On the existence and smoothness of a generalized solution of a nonlinear differential equation with degeneration

Let Ω be an arbitrary open set in R _n , and let σ(x) and g _i (x), i = 1, 2, ..., n, be positive functions in Ω. We prove a embedding theorem of different metrics for the spaces W _p ^r (Ω, σ, $ \vec g $ ), where r ∈ N, p ≥ 1, and $ \vec g $ (x) = (g ₁(x), g ₂(x), ..., g _n (x)), with the norm $$ \left\| {u;W_p^r (\Omega ;\sigma ,\vec g)} \right\| = \left\{ {\left\| {u;L_{p,r}^r (\Omega ;\sigma ,\vec g)} \right\|^p + \left\| {u;L_{p,r}^0 (\Omega ;\sigma ,\vec g)} \right\|^p } \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 p}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} p}} , $$ where $$ \left\| {u;L_{p,r}^m (\Omega ;\sigma ,\vec g)} \right\| = \left\{ {\sum\limits_{\left| k \right| = m} {\int\limits_\Omega {(\sigma (x)g_1^{k_1 - r} (x)g_2^{k_2 - r} (x) \cdots g_n^{k_n - r} (x)\left| {u^{(k)} (x)} \right|)^p dx} } } \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 p}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} p}} , $$ We use this theorem to prove the existence and uniqueness of a minimizing element U(x) ∈ W _p ^r (Ω, σ, $ \vec g $ ) for the functional $$ \Phi (u) = \sum\limits_{\left| k \right| \leqslant r} {\frac{1} {{p_k }}\int\limits_\Omega {a_k (x)} \left| {u^{(k)} (x)} \right|^{p_k } } dx - \left\langle {F,u} \right\rangle , $$ where F is a given functional. We show that the function U(x) is a generalized solution of the corresponding nonlinear differential equation. For the case in which Ω is bounded, we study the differential properties of the generalized solution depending on the smoothness of the coefficients and the right-hand side of the equation.     

An inverse problem of the three-dimensional wave equation for a general annular vibrating membrane with piecewise smooth boundary conditions

This paper deals with the very interesting problem about the influence of piecewise smooth boundary conditions on the distribution of the eigenvalues of the negative Laplacian inR ³. The asymptotic expansion of the trace of the wave operator $\widehat\mu (t) = \sum\limits_{\upsilon = 1}^\infty {\exp \left( { - it\mu _\upsilon ^{1/2} } \right)} $ for small ?t? and $i = \sqrt { - 1} $ , where $\{ \mu _\nu \} _{\nu = 1}^\infty $ are the eigenvalues of the negative Laplacian $ - \nabla ^2 = - \sum\limits_{k = 1}^3 {\left( {\frac{\partial }{{\partial x^k }}} \right)} ^2 $ in the (x ¹,x ²,x ³), is studied for an annular vibrating membrane Ω inR ³ together with its smooth inner boundary surfaceS ₁ and its smooth outer boundary surfaceS ₂. In the present paper, a finite number of Dirichlet, Neumann and Robin boundary conditions on the piecewise smooth componentsS ^* _i(i=1, …,m) ofS ₁ and on the piecewise smooth componentsS ^* _i(i=m+1, …,n) ofS ₂ such that $S_1 = \bigcup\limits_{i = 1}^m {S_i^* } $ and $S_2 = \bigcup\limits_{i = m + 1}^n {S_i^* } $ are considered. The basic problem is to extract information on the geometry of the annular vibrating membrane ω from complete knowledge of its eigenvalues by analyzing the asymptotic expansions of the spectral function $\widehat\mu (t)$ for small ?t?.     

On the uniqueness of symmetric bases in finite dimensional Banach spaces

Suppose{e _i} _i=1 ⁿ and{f _i} _i=1 ⁿ are symmetric bases of the Banach spacesE andF. Letd(E,F)≦C andd(E,l _n ² )≧n' for somer>0. Then there is a constantC _r=C_r(C)>0 such that for alla _i∈Ri=1,...,n $$C_r^{ - 1} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i e_i } } \right\| \leqq \left\| {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i f_i } } \right\| \leqq C_r \left\| {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i e_i } } \right\|$$ We also give a partial uniqueness of unconditional bases under more restrictive conditions.     

Zolotarev's first problem — the best approximation by polynomials of degree ≤n − 2 tox n − nσx n−1 in [−1, 1]

Chebyshev determined $$\mathop {\min }\limits_{(a)} \mathop {\max }\limits_{ - 1 \le x \le 1} |x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots + a_n |$$ as 2^1?n , which is attained when the polynomial is 2^1?n T _n(x), whereT _n(x) = cos(n arc cosx). Zolotarev's First Problem is to determine $$\mathop {\min }\limits_{(a)} \mathop {\max }\limits_{ - 1 \le x \le 1} |x^n - n\sigma x^{n - 1} + a_2 x^{n - 2} + \cdots + a_n |$$ as a function ofn and the parameter σ and to find the extremal polynomials. He solved this in 1878. Another discussion was given by Achieser in 1928, and another by Erdös and Szegö in 1942. The case when 0≤|σ|≤ tan²(π/2n) is quite simple, but that for |σ|> tan²(π/2n) is quite different and very complicated. We give two new versions of the proof and discuss the change in character of the solution. Both make use of the Equal Ripple Theorem.     

