数学问题解答

20 0 0年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 81　△ＡＢＣ中 ,∠ＡＢＣ =∠ＡＣＢ=50°,Ｐ、Ｑ为形内两点 ,∠ＰＣＡ =∠ＱＢＣ =1 0°,∠ＰＡＣ =∠ＱＣＢ =2 0°.求证 :ＢＰ =ＢＱ .(黑龙江省绥化地区教育学院田永海　 1 52 0 54)证明　如图 ,过Ａ作ＢＣ的垂线 ,在该垂线上取一点Ｄ ,使∠ＤＣＡ =2 0°,连ＤＰ、ＤＢ、ＤＣ .由∠ＡＢＣ =∠ＡＣＢ =50°,可知ＡＣ =ＡＢ ,∠ＢＡＣ =80°,有ＡＤ为ＢＣ的中垂线 .易知ＰＡ平分∠ＤＡＣ ,ＰＣ平分∠ＤＣＡ ,可知Ｐ为△ＡＤＣ的内心 .有∠ＰＤＡ=∠ＰＤＣ =60°.由∠ＤＢＣ =∠ＤＣ…     

有关三角形内心性质命题的评注

文［１］介绍了有关三角形内心性质的如下一个命题：设△ＡＢＣ的内角平分线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ相交于Ｉ,求证：　　　ＡＩＤＩ＋ＢＩＥＩ＋ＣＩＦＩ≥６．①无独有偶,文［２］用三角形的有关心距公式对第３２届ＩＭＯ的一道试题给出了解答．题目为：设Ｉ为△ＡＢＣ的内心,ＡＩ、ＢＩ、ＣＩ分别交对边于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′,则　　　　ＡＩＡＡ′·ＢＩＢＢ′·ＣＩＣＣ′≤８２７．②图１实际上,这两个问题都可以用共边比例定理简捷地解决．先证明①式．证明　如图１,设△ＢＩＣ面积为Ｓ１,△ＡＩＣ面积为Ｓ２,△ＡＩＢ面积为Ｓ３,△Ａ…     

数学问题解答

20 0 1年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 96　ＡＣ是 ＡＢＣＤ较长的一条对角线 ,Ｏ为 ＡＢＣＤ内部一点 ,ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ ,ＯＦ⊥ＡＤ于Ｆ ,ＯＧ⊥ＡＣ于Ｇ .求证 :ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ=ＡＧ·ＡＣ证明　不妨设Ｏ在△ＡＢＣ内 ,ＯＦ与ＯＣ交于Ｐ ,连结ＡＯ ,作ＢＭ ⊥ＡＯ ,ＢＬ⊥ＡＣ ,ＤＮ ⊥ＡＯ ,ＤＫ⊥ＡＣ ,ＣＱ ⊥ＡＯ ,Ｍ、Ｌ、Ｎ、Ｋ、Ｑ均为垂足 .∵Ｅ、Ｂ、Ｍ、Ｏ四点共圆∴ＡＥ·ＡＢ =ＡＯ·ＡＭ同理 ,ＡＦ·ＡＤ =ＡＮ·ＡＯ∴ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ =ＡＯ· (ＡＭ ＡＮ)(1 )设∠ＤＡＣ =α ,∠ＣＡＢ =β ,∠…     

最短路径及“货郎担”问题

问题１　某人从金坛市出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次，最后返回金坛．已知各市之间的路费如表１所示，请为他设计一条路费最省的路线（表中单位：元）．表１金坛常州扬州苏州杭州金坛０３０４０５０６０常州３００１５２５３０扬州４０１５０１５２５苏州５０２５１５０１５杭州６０３０２５１５０图１　　这是已故华杯赛主试委员会委员陶懋颀教授为第５届华杯赛编拟的一道口试题．为了解这个问题，我们先画图（如图１），将两市之间的旅费都标在这两个城市间的联线上，可以看出有三对城市之间路费最低，都是１５元．因此，常州１５扬…     

