On the suppression of the vorticity in an electrically conducting fluid by means of an applied magnetic field

Summary The aim of this work is to investigate the effects of the application of a transverse magnetic on a fluid capable to support electrical current. It has been supposed that the flow could be represented by the vorticity model of Stuart.It turns out that, when a suitable magnetic parameter exceeds a peculiar value, the vorticity tends to decay in the long run; at the same time the inflexions in the velocity profiles tend to disappear, becoming smoother and smoother. Consequently the majority of the velocity gradient inclines to be transferred to the wall.Finally this work analyzes the thin boundary layer originated near the wall because of the smoothing of the velocity profiles.

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Sommario Scopo di questo lavoro è lo studio degli effetti dell'applicazione di un campo magnetico trasversale su di una corrente di fluido conduttore di elettricità che segue nel suo moto il modello di vorticità di Stuart. Si trova che, per valori sufficientemente grandi di un opportuno parametro magnetico, la vorticità tende a spegnersi nel tempo e i flessi nei profili di velocità tendono a smorzarsi, comportando un progressivo appiattimento nella forma di questi, con conseguente trasferimento a parete della maggior parte del gradiente di velocità.Viene inoltre studiato lo strato limite viscoso di limitato spessore che si forma a parete come conseguenza dell'appiattimento dei profili di velocità.

     

Normal and oblique collisions of a vortex ring with a wall

The oblique collision of a vortex ring with a solid wall, atRe=/=1389, has been analysed by the direct simulation of the Navier-Stokes equations in Cartesian coordinates. In accordance with a previous experimental study [1], the secondary vorticity produced at the wall is organized into a loop-like vortex in the region of the ring furthest away from the wall. As the ring approaches the wall, the region closest is subjected to a high rate of stretching which increases the vorticity in the core. The vorticity gradients along the core generate bi-helical vortex lines continually displaced towards the region of the ring furthest away from the wall. The analysis of the vorticity and straining fields revealed that the pressure gradient along the core is responsible for the convective motion that displaces these vortex lines and accumulates secondary vorticity in the region far from the wall. This vorticity rolls up and forms a secondary structure which by self-induction moves away from the wall.The fundamental role of the differential stretching has been demonstrated by comparing the case of oblique collision with that of normal collision and with the collision of a two-dimensional vortex pair with an oblique wall.

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Sommario L'interazione di un vortice ad anello con una parete obliqua, aRe=1389, è stata analizzata mediante la simulazione diretta delle equazioni di Navier-Stokes in coordinate cartesiane. In accordo con un precedente esperimento [1] è stato evidenziato che la vorticità secondaria, prodotta alla parete, si organizza in una strutura vorticosa a loop nella regione dell'anello più lontana dalla parete. Quando il vortice si avvicina alla parete, la parte più vicina è soggetta ad un'elevata deformazione che aumenta il valore della vorticità nel core. La distribuzione non uniforme di vorticità lungo il core del vortice genera delle linee di vorticità elicoidali che vengono transportate verso la regione dell'anello più lontana dalla parete. L'analisi dei campi di vorticità e di deformazione ha rivelato che il gradiente di pressione, dovuto al campo di deformazione non uniforme lungo il core del vortice, è responsabile di un moto convettivo che trasporta le linee di vorticità ed accumula la vorticità secondaria nella regione del vortice più lontana dalla parete, dove la struttura secondaria viene generata.Il ruolo fondamentale della deformazione non uniforme è stato evidenziato mediante il confronto della collisione obliqua coni casi di collisione normale e di collisione di una coppia di vortici bidimensionali con una parete obliqua.

     

Extension of Von Karman ansatz to magnetohydrodynamics

Summary The steady-state axisymmetric motion of an incompressible viscous conducting fluid is studied in the framework of the magnetohydrodynamical model. An ansatz is introduced on the radial dependences of the velocity and magnetic fields, which extends the one used by Von Kármán in the purely hydrodynamical case. It is shown how the extended ansatz can be characterized much in the same way as in hydrodynamics and how it reduces the magnetohydrodynamical system of partial differential equations to a system of ordinary differential equations. The solutions of these equations can be found in exact form in some simplified situations, while, in the general case, numerical approximation methods seem to be the only successful solution procedures.

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Sommario Il moto stazionario a simmetria assiale di un fluido conduttore viscoso incomprimibile viene studiato nell'ambito del modello magnetoidrodinamico. In esso vengono introdotte delle ipotesi sulla dipendenza radiale del campo di velocità e del campo magnetico, ipotesi che costituiscono una estensione di quelle introdotte da Von Kármán nel caso puramente idrodinamico. Si dimostra come anche in magnetoidrodinamica l'ansatz di Von Kármán sia suscet-tibile di una caratterizzazione molto simile a quella nota per l'idrodinamica e come, inoltre, riduca il sistema di equazioni alle derivate parziali, che sono alla base del modello, ad un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Soluzioni di tali equazioni possono essere trovate in forma analitica in alcune situazioni semplificate, mentre, nel caso generale, metodi di approssimazione numerica sembrano costituire le uniche procedure di risoluzione in grado di fornire dei risultati.

     

Absence of turbulence in a unidimensional model of fluid motion (Burgers model)

Summary We study a quasilinear partial differential equation which is a classical unidimensional model of fluid motion (Burgers equation). We consider the problem in a finite interval with stationary boundary conditions. The aim is to see whether the model shows transitions in the asymptotic behaviour as viscosity varies. We show that there is always a unique stationary solution, which is explicitely exhibited, and, by using the Hopf-Cole transformation, that it is globally attractive for any value of the viscosity, both in the homogeneous and inhomogeneous case.

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Sommario In questo lavoro si considera un classico modello unidimensionale della fluidodinamica, consistente in un'equazione alle derivate parziali parabolica quasilineare (equazione di Burgers). Si considera il problema in un intervallo con condizioni al contorno stazionarie. L'intento è quello di indagare se il modello presenta transizioni nel comportamento asintotico al variare della viscosità. Facendo uso della trasformazione di Hopf-Cole si trova che la soluzione stazionaria (che viene calcolata esplicitamente) è globalmente attrattiva per ogni valore della viscosità, sia nel caso omogeneo che in presenza di una forza.

     

Numerical solution of the navier-stokes equations for a rotating fluid flow in a cylindrical pipe

Summary A numerical investigation of a viscous incompressible rotating fluid flow in a circular cylinder with a net axial flow rate is presented. The cylinder is opened at the bottom and closed at the top by an ideal porous rotating disk, through which the incoming fluid flows receiving an action of solid body rotation. This physical model has been chosen for a realistic representation of fluid direct prerotation which takes place in the suction pipe of a centrifugal pump. The flow field was solved by the direct solution of the complete Navier-Stokes equations for values of Reynolds tangential numberRe _t up to 5 000. The numerical results give a detailed and complete sight of the principal features of such kind of flow, and, compared with experimental results in the turbolence range ofRe _t. show a significant qualitative agreement. A comparison with previous numerical investigations of other authors about rotating fluids is reported.

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Sommario In questa nota si presenta uno studio numerico del moto di un fluido viscoso ed incomprimibile in un tubo cilindrico, chiuso in uscita da un disco ideale poroso rotante, che trascina e mantiene in rotazione il fluido che lo attraversa. Si è adottato il suddetto modello per rappresentare la prerotazione diretta che ha luogo nel tubo di aspirazione di una pompa centrifuga. Si è determinato il campo di velocità per via numerica attraverso la soluzione diretta delle equazioni di Navier-Stokes in forma completa fino a valori del numero di Reynolds tangenzialeRe _t pari a 5 000. I risultati numerici danno un quadro dettagliato e completo delle principali caratteristiche di tale tipo di flusso, e, confrontati con risultati sperimentali disponibili nel campo diRe _t turbolento, mostrano un significativo accordo qualitativo. Si riporta infine un confronto con i risultati di precedenti indagini numeriche sul moto di fluidi rotanti presenti in letteratura.

     

On the turbulent couette flow of an incompressible fluid with temperature-dependent viscosity

Summary Starting from energy and Navier-Stokes equations with temperature-dependent viscosity, we have obtained the Reynolds equations for the mean values of velocity, temperature and pressure. We have then applied these equations to the Couette flow; on the well-known hypothesis of mixing-length and Prandtl turbulent number, the above mentioned relations have been written in a more amenable form.Some general considerations concerning the reciprocal dependence between temperature and velocity gradients at wall have been deduced.Finally some solutions numerically obtained for several values of Reynolds number are given and discussed in some detail to point out the influence of the temperature-dependent viscosity.

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Sommario Introducendo nelle equazioni dell'energia e di Navier-Stokes le parti medie e fluttuanti della velocità, temperatura, pressione e viscosità, vengono ricavate le cosiddette equazioni di Reynolds, ossia le equazioni che descrivono i campi di velocità e temperatura medi. Dal confronto di quest'ultime, in cui la viscosità è considerata dipendente dalla temperatura, con quelle originarie di Reynolds si deduce la forma che nel caso in esame assumono gli sforzi apparenti.Successivamente le equazioni ottenute vengono applicate al moto a Couette e discusse, dopo aver introdotto in esse le ipotesi della lunghezza di miscelamento e del numero di Prandtl turbolento; da questa analisi vengono tratte alcune conclusioni di carattere generale riguardanti i legami tra il campo dinamico e quello termico. Infine vengono date alcune soluzioni ottenute per via numerica, le quali illustrano l'influenza che sulle distribuzioni di temperatura e velocità viene esercitata dalla dipendenza della viscosità dalla temperatura.

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Numerical solution of a pulsatile flow problem

Summary A numerical method, developed and used in previous work, is used to solve the Navier-Stokes equations for a two-dimensional incompressible flow in variable motion. A pulsatile flow through a pipe cross is studied to simulate blood flow in vascular aorto-renal junctions.

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Sommario In questo studio si è utilizzato uno schema numerico, già studiato e utilizzato in precedenti lavori, per risolvere le equazioni bidimensionali di Navier-Stokes per un fluido viscoso incomprimibile in un problema di moto vario. Nelle ipotesi di poter descrivere il moto fasico del sangue con il moto di un fluido viscoso newtoniano di opportuna viscosità, si è studiato il moto pulsante di questo fluido in due condotti raccordati per simulare il moto del sangue nel raccordo aorta-renale durante un ciclo temporale completo.

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Research carried out at Istituto di Idraulica del Politecnico di Milano, Milan, Italy.     

Vortex breakdown: Transition between bubble- and spiral-type breakdown

Depending on volume flux, flow visualizations in a water tunnel showed bubble-, spiral-type breakdown, and periodic transition between both. The initiation and development of bubble-type breakdown can be explained by a nonlinear feedback model. A growing asymmetry of the circumferential vorticity distribution leads to the transition to spiral-type. These conjectures are supported by experiments in which an artificially generated vortex ring induced initiation of bubble- and transition to spiral-type breakdown. To simulate vortex breakdown Navier-Stokes equations for three-dimensional, unsteady, and incompressible flows were solved. A comparison between experimental and numerical flow visualizations showed a good agreement.

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Sommario La visualizzazione del flusso in una galleria idrodinamica mostra, a seconda della portata volumetrica, una rottura delle linee vorticose di tipo a bolle, a spirale oppure una transizione periodica tra queste due. L'inizio ed il successivo sviluppo del fenomeno di rottura a bolla può venire spiegato attraverso un modello non lineare. Successivamente, all'aumentare dell'asimmetria nel profilo della vorticità circonferenziale, si ha la transizione alla rottura a spirale. Queste ipotesi vengono confermate dagli esperimenti in cui l'insorgere di ciascun tipo di rottura viene indotto attraverso un anello vorticoso generato artificalmente. Per analizzare il fenomeno della rottura delle linee vorticose sono state risolte le equazioni di Navier-Stokes per un flusso incomprimibile, tridimensionale, non stazionario. I risultati numerici ottenuti si sono mostrati in buon accordo con le visualizzazioni sperimentali.

     

Universal solutions and energy minimization in the saint-venant cylinder

In this paper we study the role played, from an energy view-point, by the explicit solution of Saint-Venant for a right circular cylinder. By taking into account a harmonic solution with constant divergence, we consider Maisonneuve's solution and investigate the assumptions under which the explicit solutions form a particular case.

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Sommario In questo lavoro si esamina, da un punto di vista energetico, il ruolo che le soluzioni esplicite di Saint-Venant hanno all'interno dell'intera classe di soluzioni equipollenti per un cilindro circolare retto. A tale scopo facendo riferimento alla soluzione ottenuta da Maisonneuve, che minimizza l'energia di deformazione nell'intera classe delle soluzioni equipollenti, si vuole studiare se esiste una intersezione non nulla tra la classe delle soluzioni di Maisonneuve e la classe delle soluzioni armoniche a divergenza costante.

     

Diffusion of a velocity discontinuity according to kinetic theory

Summary The problem of describing the smoothing out and diffusion of an initial velocity discontinuity is solved analytically by means of the linearized Bhatnager, Gross and Krook model of the Boltzmann equation. The solution is compared with previous approximate solutions and with the solution arising from a continuum treatment based on Navier-Stokes equations.

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Sommario Si risolve analiticamente per mezzo del modello linearizzato di Gross, Bhatnagar e Krook dell'equazione di Boltzmann, il problema dell'evoluzione temporale di una discontinuità iniziale di velocità.La soluzione che così si ottiene viene confrontata con precedenti soluzioni approssimate e con la soluzione ottenuta dalle equazioni di Navier-Stokes che descrivono macroscopicamente il fluido.

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Research developed in the frame of the activity of the CNR group for Fluid Dynamics at the Istituto di Scienze Fisiche dell'Università di Milano, Grant N. 02/100/5/2001.     

Interaction of an obliquely rising vortex ring with a free surface in a viscous fluid

A vortex ring, which approaches a free surface under various initial conditions and different values of flow parameters, is investigated by means of numerical solutions of the Navier-Stokes equations. The study focuses on the connection process of the vortex ring with the free surface at low Reynolds number. Discrepancies between a numerical solution and experimental observations found recently with regard to the shape of the reconnected vorticity tubes have been resolved. The crucial parameter, which determines the essential differences at the low Reynolds number selected, is the angle of inclination at which the vortex ring rises toward the free surface. At an angle of inclination of 20° circular vorticity tubes at the free surface evolve, while at an angle of 45° the reconnection takes place in the form of an almost circular sheet. At higher Reynolds number this form of reconnection may change to the other form through instability. The possibility of vortex-ring reflection at the free surface is discussed.

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Sommario Usando soluzioni numeriche delle equazioni di Navier-Stokes, viene analizzato il comportamento di un vortice and anello che si avvicina ad una superficie libera, per diverse condizioni iniziali e valori dei parametri del flusso. Lo studio è incentrato sul processo di connessione del vortice adnanello con la superficie libera per bassi numeri di Reynolds. con riguardo alla forma dei tubi di vorticità riconnessi con la superficie, tutte le differenze tra osservazioni sperimentali e simulazioni numeriche sono state risolte. Per bassi numeri di Reynolds, il parametro cruciale dell' interazione è l'angolo di inclinazione tra vortice e superficie. Per un angolo di 20° si formano tubi circolari di vorticità alla superficie, mentre a 45° la riconnessione ha luogo in forma di strato sottile di vorticità. Per altri numeri di Reynolds la forma della riconnessione può cambiare in altre forme a causa dell'instabilità. Infine viene discussa la possibilità di riflessione del vortice ad anello alla superficie.

     

Appropriate interpolation schemes for F.E. models of viscous incompressible flows

Summary A finite element model of the Navier-Stokes equations, based on low order (linear or constant) independent interpolations of the variables velocity, pressure and viscous stress, is presented. The influence of various interpolation schemes on the accuracy and the stability of the numerical solutions has been analysed. In particular the spurious short wavelength oscillations which usually deteriorate, also at low Reynolds numbers, the accuracy of F.E. models, have been eliminated by an appropriate combination of interpolation functions, performing as a F.D. staggered mesh.An upwind scheme, which is an F.E. analog of the well known upwind scheme in F.D., has been generated to overcome the stability limits at increasing Reynolds numbers.The presented discretization schemes have been applied to the classical driven cavity flow, quite generally adopted for testing new numerical models.

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Sommario Si presenta un modello agli elementi finiti per le equazioni di Navier-Stokes, basato su funzioni di interpolazione di basso grado (lineare o costante) e indipendenti per le variabili velocità pressione e sforzo viscoso. Lo scopo è di determinare l'influenza dei vari schemi di interpolazione sull'accuratezza e la stabilità delle soluzioni numeriche. In particolare le oscillazioni spurie di piccola lunghezza d'onda, che deteriorano l'accuratezza dei modelli agli elementi finiti, anche a bassi numeri di Reynolds, possono essere eliminate mediante una opportuna combinazione di funzioni di interpolazione per le diverse variabili, in modo da simulare uno sfasamento dei reticoli di discretizzazione. Si propone inoltre uno schema «upwind» analogo a quello ben noto nelle differenze finite, in grado di superare i limiti per il numero di Reynolds, dettati dai criteri di stabilità.Si sono applicati gli schemi presentati al caso di flusso di ricircolazione all'interno di una cavità con parete mobile, che viene usualmente preso in considerazione come caso di confronto per nuovi modelli di simulazione numerica.

     

A combustion problem in cylindrical and spherical symmetry

Summary We study a system of partial differential equations describing the behaviour of a perfect, viscous, polytropic, compressible, chemically reactive gas in a bounded container, under assumptions of cylindrical symmetry. The global existence in the time of a classical solution is proved by some a priori estimates. One extension at the spherical case is given.

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Sommario Si studia un sistema di equazioni a derivate parziali che descrive il comportamento di un gas perfetto, viscoso, politropico, comprimibile che reagisce chimicamente in un recipiente limitato, con simmetria cilindrica. Si prova I'esistenza globale nel tempo di una soluzione classica per mezzo di stime a priori. Si estende poi questo procedimento al caso delta simmetria sferica.

     

Transonic swirling flow in axisymmetric nozzles

Summary The transonic flow in axisymmetric choked nozzles is computed in the case of a radial distribution of tangential velocity. The flow configuration is obtained by means of a time-dependent technique. The swirling flow is achieved through a particular surface located at the inlet of the nozzle. The pressure distribution and the sonic line are presented for choked flows without or with swirling.

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Sommario Viene calcolato il flusso transonico in ugelli assialsimmetrici in condizione critica, nel caso di distribuzione radiale di velocità tangenziale.La soluzione è ottenuta numericamente tramite una tecnica instazionaria. Il flusso vorticoso viene creato attraverso una opportuna superficie all'ingresso dell'ugello. Vengono presentati i campi di pressione e la posizione della linea sonica per flussi critici, con e senza vortice.

     

A possible solution of a case of unsteady laminar plane flow for non-newtonian liquids

Summary After a few basic remarks on continuous media mechanics, equations of unsteady laminar flow for non-newtonian incompressible fluids are written; a solution for a particular plane flow (with zero hydraulic slope) is carried out, supposing that the components of the stress tensor T are polynomials in the components of the deformation rate tensor F. In particular if we adopt a cubic law, we recognize a second viscosity coefficient, which may be a positive or negative number; a way is then suggested for finding experimentally both viscosity coefficients of the fluid; a simple numerical example is also given.

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Sommario Dopo alcuni richiami sulla meccanica dei mezzi continui, si scrivono le equazioni del moto vario laminare per fluidi non newtoniani incomprimibili, e se ne trova la soluzione in un caso particolare di moto piano (a pendenza motrice nulla), supponendo di esprimere il legame fra le componenti del tensore degli sforzi T e quelle del tensore delle velocità di deformazione F con polinomi. Nel caso particolare di una legge cubica si presenta un secondo coefficiente di viscosità, positivo o negativo; si suggerisce allora un possibile metodo per determinare sperimentalmente il valore dei due coefficienti di viscosità del fluido, dando poi un semplice esempio numerico.

     

Numerical study of a viscous flow through a pipe orifice

Summary A numerical solution for a fluid motion in a circular pipe orifice is compared with experimental results. Knowledge of the velocity field allows us to find the pressure field. There is good agreement between the piezometric heads and head losses computed and those obtained in experiments.

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Sommario Si studia uno schema numerico per la soluzione delle equazioni di Navier-Stokes in un campo a simmetria assiale. I risultati del modello matematico di un processo di moto attraverso un diaframma inserito in una condotta rettilinea, vengono messi a confronto con quelli ottenuti mediante una installazione sperimentale; si constata una buona corrispondenza fra le diverse grandezze esaminate, tra le quali rivestono notevole importanza l'andamento della piezometrica lungo il condotto e l'entità delle perdite di carico localizzate.

     

Eddies development downstream a pipe orifice

Summary An extensive numeric and experimental investigation of the motion of a viscous fluid through an orifice yields the salient characteristics of the process for Reynolds numbers equal to or over the critical value at which turbulence originates downstream the obstacle. Through the results of the mathematical model and of the physical model the phenomena of emission of various eddies giving rise to instability of the laminar flow are identified. The rate of emission frequencies in the two models for given Reynolds number are in agreement.

