一个不等式的简证

《数学通报》2010年1月号问题1833如下题目已知a,b〉0,且a＋b=1.求证：（1/a2-a3）（1/b2-b3）≥（31/8）2.原答案技巧性很强,笔者在此提供简单自然的一种证法,仅供参考.证明∵a＋b=1,     

一道《美国数学月刊》征解题的初等解法

问题:已知z,y,z ∈(0,+ ∞)且X2+y2+z2＝1,求函数f =x+y+z-xyz的值域.此问题最早出现在<美国数学月刊>问题征解中,后又出现在中国不等式研究小组网站上寻求它的初等解法.文[1]、[2]分别给出了求f上界的抽屉原则解法.     

关于一类阿基米德三角形面积最小值的结论

对于抛物线,文[1]中有性质6,如下: 　　若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点Q的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积的最小值为p2. 　　对于椭圆的底边过定点的阿基米德三角形面积问题,笔者通过简洁运算,得到了一个关于文[1]中性质6的结构优美的推广结论,自以为还是很有趣味的(尤其值得一提的是,推证过程中巧妙地运用了二元Cauchy不等式,从而避开了求最值问题的繁杂计算),现呈现在下文中,以期与读者共享.……     

圆锥曲线的两个性质

本文拟介绍与切线有关的圆锥曲线的两个性质及推论．     

一道高考题的背景、拓广与应用

问题1(2007年重庆卷,文21)倾斜角为α的直线经过抛物线交于A,两点(图略). 　　(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线ι的方程; 　　(Ⅱ)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交X轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2α为定值,并求此定值.……     

巧证一个性质

笔者运用几何画板探得如下命题： 命题1 已知椭圆方程为x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0），如图1．切椭圆于点P的直线与⊙O：x^2＋y^2=a^2相交于M，N两点，⊙O在点M，N处的切线相交于点Q，则PQ⊥x轴．     

一个定理的另证与推广

文[1]给出了如下定理： 定理△ABC的内切圆与BC,CA,AB依次相切于点D，E，F，圆心为I，BC=a，CA=b。AB=c。     

解斜三角形

本单元的重点是：正弦定理、余弦定理，求周长、面积，判断三角形的形状，与解斜三角形有关的实际应用问题．综合运用正弦定理、余弦定理和内角和定理等基础知识解决几何问题和实际问题，有助于培养和提高学生分析问题和解决问题的能力．     

运用圆锥曲线的光学性质解题续谈

笔者在研读并欣赏文[1]之余,总觉得意犹未尽,经探究证明,得如下几个结论,遂成下文,仅供大家参考.命题1已知抛物线的焦点为F,直线PM′与PN′分别切该抛物线于点M,N,则1)如图1,若点P,F在直线MN同侧(或点F在直线MN上)时,∠MPN=12∠MFN;2)如图2,若点P,F在直线MN异侧时,∠MPN=180°-21∠MFN.图1命题1图图2命题1图证明1)分别过点M,N,P作抛物线对称轨的平行线MR,NS,PX,则∠M′MR=∠MPX,∠N′NS=∠NPX.由抛物线的光学性质知∠PMF=∠M′MR,∠PNF=∠N′NS,∴∠MPX ∠NPX=∠PMF ∠PNF,即∠MPN=∠PMF ∠PNF(1)又∵∠M…