几类可积的非线性常微分方程(Ⅰ)——一阶方程

本文给出一阶非线性常微分方程的几个可积性结果和几类可积方程,指出许多巳知的可积性结果和可积方程都是它们的特例.这些方程可望在物理学、力学和推导孤立子方程及寻求孤立子解中护到应用.     

解一类一阶统一微分方程的常数变易法

在文[1]中我们介绍了将一阶可分离变量方程、齐次方程、线性方程和伯努利(Bernoulli)方程等作为特例的统一方程y′ P(x)y=ynQ(x)F(ye∫P(x)dx)(1)　式中P、Q、F均为其变量的连续函数,n为常数,并给出了解法,即作统一变换y=ue-∫P(x)dx(2)　将方程(1)化为可分离变量方程u′e-∫P(x)dx=une-n∫P(x)dxQ(x)F(u)(3)　分离变量后积分,得(1)的通解(通积分)∫duunF(u)=∫Q(x)e(1-n)∫P(x)dxdx C(4)　式中u=ye∫P(x)dx.我们把这种解法称为解方程(1)的变量代换法.这里我们再介绍求解方程(1)的常数变易法(详见文[2],那里的方程是这里方程(1)当n=…     

神奇的数字正方形

正在一幅古画中的墙壁上,有一个由前16个阿拉伯数字构成的数字正方形(图1,图4):16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1它是在1514年由画家Albrecht Durer(阿尔布雷特.丢勒)创制的(图2、图3),距今500多年了.这个数字正方形有着非常神奇的特点——它有22组四个数之和均为34(图3-7):1、每行和每列上的四个数之和都是34;     

对"关于y"+py''+qy=Aeax的特解"一文的意见

文[1]利用待定系数法导出二阶常系数微分方程y＂＋py＇＋qy=Ae^ax特解的一般公式，有实用价值，但有几个问题提出来与作者商榷．     

关于設施的最佳配置的极值方法

某些设施的最佳配置具有重要意义。解决很多问题时,应用极值论的方法在这里是很有效的。下面所考察的一些问题在很多情况下都有实际的用处,例如,确定运输中的最少费用,选择农业生产设施的最合理的位置,根据能量消费单位的分布选择发电厂的最佳位置,选取火车站、商业机关、学校以及运输上的停车场等等的最好位置。我们首先研究某条居住街道的中心的最优选择问题。设街道长为l,居民的沿街分布密度(由公式或图形给出)为ρ(t)。这里以及后面所得到的结果不仅可以说明所研究的具体问题,而且能够说明前面所列举的一系列类似的问题。选取街道长度元素dt,这段内的居民数为ρ(t)dt,则得这段内的居民对于坐标为x的未知中心计算的所需走的路程之长:     

一阶常微分方程的求解

本刊发表的文[1]是一篇在高等教育中注意教学方法的好文章。高等数学是为数甚多的理工科院校中的基础课程之一。如何搞好这门课程的课堂教学,值得重视。在文[2]中,我们也曾以寻求一阶线性常微分方程的解法为例,主张在教学实践中要向学生揭示一些定理及其证明是如何被发现的,一些问题的解法是怎样被找到的,或可能是怎样被发现或被找到的。我们认为这将对培养学生的独立工作能力及创造精神产生一定的作用。本文就一阶常微分方程的解法问题     

前n个正整数的k次幂之和

《数学通报》1979年第5期和1980年第4期上先后发表了张德志同志和余炯沛同志撰写的关于求的方法的两篇文章。稍后,1980年第6期《美国数学月刊》上也发表了一篇关于求这种和的短文,其中确定所求和——n的多项式的系数的方程组与前不同,它的构成形式富于启发性,且便于求解。该文特别指出了它与(我国读者熟知的)杨辉三角(文中称为Pascal三角形)的联系,非常容易记忆和掌握。现在翻译出来,供大家参考。     

极坐标系下曲线的周期

本文是1966年的旧稿。最近看到文[1],于是对原稿作了部分修改,并评论了[1—3]中的有关部分,当否,请大家指正。     

A Note on First Order Differential Equation

In this note, a theorem and its three corollaries on solution of the first order ordinary differential equation are given. Theorem Suppose that b, F∈C,a∈C~1,b(y)≠0. If a(t) and b(t) satisfy the equality a′(t)b(t)=1, (1) then the first order differential equation y′=b(y)F(x,a(y)) (2) has a solution y=f(u) (3) where u=u(x) is a solution of the equatien     

SEVERAL CLASSES OF INTEGRABLE NONLINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS(Ⅱ)—HIGHER-ORDER EQUATIONS

In this paper,several classes of integrable nonlinear higher-order ordinary differentialequations are given.It is pointed out that some known results of integrability or integrableequations are all special cases of them.These equations have a wide-ranging appliedbackground in physics and mechanics.