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Sommario A conclusione di una vasta indagine numerica e sperimentale sul moto di un fluido viscoso attraverso un diaframma si individuano le più evidenti caratteristiche del processo per numeri di Reynolds pari o superiori a quello critico oltre il quale si origina la turbolenza a valle dell'ostacolo.Attraverso i risultati del modello matematico e del modello fisico si riconoscono distintamente i fenomeni di emissione di vortici che originano l'instabilità del regime laminare nella zona di espansione della corrente.Si confrontano infine positivamente le frequenze di emissione nei due modelli a parità del numero di Reynolds.

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A generalized semi-inverse method for the elastic cylinder

Summary This paper deals with a side-and-end traction loaded elastic cylinder in the presence of all the stress components. The solution obtained in potential stress function terms includes wall beam and uneven torsion problems.With the definition of the boundary problems concerning the potential stress functions and the determination of the constants involved in the problem, a generalization of the well-known Saint-Venant solution is obtainable. The relevant results of an uneven torsion subjected elliptic cross-section cylinder is being dealt with in the last section of the paper.

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Sommario In questa memoria è presentata una soluzione del problema del cilindro elastico, caricato anche sulla superficie laterale, che ammetta la presenza di tutte le componenti di tensione: tale soluzione, ottenuta in termini di funzioni potenziali delle tensioni, include, quali sue particolarizzazioni, il problema della trave parete e quello della torsione non uniforme.La definizione dei problemi al contorno sulle funzioni potenziali e la determinazione delle costanti coinvolte conduce ad una significativa generalizzazione della trattazione classica di Saint-Venant. In ultimo vengono riportati i risultati relativi allo studio del cilindro a sezione ellittica soggetto a torsione non uniforme.

     

The nonlinear evolution of swirling jets

We investigate the mechanisms of vorticity concentration, reorientation and stretching in a swirling jet, whose dynamics is dominated by the competition of a Kelvin-Helmholtz-type vortex sheet instability and a centrifugal Rayleigh instability. To this end, we employ an inviscid Lagrangian vortex filament technique. It is found that the axial jet velocity profile breaks the symmetry of the pure swirling flow. Conversely, the swirl is seen to modify the case dominated by a Kelvin-Helmholtz instability in that it results in the formation of counterrotating vortex rings. A pinch-off mechanism is observed which leads to a dramatic decrease in the local jet diameter. Furthermore, the vortex ring circulation is seen to be time dependent.

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Sommario In questo lavoro si analizza la dinamica della vorticità in un setto rotante in cui siano presenti, ed in competizione reciproca, fenomeni di instabilità di Kelvin-Helmholtz e di Rayleigh. A tale scopo si adotta una metodologia di soluzione non viscosa, Lagrangiana a filamenti vorticosi. Viene mostrato come il profilo di velocità assiale del getto altera la simmetria del moto di pura rotazione. Viceversa, la presenza della rotazione modifica il flusso dominato dall'instabilità di Kelvin-Helmholtz attraverso la formazione di anelli vorticosi controrotanti. L'interazione di questi due campi di velocità porta sia ad una considerevole riduzione del diametro locale del getto, sia ad una variazione temporale della circolazione degli anelli vorticosi.

     

Whirl and critical speeds of flywheel-container systems aboard vehicles

Summary Container-flywheel systems for road vehicles can be mounted in a variety of ways on the vehicle's body, thus allowing large or small displacements. In the case of steady precession kinematic conditions are here obtained for both large and small displacements. Dynamic analysis in the small displacement case is then tested against a complete nonlinear simulation model, previously used for studies on flywheel bus dynamics. Whirling and critical speeds are obtained and discussed.

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Sommario I sistemi contenitore-volano possono essere montati sui veicoli terrestri in vari modi, tali da permettere spostamenti relativi al veicolo più o meno grandi.Nel presente lavoro viene studiata la cinematica del moto precessionale uniforme, nel caso sia di grandi sia di piccoli spostamenti.Nel caso di piccoli spostamenti si ottiene una soluzione analitica per la dinamica precessionale del sistema; viene approfondito il caso della precessione sincrona concorde con la rotazione del volano, detta «velocità critica».La soluziòne analitica è verificata per confronto con la soluzione numerica effettuata mediante un modello non lineare a sei gradi di libertà.

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