素数最小正原根g(p)=0(p~(1/4 s))的一个新证明

令 p 表示充分大的素数,g(p)为其最小正原根,ω(n)表 n 的互异的素因子的个数。记ω(p-1)=.И.М.Виноградов,华罗庚,P.Erds 依次得到g(p)<2~mp~(1/2)log log p,g(p)<2~(m 1)P~(1/2),和 g(p)=O(p~(1/2)ilg~(17)p).目前,最好的结果属于王元,他的结论是:     

代数数域中的均值定理

设 K 是 n 次代数数域.令Ψ(x,u,η)=(?)∧(b),其中 u～b mod η(?)α、β∈Z_k,α≡β(modη),α(?)0,β(?)0,(α,η)=(β,η)=1,(α)u=(β)b、h(η)表等价类 modη的类数,T(η)=(U∶U＇),其中 U 表示域 K 中全体单位所成的群,U＇={ε|ε∈U,ε(?)0,ε≡1(modη}.我们证明了下述定理:对于任一正常数 A,存在一正常数 B=B(A)>0,当 Q=x~(1/(n+1))(log x)~(-B),x≥1时有sum from Nη≤Q(?)1/(T(η))|ψ(z,u,η)-z/(h(η))|(?)x/(log~Ax).     

代数数域上的指数和的估值

设 f(x)=a_kx~k+…+a_1x+a_0∈Z[x],a_k≠0,q∈N,(q,a_k,…,a_0)=1,定义指数和:S(f;q)=(?),其中 x 跑遍 mod q 的一个完全剩余系.1940年华罗庚证明了:对于任意实数ε>0均有|S(f;q)|≤c(ε,k)·q~(1-1/k+(?)),其中 c(ε,k)为仅依赖于ε、k的正常数.