一道课本习题的引申与应用

高中数学新教材第一册(下)中编入了平面向量的内容,学习向量尤其是向量的应用,可以启迪学生用新的视角去分析、解决问题,有益于培养学生的创新能力.下面以笔者在平面向量一章的教学中对一道练习题的引申与应用为例加以说明.     

让我欣喜若狂的小小推广

<正>老师上课讲的结论:在定义域范围内,若外函数y=f(x)与内函数x=g(t)有相同的增减性,则他们的复合函数y=f(g(t))在相应区间上为单调增函数;反之,若外函数与内函数增减性相反,则复合函数在相应区间上为单调减函数.结论解释:以内、外函数都是单调增函数为例,因为在相关区间内,当t越来越大,x也越来越大;x越来越大,y也越来越大,所以复     

等比数列前n项和公式推导的思考与证明

先看实验教科书《数学5》关于《等比数列的前n项和》的推导过程,对于等比数列的前n项和Sn=a1＋a2＋a3＋…＋an。根据等比数列的通项公式可写成：     

用二进位制巧解一道竞赛题

题目 :(第四届美国数学邀请赛试题 )递增数列 1 ,3,4 ,9,1 0 ,1 2 ,1 3,…由一些正整数组成 ,它们或者是 3的幂 ,或者是若干个不同的 3的幂之和 ,此数列的第 1 0 0项为(　　 ) .( A) 72 9　 ( B) 972　 ( C) 2 4 3　 ( D) 981解　可把问题看作从 1 ,3,32 ,… ,3n中任取一个或几个的和组成 (不可重复 ) ,即对于任一个 3的幂 ,只存在取与不取两种情况 .∴　可把这种情况看成 1个 2进制数 ,其中 1表示取其对应的 3的幂 ,0表示不取 .∵　这样可把二进制数的大小与这一递增数列一一对应起来 .二进制 110 1110 0 10 1110数　列 134910 12二进制…     

一道概率错解题剖析与反思

一、问题 有100件产品,其中有5件次品,从中不放 回地抽5件产品, (1)求恰有1件次品的概率; (2)求抽到次品件数的数学期望值. 错解:由题意知,这种产品的次品率为5%, 且每次抽取相互独立,为独立重复试验. (1)恰有1件次品的概率为P5(1)=C150. 05×0.954=0.2036. (2)设ζ表示n次抽取中抽到次品的次数, 则ζ～B(5,0.05).所以Eζ=0.25. 错因剖析: 上述解法中有两个错误: …     

等差数列的一个性质及应用

定理:设数列{an}是以d为公差的等差数列,Sn为{an}的前n项和,记bn=Sn/n,则数列{bn}是以d/2为公差的等差数列. 简证:∵数列{an}是以d为公差的等差数列,     

提前预见、精心设计、适时干预——课堂例题教学之有效性

一直以来,课堂例题教学最盛行的方式是：以知识为中心,过分注重方法和体系的完备性,却在很大程度上忽视了学生的既有水平和认知,直接导致了课堂容量偏大,满堂灌等现象的盛行．同时,为了提高学生成绩,教师采用大量补课以及题海战术等方式,试图让学生在不断机械重复中掌握新的知识和方法．这样的教学方式是低效甚至无效的,长此以往,教学就形成了恶性循环：教师教得很辛苦,学生也学得很吃力,并越来越感到数学很枯燥乏味,甚至产生厌学情绪．     

用调整优值法求最优整数解

“线性规划问题”的最优整数解是《简单的线性规划》一节中的一个难点 .现以教科书 (试验本 )第二册 (上 )第 6 5页习题 7.4的第四题为例说明如何用调整优值法来求“线性规划问题”的最优整数解 .(题目略 )本题的线性约束条件为1 8ｘ + 1 5 ｙ≤ 1 80 ,1 0 0 0ｘ + 6 0 0 ｙ≤ 80 0 0 ,ｘ∈Ｎ ,ｙ∈Ｎ , 6ｘ + 5 ｙ≤ 6 0 ,5ｘ + 3ｙ≤ 40 ,ｘ∈Ｎ ,ｙ∈Ｎ .线性目标函数为ｚ =2 0 0ｘ + 1 5 0 ｙ ,其中ｘ、ｙ分别表示大、小房间的间数 .作出可行域如图 1 .图 1为求ｚ的最大值 ,先将目标函数化为ｙ =-43ｘ + ｚ1 5 0 ,易知当该直线ｌ在ｙ轴…     

也谈直线方程x=my＋n的简单运用

文[1]指出：设直线方程x=my＋n是为避免讨论直线斜率的存在性及复杂的运算．笔者认为这只是表面现象,而其数学本质在于直线方程与圆锥曲线方程消元的选择,以达到化二维距离为一维距离的目的．先看例1的两种解法．     

一个基于数学核心概念、思想方法的教学设计——课题:离散型随机变量的分布列

2007年11月23日,笔者有幸参加了浙江省绍兴市书圣大学堂名师名家教艺展示活动,向与会教师展示了一节课《离散型随机变量的分布列》,浙江省数学特级教师陈钧海老师作了点评:该教学设计充分体现了数学核心概念、思想方法,用一个抽奖活动将整堂课串联起来,思路清晰,很好地达成了教学目标,课堂气氛活跃,师生在课堂