形变张量的特征值与Boussinesq方程组的正则性估计

讨论了二维及三维满足周期边界条件的Boussinesq方程初边值问题的局部正则解在有限时间内爆破的可能性.在二维情况下,用形变张量的特征值给出温度梯度的L2估计,从中看出若流体微团变形的速率大,则解爆破的可能性就大.在三维情况下,用形变张量的特征值和温度的偏导给出涡量的L2估计,从中发现若流体微团在大部分时间内一般是平面拉伸,且温度的偏导较小时,解爆破的可能性就大;若一般是线性拉伸,温度的偏导又不任意增大时,解爆破的可能性就小.     

光滑区域上二维无黏性无热传导Boussinesq方程组与三维轴对称不可压Euler方程组的指数增长全局光滑解

研究二维无黏性无热传导Boussinesq方程组和三维轴对称不可压Euler方程组光滑解的增长情况,找各种区域使其上的方程组有快增长的解。对Boussinesq方程组,通过选取初始温度和速度的一个分量,可以把方程去耦为两部分。从关于涡量的部分求出涡量、速度场和使结论成立的区域,从关于温度的部分,可见温度的高阶导的增长仅依赖于速度场的一个分量。通过适当选取该分量,得到温度高阶导有指数增长的全局光滑解。对轴对称Euler方程组做类似的处理,适当选取速度场的径向分量,可把方程组去耦,最终得到一类光滑区域,在其上方程组有指数增长全局光滑解。该研究把Chae、Constantin、Wu对一个二维锥形区域上无黏性无热传导Boussinesq方程的结果,推广到一类光滑区域上, 并把他们的方法应用到三维轴对称不可压Euler方程组, 得到了类似的结果。