要正确理解符号“≤”的含义

要正确地使用一个数学符号 ,首先要正确理解它的含义 .“≤”是一个完整的和独立的数学符号 ,不是两个符号“<”和“ =”的合写 .它表示左边的数量小于或等于 (即不大于)右边数量 ,读作“小于等于”(“小于或等于”) ,也可以记为“≯” ,读作“不大于”.如 3≤ 2 (3≯2 ) ,a≤b (a≯b) ,R2 ≤ 1 (R2 ≯ 1 )等[1 ] [2 ] .上面的关于符号“≤”的定义是清晰和无歧义的 .符号“≤”用于数量关系可比、能分清楚小于或等于或大于的场合 ,是对大于的否定 .若 |f(2 ) |≤7,则 |f(2 ) |不大于 8,即 |f(2 ) |≤ 8成立 ,所以文 [3]关于这个问题的看法…     

n个平面何时将空间分成最多个部分

n条直线最多可将平面分割成多少份?n个平面最多可将空间分割成多少份?这是几何学家斯坦纳(Steiner)提出的问题,很多数学著作都提到这两个问题.后一问题是前一问题的推广.人们对前一问题的认识普遍一致,我们把它的结果列为引理而不再证明.后一问题的答案是最多可分成16(n3 5n 6)     

关于幂平均值的两个不等式

在代数和几何问题中,常要用到基本的幂平均值(ar+ br2 ) 1r,其中a>0 ,b>0 ,r≠0 .对于它的估值,除了利用min{ a,b}≤(ar+ br2 ) 1r≤max{ a,b} ,(aα+ bα2 ) 1α≤ab≤(aβ+ bβ2 ) 1β(a<0 <β)和幂平均不等式[1](ar1+ br12 ) 1r1≤(ar2 + br22 ) 1r2 　(r1≤r2 )之外,其它方法甚少.针对这种幂平均值,本文建立了两个不等式,为这种幂平均值提供了一种新的估值方法,利用它们并配合上面列出的不等式,常能很方便地得到满意的估值效果.定理1　设a>0 ,b>0 ,a≠b,则当0 2时(ar+ br2 ) 1r<12 (a+ b) 2 + (r- 1) (a- b2 ) .当1相似文献   

争鸣

问题　　问题61　笔者在教学中,遇到了这样一个有趣的问题,同学们给出了三种不同的解法,都认为自己的解法有道理.然后,我们几个老师在一起讨论,也有所分歧.现请贵刊予以讨论.题目　设函数y=F(x) ,其定义域为[0 ,+∞) ,值域为R,已知F(x2 - 2 mx+ m+ 2 )的值域为R,求m的取值范围.解法1　令f(x) =x2 - 2 mx+ m+ 2 ,则可转化为对任意x∈R,f(x)≥0恒成立.故Δ=4 m2 - 4(m+ 2 )≤0 ,∴- 1≤m≤2 .解法2　由题意,y=f(x)的图象与直线y=0相切,即f(x)的最小值为0 (x∈R) .故Δ=4 m2 - 4(m+ 2 ) =0 ,∴m=- 1或m=2 .解法3　由题意,只要保证f(x)能取遍…     

关于最远射程问题的研究

在地球表面人们日常活动的空间范围内 ,斜抛物运动是一种常见的运动方式 ,与人们的生产、生活以及科学技术均有密切联系 .特别是斜抛物体在某指定方向上最远射程的研究 ,有很大的理论价值和实用价值 .过去这方面的研究一般是从运动方程x =x(t) ,y =y(t)中消去时间参数t,然后求解 .计算量略大 ,所得结果一般限于实际问题的解答 .本文利用平面向量和平面三角的基本知识 ,简捷轻快地求出了上面所说的最远射程 ,并且从数学与物理结合的角度进行了综合分析 ,给出了较全面的一般性结论 .例 1　如图 1所示 ,在仰角为α的山坡上点O处 ,以初速度v0 …     

一类三角不等式的通用证法

关于三角形内角的三角函数的不等式 ,例如sinAsinBsinC ≤3 38,sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,cosA+cosB+cosC≤ 23,cos2A+cos2B+cos2C≥ - 23等 ,要证明它们通常需要比较丰富的技巧 .在这类不等式中 ,等号成立的条件均为A=B=C =60°.60°角是一个特殊角 ,它在不等式的证明中起什么作用呢 ?通过研究我们发现 ,倘若给不等式左侧配上相应的 60°角的三角函数后 ,角成双成对 ,反倒便于应用积化和差、和差化积公式 ,从而使这类不等式的证明成为简洁的、程序性的操作了 .1　直接添加 60°角的三角函数例 1　在△ABC中 ,求证cosA+cosB+cosC…     

Wallis不等式的新改进

对Wallis不等式做出了新的改进.与目前掌握的文献相比,所得结果精度更高,且容易估计误差.同时还导出了(2n(2-n)1!)!!!的一个渐近展开式.