圆锥曲线的极点与极线——2020高考北京卷解析试题背景探究

<正>极点与极线问题是解析几何中的热门问题,有许多定值、定点与三点共线等问题源于椭圆的极点极线性质.圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多,原因有二:其一,有高等数学背景,结论非常完美;其二,运用高中知识解决问题,能够考查学生思维、计算等多方面能力.笔者通过对2020高考北京卷解析试题背景分析,发现了极点极线的一条新性质.     

2020山东数学高考函数导数问题解法探究

<正>2020山东数学高考21题是函数主线下的指对混合型不等式问题,这类问题要求高、难度大,如果方法选择不当,同学们答题时容易出现耗时长、易出错等问题,通过放缩转化、构造转化等方法可以有效快捷求解,特写此文与大家共鸣.1试题呈现,通法优先     

解读条件概率

概率作为考查学生应用能力的载体，在近年高考中出现频频，条件概率引入以后，多数学生由于对概率知识理解不透，加上问题中往往融入复杂的计数问题，使得学生时常出错．下面结合实际和易出现的问题，对条件概率的概念进行解读，与同学们交流．     

由课本一道例题引起的思考

人民教育出版社《立体几何》课本第８２页有这样一道例题; 例 已知：圆锥的底面半径为ｒ,母线长为ｌ,侧面展开图扇形的圆心角为θ°． 求证：θ＝ｒ／ｌ·３６０． 本题的证明是利用侧面展开图扇形的圆心角、半径（圆锥母线长ｌ）、弧长（圆锥底面圆周长２πｌ）三者之间的关系来完成的,同学们很容易理解和掌握．但如果同学们仔细反思和联想（如图１）,不难发现ｒ／ｌ即为ｃｏｓ ａ（其中ａ为圆锥母线与底面所成的角）, 所以由此题结论还可得到 ｃｏｓ ａ＝ｒ／ｌ＝θ／３６０,而 、ｒ 二冗厂”厂 匕刀厂“ｏｔＸｃｏｓｏ二 口了一 …     

圆锥曲线的一个性质的证明与推广

在研究圆锥曲线与其它知识的综合问题时,我们发现抛物线的准线上任意一点与焦点弦的端点、焦点连线的斜率之间存在着一定关系,这种关系不仅可以类推到椭圆双曲线,而且还能将结论更一般化,下面将此性质加以推广和证明,希望能和读者共勉.……     

课本上一道切线问题的推广

人教版《解析几何》第126页第19题:从抛物线的焦点向它的任意一条切线引垂线,求证这条垂线和准线的交点,在过切点且平行于对称轴的直线上.我们将它翻译成符号语言和图形语言,如图(1).直线l是过抛物线y2=2px(p>0)上一点P的切线,过该抛物线焦点F的直线FN⊥l于点N,与抛物线的准线交于点M.求证:直线MP平行于x轴.原题证明比较简单,这里略去.经过笔者研究发现,这里“FN⊥l于点N”的条件是“虚晃一枪”,实质上,点N是“抛物线两条切线(切线l与过顶点的切线——y轴)的交点”,利用一般化和类比的方法,原题可以推广为更一般、更广泛的形式.推广1如…     

第1578问题的简单证明、推广及应用

问题1578如图1,⊙O1、⊙O2内切于点P,⊙O1的弦AB切⊙O2于C,设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r.求证:AACP22=R-rR.这是贵刊2005年第11期《数学问题解答》栏中第1578问题,经过我们认真地研究发现,它具有“证法多样、可以推广、应用广泛”的特点,可以说,是一个值得深入研究的好问题.下     

椭圆的一个基础性定理

在我研究圆锥曲线性质的过程中，发现了椭圆的一个性质，它既可以证明贵刊中多篇文章(文[1]至文[11])所述的圆锥曲线的性质，又是高考的重要内容，还便于学生接受，所以说，它是在椭圆性质研究中的一个基础性定理．下面，把这个定理的内容和证明过程，贡献给同行．     

在探究学习过程中培养学生的创新精神--抛物线的一个新性质的探究过程

创造性思维是一种推测、想象和创造的过程 ,它使思维趋于活跃 ,是创新精神的基础 ;而创新精神的核心 ,则是百折不挠 ,不轻言满足的心理品质 .在通过探究学习 ,培养学生创新精神的数学教学实践中 ,“探究学习”不应停留在简单的变式和肤浅的问答形式上 ,使学生觉得“老套”,既无“新产品”产出 ,更无创新之意 ,而应当在与同学们一起的“观察、实践、归纳、猜想和证明”的探究过程中 ,使学生在涌现的“新产品”面前体验到快乐和欣慰 ,激发起他们对新知识、新方法的渴望 ,在潜移默化中 ,加深学生对创新是无止境的理解 .下面 ,谈一点自己在教学…     

一道竞赛题的探究与拓展

<正>直线与圆锥曲线位置关系是高考、强基、竞赛的必考题.2020甘肃数学预赛试题第10题立意新,寓推理计算于一身,具有典型性,代表性,拓展性,现笔者呈现其研究过程与读者共鸣.1问题呈现,解法探究题目已知椭圆y²/4+x2/4+x²=1,P为椭圆上任意一点,过点P分别作l_1:y=2x和l_2: