现代手持教育技术支持下的数学实验探究——圆锥曲线焦点弦的一种性质

信息技术影响了数学的研究方法.今天,数学实验已成为研究数学的重要方法.著名数学教育家G·波利亚曾指出:“数学有两个侧面,一方面它是欧几里得式的严谨的科学,从这个方面看数学象是一门系统的演绎科学;但另一方面,创造过程中的数学,看起来却象一门实验性的归纳科学.”他还更具体地指出:“数学的创造过程与任何其它知识的创造过程是一样的.在证明一个数学定理之前,你先得猜测这个定理的内容,在你完全作出详细证明之前,你先得推测证明的思路,你先得把观察到的结果进行综合然后加以类比,你先得一次又一次的进行尝试.”这就是说,数学的发现与…     

对正整数立方和公式推导的赏析

数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个数学定理之前,先得猜测这个定理的内容;在完成详细的证明之前,先得推测证明的思路,创造是一个艰苦曲折的过程,数学家创造性的工作是论证推理,即证明,但这个证明是通过合情推理,通过猜想而发现的．     

运用数学猜想 提高解题能力

<正>著名数学教育家波利亚曾说过:"在你证明一个数学定理之前,你必须猜想到这个定理,在你搞清楚证明细节之前,你必须猜想出证明的主导思想."猜想是一种创造性思维方式.数学猜想是人们在已有知识经验的基础上对数学问题进行直觉试探,从而形成某种假设的一种抽象思维活动.实践经验表明:在数学     

待定性数学猜想及其在数学教学中的应用

本文讲述:什么是待定性数学猜想?它在数学教学中有什么应用?1什么是待定性数学猜想鼓励学生大胆猜想、独立探索,是培养学生探索精神和探究能力的重要途径.在数学教学中,我们发现,虽然所有数学猜想的正确性都有待检验和证明,但数学猜想可以分为两类:确定性数学猜想和待定性数学猜想.     

神奇的数字——关于n55n55中的规律的一个猜想

本文作者善于观察并从中寻找规律,加以验证,这样的过程对于我们的数学学习是很有益处的,邹可飞同学在获得结论过程中用到了归纳的方法,并以特殊值验证自己的推测,但要想真正确认结论的正确性,还需要进行一般性的证明.在得到证明之前,该结论只能称作猜想.如果尚未有别人发现,我们可以称它为"邹可飞猜想".邹同学的这种探究精神是值得我们学习的.     

三棱锥体积公式引入的教学设计

设计目的三棱锥体积公式的证明,按课本的证明方法去讲,不能体现证明方法的一种合理的发现过程,定理证明的教育功能得不到应有的发挥,不利于培养学生的创造意识与创造能力．类比思维是一种创造性思维,尽管由类比所得的结论不一定正确,但对发展学生的创造性思维有重要作用．著名数学家波利亚指出：“只要数学的学习过程稍能反映出数学发明的过程,那么就应让猜想合情合理地占有适当的位置．”基于此,本课例的设计立足于运用类比思维,     

中考数学猜想题例说

数学家弗赖登塔尔说 :“真正的数学家常常借数学的直觉思维作出各种猜想 ,然后加以证实的 .猜想是一种探索性活动 ,具有一定的规律和方法 ,在探索中 ,这些规律和思维方法的实践与邻悟 ,必然会对学生智能的开发和数学思维的发展具有重要的推进作用 .”由此可见 ,数学猜想是数学发展的源动力 ,是解决数学问题的先行军 .数学就在不断的证明或否定猜想的过程中得到发展 .数学猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等 ,依据已有的材料和知识作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维形式 .(任樟辉著《数学思…     

关于数学归纳法的说课

1教材的地位和作用数学归纳法的地位和作用主要体现在以下3个方面:1.1中学数学中的许多重要结论,如等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式,二项式定理都可以利用数学归纳法进行证明.在实际问题中,由归纳、猜想得出的一些与正整数有关的数学命题,通过用数学归纳法加以证明,可以使学生对有关知识的认识更加深入,理解更加透彻.1.2运用数学归纳法可以证明许多数学命题,通过这些数学命题的证明,既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的良好训练.1.3数学归纳法在今后的数学学习过程中经常用到,它是很重要的一种数学工具.因此,掌握数…     

HPM视角下正弦定理教学案例研究

在HPM的视角下对“正弦定理”进行教学设计,以数学史料为主线,通过问题驱动学生思考,让学生在课堂中经历正弦定理证明的演进过程.运用数学史料为学生探究数学、理解数学提供了空间,让学生发挥了主观能动性,体验数学创造与发展的过程.     

对一个定理和一个法则证明的教学管见

一、关于实系数一元n次方程虚根成对定理证明的教学。通用高中《数学》第三册103页给出了这个定理,课本上是这样叙述的:“还可以证明:如果虚数a+bi是实系数一元n次方程f(x)=0的根,那么它的共轭虚数a-bi也是这个方程的根。”但课本中却没有给出这这个定理的证明。是不是这个定理的证明学生无能力接受呢?回答是否定的。这个定理用学生学过的复数知识完全可以获得证明,而且学生还有能力来推导出这个定理的证明。据此,我认为应引导学生来证明这个定理,这样不但能使学生知其然,还能知其所以然,从而使学生把这个定理学得牢固,用得踏实。另外通过对定理的证明还可对前面学习过的复数知识进行复习和应用。实践证明、所达效果不出所料。     

台球中的数学

高斯说过,数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏得极深.数学是科学之王.确实,在我们的生活中数学无处不在,就连小小的台球桌上都有数学问题,先来介绍一下台球中的反射原理.     