几个简单的安排与规划问题

做一件工作总要合理安排计划，目的是取得较优的效益．为此，在工作之前就要安排设计行动方案，其中可用数学来帮忙．甚至初中所学的方程、不等式、函数知识也大有用武之地．例１　某工厂接到制造６０００个Ａ种零件和２０００个Ｂ种零件的定货单．该厂２１４名工人，每人制造５个Ａ种零件与制造３个Ｂ种零件所用的时间相同，现拟将全厂所有工人分成甲、乙两组，一组制造零件Ａ，另一组制造零件Ｂ．并同时开始投入生产，问这两组各分配多少人时，才能使得完成定单任务所用的时间最少？分析与解　这是一个合理安排劳力的问题，作为一个企业领…     

算子理论的重要进展──《电磁理论中的并矢格林函数》出版回眸

剖析了矢量场论中由于在散度和旋度上使用吉布斯算符而长期存在的相互混淆等问题，介绍了由戴振蜂教授创建的符号矢量方法．随着符号矢量方法这一新理论方法的传播和应用，电磁理论中矢量场论的研究与教学将会更加准确和严谨．     

关于一个公理和一个定义叙述的变化

教科书的语言叙述要认真推敲，力求准确简明．本文介绍新编《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学（必修）第二册（下）》（人民教育出版社中学数学室编著，1998版，以下简称新教材）第9章对一个公理和一个定义在文字叙述上与旧课本的变化，并论述产生变化的原因及对采取新处理方案的一些思考．1关于平面的公理2的叙述在立体几何中有这样一条涉及点、直线、平面的结合公理"如果两个平面有一个公共点，那么它们有一条通过这个点的公共直线"．公理的条件部分对于两个平面是否重合并未加以限制，公理的结论部分只有通过这个点的公共直线的…     

对数歌

什么悬崖跳过墙 ?　　　　什么深谷翻出山 ?　　　　蛤蟆过墙跳出场 ,　　　　猕猴出山跟斗翻 .　　　　相应性质对照ｌｏｇａＮｍ=ｍｌｏｇａＮ (Ｎ >0 )ｌｏｇａｎＮ =1ｎｌｏｇａＮ (Ｎ >0 ,ａ≠ 1 )　　　　积商对数值和差 ,　　　　和差对数不拆算 .　　　　对数接龙取头尾 ,　　　　除去龙头叫换底 .ｌｏｇａ(ＭＮ) =ｌｏｇａＭ ｌｏｇａＮ(Ｍ >0 ,Ｎ >0 )ｌｏｇａ ＭＮ=ｌｏｇａＭ -ｌｏｇａＮｌｏｇｂａ·ｌｏｇａＮ =ｌｏｇｂＮｌｏｇａＮ =ｌｏｇｂＮｌｏｇｂａ　　　　真数须正值不限 ,　　　　底不为一且为正 .　　　　一对数…     

数学问题解答

20 0 1年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 30 6　△ＡＢＣ中 ,∠ＡＢＣ=70° ,∠ＡＣＢ =30° ,Ｐ为形内一点 ,∠ＰＢＣ =40°,∠ＰＣＢ =2 0° .求证 :ＣＡ·ＡＢ·ＢＰＡＰ·ＰＣ·ＣＢ =1(黑龙江绥化教育学院　田永梅　 1 52 0 54)证明　如图 1 ,以ＡＢ为一边在△ＡＢＣ内作正△ＤＡＢ ,连ＤＰ ,ＤＣ .在ＡＣ上取一点Ｅ ,使ＥＣ=ＤＣ ,连ＰＥ .由∠ＡＣＢ =30° ,可知Ｄ为△ＡＢＣ的外心 ,有∠ＤＣＢ =∠ＤＢＣ =1 0° .由∠ＤＣＰ=1 0°=∠ＡＣＰ ,可知Ｅ与Ｄ关于ＰＣ对称 ,有∠ＰＤＣ =∠ＰＥＣ ,ＰＥ =ＰＤ .由∠ＰＢＡ =30°…