概率密度演化方程TVD格式的自适应时间步长技术及其初值条件改进

随机性普遍存在于实际工程问题中,而复杂结构的非线性随机响应分析是其中的一个难点,近年发展的概率密度演化方法为此类问题的求解提供了新的途径.由于实际问题的复杂性,概率密度演化方程通常采用数值方法求解,因此提高计算效率和求解精度对实际应用具有重要意义.本文基于变网格技术,推导了概率密度演化方程在非均匀时间步长上的总变差减小(total variation diminishing,TVD)差分格式,算例结果表明通过自适应插值可将迭代次数减少为原来的43.4%,当随机过程样本持续时间增大时均值估计的平均误差基本不变,而标准差估计的平均误差不断增大,但增大幅度不断减小;计算耗时随样本持续时间的增大也呈增大趋势,而由于使用了时间步长自适应插值算法导致有些情况下长持时样本的计算耗时反而比短持时样本的计算耗时短;在传统的脉冲函数型初值条件基础上,提出了一种高阶导数更稳定的余弦函数型初值条件形式.结果表明,脉冲函数型的初值条件是余弦函数型初值条件的一个特例,当参数取值适当时,余弦函数型初值条件的数值求解结果具有更高的精度.本文的工作进一步完善了概率密度演化方程的求解方法,为其在实际工程中的应用提供了基础.     

非线性随机结构动力可靠度的密度演化方法

建议了一类新的非线性随机结构动力可靠度分析方法。基于非线性随机结构反应分析的概率密度演化方法,根据首次超越破坏准则对概率密度演化方程施加相应的边界条件,求解带有初、边值条件的概率密度演化方程,可以给出非线性随机结构的动力可靠度。研究了数值计算技术,建议了具有自适应功能的TVD差分格式。以具有双线型恢复力性质的8层框架结构为例进行了地震作用下的动力可靠度分析,与随机模拟结果的比较表明,所建议的方法具有较高的精度和效率。     

三类随机系统广义概率密度演化方程的解析解

近年来逐步发展的概率密度演化方法理论为随机动力系统的分析与控制研究提供了新的途径.过去若干年来,已经发展了一系列数值方法如有限差分法、无网格法用于求解广义概率密度演化方程.但是,针对典型随机系统,关于这一方程解析解尚比较缺乏.本文以李群方法为工具,研究给出了Van der Pol振子、Riccati方程和Helmholtz振子3类典型随机非线性系统的广义概率密度演化方程解析解.这些结果,不仅可以作为检验求解广义概率密度演化方程的数值方法结果正确性的判别依据,也为概率密度演化理论的进一步深入研究提供了若干分析实例.      

随机过程的概率密度函数估计

从概率密度演化理论的基本思想出发,发展了随机过程一维概率密度函数估计的新方法。以独立获取的各随机过程样本作为随机过程的代表性时程,通过求解广义密度演化方程,获得了随机过程的一维概率密度函数及其均值与标准差过程。以脉动风速随机过程的统计为例,进行了风速时程的概率密度函数估计,为认识随机过程的概率结构提供了新的可能。     

基于概率密度演化方法的地下结构可靠度分析

本文提出基于概率密度演化方法的地下结构可靠度分析,通过求解极限状态函数的概率密度演化方程,可以得到响应量的概率密度函数曲线.相比于传统的随机模拟方法,概率密度演化方法考虑了样本点之间的概率联系,因此在求解效率以及精度上都得到大大提高.文中结合上海市轨道交通M6线地铁下程进行了基于概率密度演化方法的可靠度分析,与随机模拟的结果相比表明,基于概率密度演化方法的地下结构可靠度分析方法具有更好的效果.文中还介绍了基于等价极值事件的结构体系可靠度分析方法,并将等价极值事件的基本思想推广到复杂失效准则下地下结构的可靠性分析之中.结果表明此方法可以对地下结构可靠度给出较为准确的评价.     

等步长高次多项式插值加速度法的局限性

动力时程分析中,在几个相邻的等长时间步之间对加速度的变化规律用多项式插值来描叙,经过推导可求解得到整个时间域上的动力方程的解答.根据泰勒展开原理分析表明,随着所取多项式次数的增加,收敛精度增高,计算步长适当放大,截断误差仍能在容许的范围之内.但是随着所取多项式次数增大,其算法的稳定域减少, 计算步长受到了此小稳定域的限制,收敛精度不再是所取计算步长宽度的决定因素,稳定域大小成了所取计算步长宽度的决定因素.因为一旦步长超出了此小稳定域范围,虽然在每个时间步内的截断误差不大,其传递的误差却会被放大到很多倍,最后导致计算结果严重失真.分析结果显示,多项式插值次数采用到步长的三次时,与一次多项式插值(对应线性加速度法)和二次多项式插值(对应二次加速度法)的分析方法相比,算法的稳定域急剧变窄,为h/T≤0.0099(h为计算步长,T为结构的固有周期),此小稳定域限制了计算步长的选择范围,其收敛精度很高因此可放大计算步长的优势无法施展.本文推导了三次加速度法的求解过程,进行了一个理想单自由度系统的动力时程分析计算,验证了结论的正确性.表明同时考虑收敛精度和稳定域来确定计算步长的宽度时,二次加速度法为优.     

