sum from 1 to n cos[θ+2(i-1)π/n]=0的几何证明

容易证明:cosπ/3+cos3π/3+cos5π/5=0;cosπ/5+cos3π/5+cos5π/5+cos7π/5+cos9π/5=0;cosπ/7+cos3π/7+Cos5π/7+Cos7π/5+cos9π/7+cos11π/7+cos13π/7=0; …等等。容易猜到,这类问题的一般结论应该是: sum form 1 to n(cos〔θ+2(i-1)π/n〕=0(Ⅰ) 关于它的证明,方法很多,其中常见的有代数法、复数法、三角法等等,但这些方法一般很冗长。这里,我们给出一种简捷的证明方法——几何(射影)法。     

比较法解方程(组)

有些比较复杂的方程(组),根据题设结构,设法构成一个辅助方程,使辅助方程与原方程密切相关,进而通过比较系数或未知数得到别具一格的解法——比较法,请看下面两例.     

关于∑ctgA≥∑tgA／2的研究

关于∑ｃｔｇＡ≥∑ｔｇＡ／２的研究２１４４３１江苏江阴市工商学校李尧亮，夏锦秀１背景在研究三角形不等式的过程中，人们发现诞生了．注本文中约定ａ、ｂ、ｃ，Ａ、Ｂ、Ｃ，△分别表示△ＡＢＣ的三边、三角和面积，记∑ｃｔｇＡ＝ｃｔｇＡ＋ｃｔｇＢ＋ｃｔｇＣ等，所...     

有关角的象限的(一元)选择题

备选答案:(A)第一象限.(C)第二象限.(B)第一乙象艰.(D)第四象形.3一5 一一a富着5 in一粤一;·”“夕“的“边左( 2 ‘}·而J:砂:’).若复数:=(了百+‘)“(coso十15‘no)右复的讨应点在第四象限,则角0)i‘石一的限象是设复数z满记条件代<。,·g:<琴,丁理艾数 任‘一少,在交平面仁的付对仁续毛位于‘附上斯本栏答案:D .C .A .C .A .A .B .A有关角的象限的(一元)选择题@李尧亮$江苏江阴一中~~     

两组三角形不等式的代数“背景”

劳格、杨之先生在《初等数学研究问题三议》(《中等数学》1991年第1期)中指出:关于不等式的研究,无论几何不等式,还是代数不等式,令人目不暇接:面对千姿百态的不等式,不少人开始向“综合”方面探索,如寻求代数与几何不等式的内在联系,寻求“母不等式”,寻求不等式赖以产生的通用方法等等,尽管目前“综合”的前景还不明确,但已激起了广大初数爱好者的热情和兴趣,我们发现: (一) Weisnbock不等式: a~2+b~2+c~2≥3~(1/4)△ (1)和Finslev——Hadwiger不等式:     

(一)究竟选哪?

厄目:已知方程8了+6赶十Zk十l*0的两根是护直角三角形两锐角的正弦值,则k的值是().*2或一孚(c,一韶‘群严;(B)一吝<*<价 乙(D)不存在. 解一:设直角三角形两锐角为A、丑则由韦达定理有: _3kISln月十Sln石=一-1一}1…。Zk+1,sln汽’sln万=月一百一①②又sinB=eosA1十Zk十l 4解之得石解二:’.’=2,毛(一剖2一等.故。).sinA>0,sinB)0解之得一粤<*<0.故选(B). ‘解三:据sirLA>0,sinB>O,△)0得 3乏、。 一.月尸ZU}’12介+l、n1一’”_.136护一32(2花+1)多0@尸~二1.IJ一解乙得一百又从8一2试石 g-故选(C).不同的解法竟得不同的结果,何去…     

降次化简等三则

(一) 降次化简读了本刊86年第7期《析0化简》一文,很受启发,但例2为了从x~5中析出值为0的式子,将x~5凑为(x~2-3x+4)(x~3+3x~2+5x+3)-(11x+12),这一步对同学们来说并非易事,如果x的次数再高些就更不好办了。为此再介绍降次化简如下: 例若求的值。解(两边平方)3x-4.故 x~6=x~2·x~2·x=(3x-4)~2·x     

用“变更命题法”解“至少存在”的问题

有关“至少存在问题”,一般都用反证法证明。这里,我们介绍一种直接证法——变更命题法。这种证法思路灵活,解法简捷。下面从三个方面来举例说明。一、变更为等价命题变更的目的,首先是使问题明朗化,从而便于寻求解题途径或者简化解题过程。例1 若下列三个方程中至少有一个方程有实数解,求实数a的范围。x~2+4ax-4a+3=0,x~2+(a-1)x+a~2=0,x~2+2ax-2a=0。变更:由于“三个二次方程中至少有一个     

三棱锥顶点射影选择题

老:.三棱雄的1侧棱都相等;泛斜高都相等:召侧棱与底所成的角都相等;4侧棱与底面相邻的两棱成等角;S侧面与底面所成的乙而角怕等;6这个四面体中,有两组相分的伎互相垂直;7三侧面互相垂直;8三侧棱相等.三底棱也相等则三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的(A)垂心;(B)外心;(C)内心;(D)中心.附上期本栏答案(D);2(C);3(A)C5三棱锥顶点射影选择题@李尧亮$江苏江阴一中~~