一九九一年中国数学奥林匹克试题解答

一、平面上有一个凸四边形月刀口刀, (1)如果平面上存在一点p.使得△月刀尸,△仪华,△cDP和△DAP面积都相等,问四边形A脚要满足什么条件? (2)满足(l)的点尸,平面上最多有几个? 证明你的结论. 解(l)(i)当p在月优’D内部时,如图一,由几捆,”S△‘,知,成和c点到直线I]P的距离相等,     

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题 5 9　已知可导函数ｆ(ｘ)对任意实数ｘ1,ｘ2都有 ｆ(ｘ1+ｘ2 ) =ｆ(ｘ1)·ｆ(ｘ2 ) ,若存在实数ａ ,ｂ ,使 ｆ(ａ)≠ 0 ,且 ｆ′(ｂ) >0 .证明 :1) ｆ(ｘ) >0 ;2 ) ｆ(ｘ)在 (-∞ ,+∞ )上单调递增 .解　 1)ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ2 +ｘ2 ) =ｆ(ｘ2 )·ｆ(ｘ2 )=[ｆ(ｘ2 ) ]2 .又∵ｆ(ａ) =ｆ[ｘ2 +(ａ - ｘ2 ) ]=ｆ(ｘ2 ) ｆ(ａ - ｘ2 )≠ 0 ,∴ｆ(ｘ2 )≠ 0 ,[ｆ(ｘ2 ) ]2 >0 ,∴ｆ(ｘ) >0 .(2 )∵ｆ′(ｂ) =ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ +Δｘ) - ｆ(ｂ)Δｘ=ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ) ｆ(Δｘ) -ｆ(ｂ)Δｘ ,∴ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ) (ｆ(Δｘ) - 1)Δｘ =…     

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题 1　已知函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象的一条对称轴为直线ｘ =1 ,若将函数 ｙ =ｆ(ｘ)图象向下平移 3个单位 ,再向右平移ｂ个单位后得到ｙ =ｓｉｎｘ的图象 .1 )求满足条件的所有的ｂ值及ｆ(ｘ)的解析式 ;2 )设ｚ =ｆ(ｘ 1 ) - 3ｘ ｉｓｉｎｘ ,ｗ =3ｚ2 1ｚ2 在复平面ｕ Ｏ ｖ上对应点为Ｐ ,求动点Ｐ的轨迹 .解　∵ ｙ =ｓｉｎｘ 向左平移ｂ个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 向上平移 3个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 3.1 )∵ｘ =1为其对称轴 ,而其对称轴的一般形式为ｘ ｂ =ｋπ π2 (ｋ∈Ｚ) ,∴ｘ=1应是此方程的解 ,故ｂ =ｋπ π2 - 1 (ｋ…     

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题 1 1　已知复数 -4 ,4,ｚ0 分别对应复平面内的点Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,ｚ0 不在实轴上 ,|ｚ0 |=8.1 )求△ＡＢＣ的外接圆圆心Ｍ的轨迹Ｃ ;2 )若Ｎ是圆 (ｘ -4 ) 2 ( ｙ -ｂ) 2 =4上的动点 ,求 |ＭＮ|ｍｉｎ=ｆ(ｂ)的最大值 ;3 )若二次方程 2ｘ2 ( 2ｍ 4 )ｘ ｍ2 4=0有实根 ,且抛物线 ( ｙ-ｎ) 2 =92 (ｘ ｍ)与轨迹Ｃ有两个不同的交点 ,求实数ｎ的取值范围 .解　 1 )设ｚ0 =ｘ0 ｙ0 ｉ (ｘ0 ,ｙ0 ∈Ｒ) ,则ＡＣ的中点坐标为 ( ｘ0 -42 ,ｙ02 ) ,∴ＡＣ边的中垂线方程为ｙ-ｙ02 =-ｘ0 4ｙ0(ｘ -ｘ0 -42 ) ( 1 )又ＡＢ边的中垂线方程为ｘ =0 …     