Precise asymptotics of complete moment convergence on moving average

Let {ξi,-∞i∞} be a doubly infinite sequence of identically distributed-mixing random variables with zero means and finite variances,{ai,-∞i∞} be an absolutely summable sequence of real numbers and X k =∑i=-∞+∞ aiξi+k be a moving average process.Under some proper moment conditions,the precise asymptotics are established for     

Differential properties and Fourier coefficients of functions of λ-bounded variation

пУстьλ={λ _i} _i=1 ^∞ —пОслЕ ДОВАтЕльНОсть ВЕЩЕс тВЕННых ЧИсЕл сλ _i↑∞ Иλ ^m={λ_т+ i} _i=0 ^∞ . РАссМАтРМВАУтсь 2π-пЕ РИОДИЧЕскИЕ ФУНкцИИ, Дль кОтОРых $$V_\Lambda (f) = \mathop {\sup }\limits_x \mathop {\mathop {\sup }\limits_{(a_i ,b_i ) \cap (a_j ,b_j ) = \emptyset } }\limits_{(a_i ,b_i ) \subset (x,x + 2\pi ]} \mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \frac{{\left| {f(b_i ) - f(a_i )} \right|}}{{\lambda _i }}< \infty ,$$ И Дль кОтОРых $$\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } V_{\Lambda ^m } (f) = 0.$$ ДОкАжАНО, ЧтО УжЕ ВО Вт ОРОМ клАссЕ Есть ВЕжД Е АппРОксИМАтИВНО НЕД ИФФЕРЕНцИРУЕМыЕ ФУН к-цИИ. пОлУЧЕНы ОцЕНкИ кОЁФФИцИЕНтО В ФУРьЕ ЁтИх клАссОВ И НЕкОтОРыЕ РЕжУльтАты ОБ Их ОкОНЧАтЕльНОстИ. кАк слЕДстВИЕ ДАНО ДОстА тОЧНОЕ УслОВИЕ Дль Их НЕсОВп АДЕНИь.     

On some local properties of the sum of lacunary trigonometric series

В статье изучается по ведение суммы лакуна рного тригонометрическог о ряда при приближени и к некоторой фиксиров анной произвольной т очке. Первая половина рабо ты посвящена изложен ию метода исследования локаль ных свойств суммы лакунарного ря да, разработанного ав тором. Вторая половина рабо ты посвящена приложе ниям этого метода. Здесь в частно сти, получаются необходи мые и достаточные усл овия для интегрируемости сум мы лакунарного ряда с весом при широк их условиях на вес. При ведем соответствующий рез ультат. Пусть?р(x) — сумма ряда \(a + \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n \cos (\lambda _n x + \psi _n )} \) , гдеа, а _n ,λ _n ,ψ _n — действительные числа,εa _n ^/2 <∞,a _n ≧0,λ _n >0 приn≧1 и \(\mathop {\inf }\limits_{n \geqq 1} \lambda _{n + 1} /\lambda _n > 1\) . При этих условиях функция?(х) определена почти всю ду. Пустьр>0 иω(х) — положительная неуб ывающая функция, определенная при все хх>0, которая при некот оромC>0 удовлетворяет услов ию:ω(2x)≦ ≦Cω(х) при всехх>0. Тогда имеет место Теорема. Для того, чтоб ы интеграл \(\int\limits_{ + 0} {|\varphi (x)|^p \frac{{dx}}{{\omega (x)}}} \) сходился, необходимо и достато чно, чтобы сходились все р яды $$\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^\infty {D_n (\sum\limits_{k = n}^\infty {a_k^2 } )^{p/2} ,} \sum\limits_{n = 2}^\infty {D_n |a_n + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {a_k \cos } \psi _k |^p ,} \hfill \\ \sum\limits_{n = 2}^\infty {D_n (pj)|\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {a_k \lambda _k^j \cos (\psi _k + \pi j/2)} |^p ,} j = 1,2,..., \hfill \\ \end{gathered} $$ , где $$D_n = \int\limits_{I_n } {\frac{{dx}}{{\omega (x)}},} D_n (pj) = \int\limits_{I_n } {\frac{{x^{pj} dx}}{{\omega (x)}},} a I_n = [\pi \lambda _n^{ - 1} ,\pi \lambda _{n - 1}^{ - 1} ]$$      

On the properties of the strong Cesàro summability and strong convergence of series

Говорят, что ряд \(\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k \) сумм ируется к s в смысле (С, gа), gа >?1, если $$\sigma _n^{(k)} - s = o(1),n \to \infty ,$$ в смысле [C,α] _λ , α<0, λ>0, если $$\frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \left| {\sigma _k^{(\alpha - 1)} - s} \right|^\lambda = o(1),n \to \infty ,$$ и в смысле [C,0] _λ , λ>0, если $$\frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \left| {(k + 1)(s_k - 1) - k(s_{k - 1} - 1)} \right|^\lambda = o(1),n \to \infty ,$$ где σ _n ^(α) обозначаетn-ое ч езаровское среднее р яда. Суммируемость [C,α] _λ , α>?1, λ ≧1 о значает, что $$\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty k^{\lambda - 1} \left| {\sigma _k^{(\alpha )} - \sigma _{k - 1}^{(\alpha )} } \right|^\lambda< \infty .$$ В данной статье содер жится продолжение ис следований свойств [C,α] _λ -суммиру емо сти, которые начали Винн, Х ислоп, Флетт, Танович-М иллер и автор, в частности свя зей между указанными методами суммирования. Наконец, даны некотор ые простые приложени я к вопросам суммируемости ортог ональных рядов.     