105直线与平面垂直的判定定理的发现

主持人按　你知道伊姆雷 .拉卡托斯的《证明与反驳——数学发现的逻辑》这本书吗 ?你读过他的案例分析及他的关于正多面体欧拉公式 (V - E F= 2 )的猜想与发现、证明与反驳的过程的全景式的描述吗 ?那是他花了五个年头的调查得来的两个数学案例之一 ,分析得真是太精彩了 ,是真     

一个不等式猜想的证明及推广之注记

在最近的文章[一个不等式猜想的证明及推广.大学数学,2018,34(3):99-102]中,作者给出了三个定理并利用Jensen不等式证明了两个等价不等式及其推广形式.本注记说明作者的证明过程有误,并指出作者文章给出的三个定理中有两个定理是不成立的.     

例说数学猜想与创造思维的培养

数学猜想是数学中合情的推理,是数学发展的动力,是数学证明的前提,只有对数学问题的猜想,才会激发学生解决问题的兴趣,启迪学生的创造思维,从而发现问题,解决问题.著名     

一个定理证明引发的思考

三角形中位线定理不仅大家耳熟能祥,并且对于它的证明也了如指掌.但是,你是否对证明做进一步的思考呢? 为了下文说明方便,我们先简单回顾一下三角形中位线定理的证明:如图1,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于F,得平行四边形BCFD,再证△ADE≌△CFE,从而得结论.这个证明实际上是采用了“割补法”,把一个三角形     

让数学教育体现更多的人文关怀——高中学生写数学周记的尝试与思考

公式、定理、符号;计算、推理、证明……在长期的数学教育中,学生感到的是单调,乏味,枯燥,老师教得苦,学生学得苦.作为教师我们应该反思这样的问题:在关注我们的学科、关注我们的教学的同时,有没有关注我们的教育对象——学生的感受?有没有关注学生的心灵世界?有没有关注学生的     

探索与猜想能力的培养途径初探

“探索是教学的生命线”,引导学生探索与猜想,是把加强基础、培养能力、发展智力统一起来的有效措施,教师应当想方设法为学生创设各种有利条件,让他们去探索、去猜想,在探索猜想中掌握知识,在探索猜想中培养能力、发展智力。本文旨在提出几种培养学生探索与猜想能力的途径与读者探讨。一、在学习新知识中大胆培养探索与猜想能力当前数学课堂教学的一个通病是,只注重数学结论的证明和应用,而轻视其探索发现的过程,这样做对培养学生的思维能力和创造精神是不利的,我们应当从学生接受能力的实际出发,在备课中对结论的探     

提高例、习题教学的思维含量

“中国的大学为何培养不出顶尖人才?”这是“航天之父”钱学森临走前最忧心的问题.作为基础教育者,不禁要思考:我们的中学课堂,能否淡化应试,在培养学生思维上下一番功夫,为国家培养顶尖人才做好储备?数学教学实质上是学生在教师指导下,进行数学思维活动,发展数学思维.数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般思维规律认识数学规律的思维过程. 初中数学课标(2011年)对数学思维提出的教学要求为建立初步的数感和符号感,发展抽象思维和形象思维;经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力.而教学现状不容乐观,不少教师仅关注学生知识的掌握情况,不关心他们思维能力的培养.笔者提倡在例、习题教学中提高思维含量,是指对课本例、习题进行改编、整合,引导学生对问题进行分析综合、抽象概括、类比猜想、演绎推理、质疑提问、逆向思考、严谨表述等.笔者以两个教学案例为例进行论述.     

“正弦定理(第1课时)”教学设计与反思

<正>一、教学背景(一)教学内容分析本节内容安排在苏教版数学必修5第一章,"正弦定理"第1课时,是在高一学生学习了三角等知识之后,是对三角知识的应用;同时,它作为三角形中的一个定理,也是对初中解直角三角形内容的直接延伸,因而定理本身的应用十分广泛.实际教学中,"正弦定理"这部分内容共分为三个层次.第一层次,教师引导学生对实际问题进行探索,并大胆提出猜想.第二层次由猜想人手,带着疑问,以及特殊三角形中边角的关系的验证,通过"作高法"、"等积法"、"外接圆法"、"向量法"等多种方法证明正弦定理,验证猜想的正确性,并得到三角形面积公式.第三层次利用正弦定理解决引例,最后进行     

2013年中考专题复习(15)——“图形与证明”

【考点聚焦】图形与证明是空间与图形的核心内容之一,课标要求学生掌握基本的图形基础知识与基本技能;了解证明的含义,掌握证明的方法,体会证明的过程;能把所学的公理、定理和基本事实正确运用到证明的过程中,在合情推理的基础上发展初步的演绎推理能力;初步通过观察、实验、归纳、类比、推测获得数学猜想,体验数学活动充满着探索性和创造性,感受证明的必要性、证明过程的严谨性及结论的稳定性,它贯穿在整个