三角形中的一个不等式

定理①:设△ABC的三边长分别为a、b、c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长为S,面积为△.     

探求几何题简解(证)的辅助线

几何题的证、解,除了比较简单的情形以外,一般都要作辅助线,辅助线的作法,千变万化,作出了不同的辅助线,往往就有了不同思路的解(证)法,这都需要我们不断积累知识认真总结经验.比如总结出"梯形中常用辅助     

《一类三角形中的最值问题》的一点修正

文[1]讨论了一类三角形中的6个最值问题,其中的第5个问题是: 设a>0,b>0,即点P(a,b)是第一象限内的一点.过P的直线与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,试问:△AOB的所有内切圆中,有没有直径最大(小)的内切圆?     

三角形中常见的“四心”问题

在初中，有关重心、垂心、内心、外心等三角形问题很常见．为此，我们简称为“四心”问题．重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点，内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心．     

一个"数学问题"的简解与推广

《数学通报》2006年第4期刊登的第1609号问题是:问题1609:求内切圆半径为1的三角形面积的最小值.问题提供人给出的解法[1]较曲折复杂,而且不易推广.本文给出一种简洁解法,并将结论推广至任意的圆外切多边形.图1问题的简解如图1,设ΔABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c,其内心为I.     

从一道巧题妙解中探究出的一组向量性质

笔者在高三向量的一次专题复习中遇到了这样的一道巧题：已知⊙O是正六边形A1A2A3A4A5A6的内切圆，当点P在圆周上运动时，求证｜^6∑i=1^→OP｜为定值。     

三角形旁切圆的几个几何恒等式

关于三角形的内切圆有这样一个几何恒等式:引理1[1] 设I是△ABC的内切圆的圆心,则下列等式恒成立:IA2/AB·AC+IB2/BA·BC+IC2/CA·CB(1)该命题的证明见文[1].在文[1]中作者巧妙的运用了面积证法从而得到引理1.试想,将引理1中的“内切圆”推广到“旁切圆”,是否仍有类似相关的几何恒等式成立?于是得到下述命题:     

再探旁心三角形的性质

三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点称为三角形的旁心.旁心是三角形的旁切圆的圆心,一个三角形有三个旁心,连接三角形的三个旁心而成的三角形称为旁心三角形.在文[1]的基础上,笔者经过探讨,得到:定理如图1所示,△DEF是△ABC的旁心三角形,三边长分别为d,e、f,且△ABC的三边长分别为a,b、c,△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R、r,则有def=4R/r·abc.     

欧拉不等式的一种简捷证法

丁遵标老师在《数学通报》2 0 0 0年第 6期 ,用三角法给出了欧拉不等式的一种巧妙证法 ,读后深受启发 ,现笔者应用点线距离的性质给出一种更为简捷的证法 .欧拉不等式　若三角形的外接圆的半径为R ,内切圆的半径为r,则R ≥ 2r.证明　设三角形ABC的三边长分别为a ,b,c,面积为S ,三边上的高分别为ha,hb,hc,外接圆的圆心为O ,且O到三边的距离分别为ra,rb,rc,则根据点线距离的性质易得OA+ra ≥ha,即R+ra ≥ha,不等式的两边同乘以正数a ,得aR +ara ≥aha,即aR +ara ≥ 2S,(1 )同理可得bR+brb ≥ 2S ,(2 )cR+crc ≥ 2S ,(3 )(1 ) +(2 ) +(…     

一个定理的另证与推广

文[1]给出了如下定理： 定理△ABC的内切圆与BC,CA,AB依次相切于点D，E，F，圆心为I，BC=a，CA=b。AB=c。