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题 4 9　 设数列 {ａｎ}为等差数列 ,且ａｎ<ａｎ + 1,前 6项的平方和为 70 ,立方和为0 .1 )求 {ａｎ}的通项ａｎ;2 )在平面直角坐标系内 ,直线ｌｎ 的斜率为ａｎ,且与曲线 ｙ =ｘ2 相切 ,与 ｙ轴交于Ｂｎ,记ｂｎ=|Ｂｎ + 1Ｂｎ| ,求ｂｎ;3)对于 2 )中数列 {ｂｎ},求证 :ｓｉｎｂ1+ｓｉｎｂ2 +… +ｓｉｎｂｎ <32 .解　 1 )依题意 ,有 :ａ21+ａ22 +ａ23 +ａ24+ａ25 +ａ26=70 ,ａ3 1+ａ3 2 +ａ3 3 +ａ3 4+ａ3 5 +ａ3 6=0 .∵ {ａｎ}为等差数列 ,∴ａ1+ａ6=ａ2 +ａ5 =ａ3 +ａ4.若ａ1+ａ6>0 ,得到 :ａ3 1+ａ3 6=(ａ1+ａ6) (ａ21+ａ1ａ6+ａ26)>0…     

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1992年10月号问题解答 (解答由问题提供人给出):sin(,一2刀):sin(、一2,,)=sinZa:sinZ刀sinZ), 33.设a,刀,:是任意一锐角三角形的三卜内角.证明::(吵十率鲜+塑全卫))(粤+ u PZ夕P a毛刀镇,z, 二一Za),一2刀)汀一Zy,l、__11_11丁)sin Za十(丁十下)sinZ刀十(二+一于)sinZ〕,·J,夕。uP于是由三角形的边角关系,知a)b)c. sinZa)sinZ刀)sinZ〕人于是不失一般性,可设。簇刀镇1,,则生)又由题设易知。一2a,,一2刀,二一2:可同理作为一个三角形的三内角,设它们所对的边为a,b,e,则由正弦定理知。:乙:。二sin(,一Za)(S、·2一;·2刀)(告址告,)。…     

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1992年l月号问题解答 (解答由供题人给出) 一‘.证明连结。,11,o:21,0.02,记,:,,,分别是0,,o:的半径· 显然艺ol产Ic,乙O:月口~450,匕O:矛J口:二90.,且侧△Allc的几△月心刀的欣△CHB(如图1),所以一二认侠\尹l,一拜抹,‘气篇不,不等式两边同除以‘· ’ :)’,得到一个形式相同的关于x.y,z的不等式,其中x Y十z=1).再把不等式等价地变形为 4(刁 扣 二),一(12苹 l)(刁 乒 二) 二笋蕊0,把:十y~l一:代入上面不等式中得4(刁 :(l一:))2一(l 12二护)(刁 :(l一z)) 公拼续0,化简为峨(1一3:)(刁);一(l一:)(2一1)(6一l),一z(l一z)(22一l)含毛0.令t二…     

1991年河南省数学奥林匹克集训班模拟赛题

第一试(答卷限时:2小时)一、选择题(本题满分30.每小题5分) 1.如果加银曲线的坐标方程为尸~它的焦点的极坐标为().(二 :)’““(护,一l)的展开式的系教之和二 l65一3coso’那么(A)(0,0).(6,介)(C)(0,0),(3 .0)(B)(一3,0),(3,0、(D)(0,0).(6,0):.。roctg(一冬) 。reet‘(一2。等     

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题 39　 已知椭圆Ｃ的方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1的两条渐近线为ｌ1,ｌ2 ,过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作直线ｌ,使ｌ⊥ｌ1,又ｌ与ｌ2交于Ｐ点 ,设ｌ与椭圆Ｃ的两交点从左到右依次为Ｂ ,Ａ(如图 1) .图 1　题 39图求|ＰＢ||ＰＡ| 的最大值及取得最大值时椭圆Ｃ的离心率ｅ的值 .解　设Ｃ的半焦距为ｃ,由对称性 ,不妨有ｌ1:ｙ =- ｂａｘ ,ｌ2 :ｙ =ｂａｘ .由ｙ =ｂａｘ ,ｙ =ａｂ(ｘ -ｃ) ,得Ｐ ａ2ｃ ,ａｂｃ .知点Ｐ在椭圆的右准线ｘ =ａ2ｃ上 .设点Ａ内分有向线段ＦＰ的比为λ ,由定比分点坐标公式求出点Ａ的…