第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答

第一天 (1990年l月12日8:30一13:30) 一、如图,在凸四i互形月刀CD中,.4刀与CD不平行,圆O、过,4声目.与边CD相切于P,圆O:过C、D且与边月刀相切于Q,圆O:与圆O:相交于刀、厂。求证:石尸平分线段尸口的充分<令(附一刀d)(,Ic一耐)二0、艺一:(显然了、·“,·必要条件是刀C犷通D. 证:如图,设尸Q与石F相交于K,延长PQ交圆O孟于P,,延长口p交圆口2于口,,则刃K·K尸二尸人{.K尸, 二口K·K口,(1) <卜今,.J.O沙刀C 二、设二是一个白然数,若一串自然数厂。=l,x:、二2、…,二,一,,、‘二x,亨两足:‘一,<:‘,二‘一:J:‘,i=l,2,…,l,则称{二。…     

非交换非结合背景下的Paley-Weiner定理

在非交换非结合的八元数解析函数空间证明了Paley-Weiner定理.     

放缩法证明数列不等式的基本策略

放缩法证明数列不等式是高考数学的难点.由于其灵活多变,让许多学生觉得没有规律、无从着手、神奇难学.为帮助更多的学生突破这个难点,我们可以在思维策略上加以点拨,提升其能力.模型识别策略、结构联想策略、目标分析策略和微观调整策略可以作为突破该难点的基本策略.     

所有子群皆交换或正规的有限群

本文研究所有子群皆交换或正规的有限群. 我们获得了非幂零的情形的一个特征刻画, 也给出了幂零情形的一些性质.     

光热偏转谱术

本文介绍一种基于光声（热）原理的光吸收测量新技术．当某调制光被物质吸收时会产生热量，因而被测样品及周围介质巾产生相应的温度场．当探测光掠过或穿过此温度场时将被偏转．用位置灵敏探测器接锁相放大器测出探测光的偏转量，从而计算出样品的微弱吸收．此法比现有常用的透射法灵敏度高３—６个数量级，是研究薄膜材料光热性能十分重要的手段．     

补中益气汤对肝硬化患者机体微量元素的影响

为探讨补中益气汤对肝硬化患者机体微量元素水平的影响,采用全自动生化分析仪检测了30例服用补中益气汤肝硬化患者及30例肝硬化对照组患者血清中镁、铁、铜、锌的水平。结果表明,服用补中益气汤患者血清镁、铁、锌水平均显著高于对照组患者(P0.05),服用补中益气汤患者血清铜水平均显著低于对照组患者(P0.05)。提示了补中益气汤能显著提高肝硬化患者机体微量元素水平,对改善患者肝脏功能具有一定的作用。     

气相色谱/质谱法检测小鼠肌肉组织和血液中羟基多氯联苯

建立了测定小鼠肌肉和血液中3种羟基多氯联苯的气相色谱/质谱联用(GC-MS)方法.经正己烷-乙酸乙酯(1∶ 1, V/V)提取目标化合物后,结合H2SO4去脂,KOH反萃法对提取液进行净化,以双(三甲基硅烷基)三氟乙酰胺-三甲基氯硅烷(BSTFA-TMCS, 99∶ 1, V/V,)为衍生试剂对羟基多氯联苯进行硅烷化衍生后,在SIM模式下进行GC/MS分析.本方法检出限为2μg/kg.在3种添加水平2.0,5.0和20.0 μg/kg下,小鼠肌肉和血液中3种羟基多氯联苯的回收率范围为73.2%～113.2%;相对标准偏差为1.53%～10.4%.本方法可用于小鼠腹腔注射多氯联苯后,体内多氯联苯羟基代谢物的检测.     

冷原子介质中基于相干诱导高反射带和高透射带的全光路由控制

以相干诱导光子带隙结构为工作基础,提出了一种可对两个弱光信号的传播路径同时进行动态调控的新型全光路由控制方案。利用描述光波在空间周期介质中相干散射的传输矩阵理论,结合描述单频激光与多能级原子共振相互作用的密度矩阵方程,计算了作为控制媒介的相干驱动超冷原子系综的稳态反射光谱和稳态透射光谱。结果表明,通过改变两个较强相干激光的空间模式、强度和频率等参数,可在探测跃迁共振频率附近建立反射率约为95%或者透射率约为95%的两个特殊频带。对这样的相干诱导高反射带和高透射带进行了实时动态调控,可根据需要引导两个不同频率的弱光信号进入指定的网络通道。该方案很好地满足了在量子信息处理领域对弱光信号进行全光路由控制时的低损耗和低形变要求。