亚网格尺度稳定化有限元求解不可压黏性流动

从亚网格尺度稳定化方法的基本原理出发, 提出了适合时间推进求解非定常Navier-Stokes方程获得定常解的SGS稳定化方法. 基于一定程度的近似和简化, 获得了与时间步长相关的稳定化参数, 从而排除了传统SGS稳定化方法在求解高Re数、小时间步长问题时所引发的数值不稳定性. 把SGS稳定化方法应用于求解不可压湍流, 结合标准k-\varepsilon湍流模型和壁面函数法估计湍流黏性系数, 详细讨论了壁面函数法的实施、湍流输运方程的求解和保证湍流变量非负性的限制策略, 发展了时间推进求解不可压湍流的分离式算法. 二维外掠后台阶层流和湍流计算结果表明,该方法求解不可压黏性流动是可行的, 并且具有稳定性好、计算精度高的特点.      

硬球加强模型在CFD-DEM耦合计算中的验证与分析

针对CFD-DEM耦合计算中,颗粒计算时间步的选取影响颗粒碰撞计算精度和效率的问题。本文引入插值算法,将动量定理求解颗粒碰撞前后速度进行加权平均;根据弹性理论计算得到颗粒碰撞力,进行动力学方程求解;通过速度收敛准则修正初值速度并自动调整迭代求解次数,提出一种计算精度不受计算时间步长影响,无需对碰撞过程进行精细描述的高效率和高精度的加强硬球模型。对两个颗粒匀和变速碰撞算例进行数值模拟,碰撞后速度、碰撞力和碰撞时间与理论计算误差小于4%,与采用软球碰撞模型的DEM方法相比,颗粒碰撞计算精度不受计算时间步长影响,计算效率提高36.3%和36.8%。对单个颗粒在静水中沉降进行数值模拟,计算步长取10 s～5 s,颗粒与壁面即可得到精确解,计算效率提高33.5%。通过压力损失实验验证了该模型能够准确计算颗粒体积分数小于12%条件下两相流的压力损失。     

含高阶余项的非线性动力系统数值计算法

建立了一种求解非线性动力系统高精度数值计算的新方法,重构了等价的非线性动力系统方程,该方程考虑了非线性函数的任意高阶项,并给出了该方程的Duhamel积分表达式,在时间步长内用Newton-Raphson法进行数值迭代求解,该方法能连续满足微分方程而不只是在离散的步长端点满足方程,从而打破了传统的Euler型有限差分法。计算实例表明,该方法计算精度高于传统的Runge-Kutta,Newmark-β和Wilson-θ等方法。     

基于平均值定理和点积分方案的自然单元法及其程序实现

自然单元法是一种基于自然邻接点插值求解偏微分方程的无网格数值方法.它使用Voronoi图或Delaunay三角形作为背景积分网格,使用几何测度构造插值点形函数并形成刚度矩阵.平均值定理定义在未知函数定义域内任何球心(或圆心)的值等于球面(或圆周)上值的平均或加权平均,对于未知函数所满足的平衡方程是充分必要的.因此用平均值定理和点积分方案将求解域内平均应变值由散度定理转化为区域周界上的环路积分,改进传统的积分格式.算例表明,这一积分方案能进一步精简计算量和提高计算效率,是一种自适应的数值计算方法.     

Buckling reliability evaluation of a clamped beam with random imperfections subjected to axial impact using probability density evolution method

Based on the generalized probability density evolution theory, the joint probability density function of impact responses and random factors, that is, random initial imperfection and load intensity for a clamped beam, is derived. And a Total Variation Diminishing (TVD)-based numerical scheme is employed to obtain the numerical solutions. With given threshold values, the dynamic reliability is assessed in terms of a bilateral displacement criterion. Two numerical examples are then presented to demonstrate the proposed method. One is a clamped beam with random initial perfections subjected to a deterministic impulse load, and another is a clamped beam with a deterministic initial imperfection subjected to impact loading with a random amplitude. The predicted dynamic reliability is in good agreement with the result by Monte Carlo method.     

A Non-Adiabatic Flamelet Progress�CVariable Approach for LES of Turbulent Premixed Flames

A progress variable/flame surface density/probability density function method has been employed for a Large Eddy Simulation of a CH₄/Air turbulent premixed bluff body flame. In particular, both mean and variance of the progress variable are transported and subgrid spatially filtered gradient contributes to model the flame surface density (that introduces the effect of the subgrid flame reaction zone) and to presume a probability density function (that introduces the effect of subgrid fluctuations on chemistry). Chemistry is preliminarly tabulated in terms of laminar premixed flames and enthalpy is included as a new coordinate in their tabulation to take into account heat losses in the flowfield. Then, the PDF is used to build a turbulent flamelet library. The filtered mass, momentum, enthalpy and scalar equations mentioned above are integrated by an explicit scheme using finite differences, 2nd?Corder accurate in space and third order in time, over a cylindrical non-uniform grid using a staggered mesh. The bluff-body geometry is modelled by using the Immersed Boundary Method. The numerical predictions are compared with the available experimental data.     

