夕 yry七盆~(x+y)夕了二(x+,)(x一夕);40设.为1的立方原根,则有旬3~1,。2+“ 1 x y 2 1 1 1 1 11zx夕】二(x+夕+二)公Xyy宕戈y万厂 +(夕4+二,+。心一2夕222一2夕2u,2一222,2)二~(x+夕+z+留)(x+夕一z一,)X x(二一夕+名一留)(x一一二+。).(3)(立)二次方程XZ+户x+叮二o户一2 一一(二+,十二)}:二令X一x代入方程,整理后化成一一+1|ee一一|+y旬+二.‘y 1,x。+,。2+一(二十,+·)(·一!_2/尸_、_。孟-一l—一兮J一U, \弓/一…