具有转移条件的向量型Sturm-Liouville问题的特征值重数及Ambarzumyan定理

研究了定义在有限区间内具有转移条件的m维向量型Sturm-Liouville问题.主要得到了该问题特征值重数的若干结论.证明了当矩阵值势函数Q满足一定的条件时,只能有有限个重数为m的特征值.作为重数结果的应用,证明了该问题的Ambarzumyan定理.     

自伴向量型Sturm-Liouville问题特征值λn,r的依赖性*

研究定义在区间[a,b]上的m维自伴向量型Sturm-Liouville问题.首先, 利用矩阵Pr¨ufer变换讨论该问题特征值的分布, 同时得到第n组特征值λ_n,r(n ∈ N₀, r = 1, 2, · · · , m)所对应的特征函数u_n,r(x)在区间(a,b)内恰有n个零点.然后, 研究了特征值λ_n,r分别关于算子系数和边界条件的连续依赖性. 在此基础上, 假设所有特征值都是单重的,建立了第n组特征值λ_n,r (r = 1, 2, · · · , m)关于首项系数P^-1, 势矩阵Q, 权矩阵W的微分表达式,进而讨论特征值关于P^-1, Q, W的单调性. 最后, 如果允许特征值的指标可以跳跃,则任一特征值都可以嵌入到一个连续的特征值分支中,从而证明λ_n,r关于边界条件中的参数α和β的连续可微性.