常微分方程的一些新的可积类型

<正> 大家知道,一般的 Riccati 方程和二阶变系数线性方程是不可积的.本文对[3]作了提炼和扩充,给出了 Riccati 方程和二阶方程的一些新的可积类型,用统一的方程或定理概括了古典的及近代得到的许多著名的可积类型及可积性结果,并且引入豫解函数、特征常数、特征方程及判别式等概念,使这几类方程的求解“公式化”.     

《数学通报》引导我走上研究数学之路

《数学通报》引导我走上研究数学之路李鸿祥（上海铁道大学２００３３３）《数学通报》６０岁了，她在过去６０年中为我国数学的普及，发展和繁荣作出了重大贡献，真是可喜可贺．这里，我想通过自己的亲身经历和成长过程，谈一谈《数学通报》在培养青年数学人才方面所起的...     

Erds-Mordell定理的两个简短证明

Ｅｒｄｏ¨ｓ┐Ｍｏｒｄｅｌ定理的两个简短证明李鸿祥（上海铁道大学２００３３１）Ｐ．Ｅｒｄｏ¨ｓ是匈牙利数学家，当代国际著名的数学大师，于１９９６年逝世．《美国数学月刊》今年１月号发表了法国学者Ｖ．Ｋｏ－ｍｏｒｎｉｋ关于Ｅｒｄｏ¨ｓ的一个猜想的简短证明...     

对“关于y″+py′+qy=Ae~(ax)的特解”一文的意见

文[1]利用待定系数法导出二阶常系数微分方程y″ py′ qy=Aeax(1)特解的一般公式,有实用价值,但有几个问题提出来与作者商榷.1.在“主要结果”中,当令f(r)=r2 pr q后所列原方程的三个特解式中,后两个解式都是错的,第2和第3个解式中分别少写了x和x2.2.在“结果的证明”中只证明α是特征方程r2 pr q=0的单根时的情形,即令(1)的特解为y*=Bxeax,代入方程(1)合并同类项后得(2Bα pB)eax B(α2 pα q)xeax=Aeax文中说“比较系数得B=A2α p”.实际上应说明由于α是特征方程的单根,即有f(α)=α2 pα q=0,f′(α)=2α p≠0,从而约去非零因子eax…     

数学黑洞问题的图论表示

数学黑洞问题的图论表示李鸿祥（上海铁道大学）张芝兰（上海市邮电学校）在文［１］中我们指出，当Ｋ变换被修改为“将某规定位数的数的所有数字重新排列，组成可能的最大数和最小数，然后相减得同位差数”（可简称为“重排求差”变换）后，四位数和三位数的Ｋ变换黑洞分...     

关于几类高阶变系数线性方程的求解

线性常微分方程有着广泛的应用。常系数线性方程及其代数解法已是力学、电学及工程技术中的重要解析工具。在一般的系数激励振动、波导传输理论以及其它许多系统中,人们还常会遇到高阶变系数线性方程或可化为这种方程的一阶线性方程组。如果能求出它们的解析解,将对有关问题的归纳、分析与应用大有帮助。 在文献[4]中,我们利用Riccati方程的几类新的可积类型给出了二阶变系数线性方程的几类新的可积类型,积出了     

两类二阶变系数线性微分方程的求解

本文介绍作者在文 [1 ]中给出的两类二阶变系数线性微分方程 ,并用不同于 [1 ]中的方法证明其通解公式 ,同时指出常系数线性方程y″+by′+cy =0 ( 1 )和 Euler方程x2 y″+a1xy′+a2 y =0 ( 2 )都是其特例 ,它们的解式也是所给解式的特例。定理 1　设 G( x)在某区间 I上具有一阶连续导数 ,且 G( x)≠ 0 ,b和 c为实常数 ,则二阶变系数齐次线性方程y″+[b G( x) -G′( x)G( x) ]y′+c G2 ( x) y =0 ( 3 )的通解为( 1 ) b2 -4c<0时 ,y =[C1cos(ω∫Gdx) +C2 sin(ω∫Gdx) ]e- b2 ∫Gdx ( 4)　　 ( 2 ) b2 -4c=0时 ,y =( C1+C2∫Gdx) e- b…     

几类一阶微分方程的统一方程和统一变换

在高等数学的微分方程一章中,一阶变量可分离方程是最基本的方程,分离变量后积分,即得通解（通积分）：式中x（s）羊0（否则y一C）,C为积分常数（下同）．对于一阶非齐次线性方程由于其对应的齐次方程将常数U变易为函数U什）,即作变量代换方程（3）就变为关于函数X（X）和变量X的变量可分离方程积分后代入（5）式,即得非齐次线性方程（3）的通解对,右端为零次齐次。数。（于卜齐次方程当机y缸）学VX（否则,变量可分离）,作变换可得变量可分离方程UU‘＋U一J（U）,于是（7）的通解对于伯努利（Bernoulli）方程（n羊0,豆,否…