从一道习题说起

最近刚刚学完“导数及其应用”一章,不仅接触了早就听说过的高深莫测的“微积分”,而且也从学习中有一些感悟,在这里与大家交流一下．     

微积分基础的新视角

微积分是大学数学教学的难点, 也是数学机械化研究的重点. 如能将其初等化, 不仅能解决微积分学教学的难点, 同时也能为微积分学的机械化研究提供另一条切实可行的途径. 目前国内外学者在微积分初等化方面做了一些工作, 但他们所给出的微分与积分定义中的不等式都来源于极限定义所采用的不等式. 本文提出了一个函数差商是 另一个函数的中值的概念, 这个概念刻画了原函数与导数的本质特征. 在此基础上, 得到了强可导和一致可导的充分必要条件并给出了 积分系统更直观的定义. 由此, 简单完整地建立起了基于初等数学的微积分系统, 为微积分系统机械化作了必要的准备; 另外, 本文的结果也显示了微积分学中许多常用定理的成立不依赖于实数理论的建立.     

微积分赏析漫谈

顾名思义．微积分（Calculus）是一种无穷小的算法．但是．学习微积分。除了求导数和不定积分的大量计算之外．还应该学会欣赏．本文通过lO个案例．结合中国人文情景．提供了一些欣赏微积分的角度．     

基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究

作为我国理性力学先驱之一的郭仲衡先生在其所著《张量(理论和应用)》以及《非线性弹性理论》中记述了现代张量分析以及有限变形理论知识体系.本文按有限维Euclid空间上微积分以及一般赋范线性空间上微分学认识相关知识体系的理论框架,相关思想及方法,阐述了有关思想及方法的发展及其应用.本文未涉及现代几何学在连续介质力学中的应用.     

任意阶标度分形格分抗与非正则格型标度方程

Carlson分形格电路是分抗的理想逼近情形,但仅具有负半阶运算性能,逼近效益随着电路节次数的增加逐渐降低.虽然可嵌套得到-1/2~n阶(n为大于或等于2的整数)分抗逼近电路,但结构复杂,无法实现任意分数阶运算.通过类比拓展Carlson分形格电路,获得具有高逼近效益的任意实数阶微积算子的分抗逼近电路——标度分形格分抗,并用非正则格型标度方程进行数学描述.分别探讨非正则格型标度方程的近似求解和真实解.通过调节电阻递进比α与电容递进比β的取值,可构造出具有任意运算阶的标度分形格分抗逼近电路.标度拓展极大地提高了标度分形格分抗电路的逼近效益.随着标度因子的增加,负半阶标度分形格分抗的逼近效益逐渐增大并明显高于Carlson分形格分抗.设计了基于五节Carlson分形格分抗与负半阶标度分形格分抗的半阶微分运算电路,并对周期三角波和周期方波信号进行半阶微分运算,实验测试结果与理论分析一致.     

b值范围对6种体部扩散模型在前列腺应用的影响评估

论文研究了不同b值采集范围对6种体部扩散模型定量参数计算的影响．研究涉及扩散模型包含单指数模型(Mono)、扩散峰度成像(DKI)、体素内非相干运动模型(IVIM)、扩散拉伸指数模型(SEM)、分数微积分模型(FROC)和随机游走模型(CTRW),b值范围0～2 500 s/mm²．通过扩散模型参数之间的相关性、t检验以及前列腺病灶良恶性鉴别能力三个维度,评估了不同b值采集范围对参数计算的影响．结果显示与参考采样方案相比,随着最大b值降低,所得同一扩散参数感兴趣区域(ROI)均值的差异逐渐增大,但相关性降低不明显,且前列腺病灶良恶性的鉴别能力也保持相似水平．基于实验结果,建议在临床实践中采用b值范围为0～1 500 s/mm²的采集方案．这一方案在具备较高采集效率的同时,一半以上参数与参考采样方案结果的相关性不低于0.98,且良恶性鉴别能力指标曲线下面积(AUC)值的差别小于0.01．此外,不同扩散模型对于b值方案的敏感性存在差异,其中SEM和CTRW模型的参数受b值范围的影响相对较小．     

一元微积分中探究式的教学案例

本文介绍五个探究式教学案例,供同行参考.     

复合Poisson-Geometric风险模型的预警区问题

应用有别于传统鞅方法的方法,充分利用盈余过程的强马氏性,在一类复合Poisson-Geometric风险模型下讨论预警区问题,得到第一个预警区的一个条件矩母函数所满足的微积分方程,并在指数索赔情形下给出其精确解.     

常量问题变量化应用两例

通过对微积分基本定理以及一个不等式的证明,实例介绍常量问题变量化在高等数学教学中的应用．     

让微积分的学习生动有趣

对理工科大学生而言 ,从小学直到大学 ,数学课恐怕是历时最长、负担最重的一门课 .在小学阶段学生或许还能感受到数学与现实生活的联系 ,体验到数学学习的乐趣 .一旦进入初中和高中 ,由于众所周知的原因 ,数学学习恐怕就不再是一件有趣的事情了 .在许多学生眼里 ,数学成了“枯燥”、“泛味”的代名词 .进入大学这种情况可能并没有什么好转 ,而且除了“枯燥”、“泛味”之外 ,还加上一条“学了没用”.的确 ,学生学完微积分 ,可能会知道导数可以用来求出函数的单调区间、极值和最值等 ;中值定理很重要 ,那是因为在证明过程中常常用到 ;计算曲…