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We define a new notion of ``HP-small' set which implies that is both -porous and Haar null in the sense of Christensen. We show that the set of all continuous functions on which have finite unilateral approximate derivative at a point is HP-small, as well as its projections onto hyperplanes. As a corollary, the same is true for the set of all Besicovitch functions. Also, the set of continuous functions on which are Hölder at a point is HP-small.
Motivated by the theory of large deviations, we introduce a class of non-negative non-linear functionals that have a variational ``rate function" representation.
We consider the linear functional for on the set of normalized univalent functions in the unit disk and use the result to disprove a conjecture of Bombieri.