Relaxation system based sub-grid scale modelling for large eddy simulation of Burgers' equation

An implicit sub-grid scale model for large eddy simulation is presented by utilising the concept of a relaxation system for one dimensional Burgers' equation in a novel way. The Burgers' equation is solved for three different unsteady flow situations by varying the ratio of relaxation parameter (ε) to time step. The coarse mesh results obtained with a relaxation scheme are compared with the filtered DNS solution of the same problem on a fine mesh using a fourth-order CWENO discretisation in space and third-order TVD Runge-Kutta discretisation in time. The numerical solutions obtained through the relaxation system have the same order of accuracy in space and time and they closely match with the filtered DNS solutions.     

非均布随机参数结构非线性响应的概率密度演化

首先考察了概率密度演化理论中的点演化和群演化与概率空间剖分的关系. 继而,讨论了点集筛选的基本准则. 在此基础上推广了点集偏差的概念,对非均匀、非正态的一般多维分布,提出了广义F 偏差（GF 偏差）的概念,避免了偏差计算的NP 难解问题. 探索了GF 偏差与EF 偏差的关系. 以GF 偏差最小化为准则,建议了概率空间最优剖分与点集重整的新策略. 结果表明,上述方法能够处理包含多达数10 个随机变量的结构动力响应概率密度演化分析问题. 最后,指出了需要进一步研究的问题.      

非均布随机参数结构非线性响应的概率密度演化简

首先考察了概率密度演化理论中的点演化和群演化与概率空间剖分的关系. 继而,讨论了点集筛选的基本准则. 在此基础上推广了点集偏差的概念,对非均匀、非正态的一般多维分布,提出了广义F 偏差（GF 偏差）的概念,避免了偏差计算的NP 难解问题. 探索了GF 偏差与EF 偏差的关系. 以GF 偏差最小化为准则,建议了概率空间最优剖分与点集重整的新策略. 结果表明,上述方法能够处理包含多达数10 个随机变量的结构动力响应概率密度演化分析问题. 最后,指出了需要进一步研究的问题.     

结构动力非线性随机反应的联合概率分布

在密度演化理论基本思想的框架下，对广义密度 演化方程进行推广，导出了结构不同反应量的联合概率密度函数演化方程. 结合确定性结构 非线性动力反应分析与二维偏微分方程求解的有限差分方法，可以获取结构不同反应量的联 合概率密度函数的数值解答. 分析实例表明：结构反应的联合概率密度函数呈丘陵状不规则 分布，而不同反应量之间的相关系数是时变的.     

Positivity‐preserving,flux‐limited finite‐difference and finite‐element methods for reactive transport

A new class of positivity‐preserving, flux‐limited finite‐difference and Petrov–Galerkin (PG) finite‐element methods are devised for reactive transport problems.The methods are similar to classical TVD flux‐limited schemes with the main difference being that the flux‐limiter constraint is designed to preserve positivity for problems involving diffusion and reaction. In the finite‐element formulation, we also consider the effect of numerical quadrature in the lumped and consistent mass matrix forms on the positivity‐preserving property. Analysis of the latter scheme shows that positivity‐preserving solutions of the resulting difference equations can only be guaranteed if the flux‐limited scheme is both implicit and satisfies an additional lower‐bound condition on time‐step size. We show that this condition also applies to standard Galerkin linear finite‐element approximations to the linear diffusion equation. Numerical experiments are provided to demonstrate the behavior of the methods and confirm the theoretical conditions on time‐step size, mesh spacing, and flux limiting for transport problems with and without nonlinear reaction. Copyright © 2003 John Wiley & Sons, Ltd.     

非线性双曲型守恒律的两步二阶TVD差分格式

通过Mac Cormack格式和Warming-Beam的结合,构造了一种非常简单的两步二阶TVD差分格式,该差分格式更适合于使用分量形式差分计算而无须对欧拉方程组进行特征解耦。通过对流体力学方程组的大量数值试验,并与二阶ENO格式进行了比较,充分显示了该格式高精度、高分辨并且极其简单的优良特性。     

一个基于非均匀网格上的二阶基本振荡差分格式

在基本无振荡格式的构造中，将通常的对流通量f的逼近方式推广到对通量导数的逼近，这一构造方法可以有效地应用到非均匀或非结构网格。直接基于非均匀网格上，构造了一个二阶的基本无振荡（ENO）差分格式，该格式具有形式简单，对网格的划分灵活，对传统格式相比不增加计算量等优点，几个数值算例证明了格式的有效性。