On the mean value of certain functions connected with the convergence of orthogonal series

В статье рассматрива ются множестваQ ⁿ , 1≦п<∞, ортонормированных с истемΦ={φ _i (x)} _i ⁿ =1, состоящих из функций, постоянных на интервалах \(\left( {\frac{{j - 1}}{n}, \frac{j}{n}} \right)\) , 1 ≦j ≦j ≦п. НаQ ⁿ естественно перенос ится с группы ортогон альных матриц порядкаn мера Хаара. Изучается поведение наQ ⁿ функци и $$S(\Phi ) = \mathop {\sup }\limits_{\mathop \sum \limits_{i = 1}^n y_i^2 = 1} (\int\limits_0^1 {\mathop {sup}\limits_{1 \leqq r \leqq n} } (\mathop \sum \limits_{i = 1}^n y_i \varphi (x))^2 dx)^{1/2} $$ . Доказывается, что приt > 0 иn=1,2,... $$\mu \{ \Phi \in Q^n :s(\Phi ) \geqq t\} \leqq (Ce^{ - \gamma t^2 } )^n $$ .     

Estimation of the remainder of a cubature formula on a Chebyshev grid

Let C(Q) denote the space of continuous functions f(x, y) in the square Q = [?1, 1] × [?1, 1] with the norm $\begin{gathered} \left\| f \right\| = \max \left| {f(x,y)} \right|, \hfill \\ (x,y) \in Q. \hfill \\ \end{gathered} $ On a Chebyshev grid, a cubature formula of the form $\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1} {{\sqrt {(1 - x^2 )(1 - y^2 )} }}f(x,y)dxdy = \frac{{\pi ^2 }} {{mn}}\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {f\left( {\cos \frac{{2i - 1}} {{2n}}\pi ,\cos \frac{{2j - 1}} {{2m}}\pi } \right)} + R_{m,n} (f)} } } $ is considered in some class H(r ₁, r ₂) of functions f ?? C(Q) defined by a generalized shift operator. The remainder R _{m, n} (f) is proved to satisfy the estimate $\mathop {\sup }\limits_{f \in H(r_1 ,r_2 )} \left| {R_{m,n} (f)} \right| = O(n^{ - r_1 + 1} + m^{ - r_2 + 1} ), $ where r ₁, r ₂ > 1; ??^?1 ?? n/m ?? ?? with ?? > 0; and the constant in O(1) depends on ??.     

On coefficients of null-series and on sets of uniqueness of trigonometric and Walsh systems

В работе доказываютс я следующие утвержде ния. Теорема I.Пусть ? _n ↓0u \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\varepsilon _n^2 = + \infty } \) .Тогд а существует множест во Е?[0, 1]с μЕ=0 такое что:1. Существует ряд \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n W_n } (t)\) с к оеффициентами ¦а _n ¦≦{in¦n¦, который сх одится к нулю всюду вне E и ε∥a_n∥>0.2. Если b _n ¦=о(ε _n )и ряд \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {b_n W_n (t)} \) сх одится к нулю всюду вн е E за исключением быть может некоторого сче тного множества точе к, то b _n =0для всех п. Теорема 3.Пусть ? _n ↓0u \(\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{{\varepsilon _n }}{{\varepsilon _{2n} }}< \sqrt 2 \) Тогд а существует множест во E?[0, 1] с υ E=0 такое, что:

1. Существует ряд \(\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {a_n e^{inx} ,} \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\left| {a_n } \right|} > 0,\) кот орый сходится к нулю в сюду вне E и ¦a_n≦¦n¦ для n=±1, ±2, ...
2. Если ряд \(\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {b_n e^{inx} } \) сходится к нулю всюду вне E и ¦b_v¦=о(ε ¦n¦), то b_n=0 для всех я. Теорема 5. Пусть послед овательности S⁽¹⁾={ε ₀ ⁽¹⁾ , ε ₁ ⁽¹⁾ , ε ₂ ⁽¹⁾ , ...} u S²=ε ₀ ⁽²⁾ , ε ₁ ⁽²⁾ . ε ₂ ⁽²⁾ монотонно стремятся к нулю, \(\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \varepsilon ^{(i)} /\varepsilon _{2n}^{(i)}< 2,i = 1,2\) , причем \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \varepsilon _n^{(2)} /\varepsilon _n^{(i)} = + \infty \) . Тогда для каждого ε>O н айдется множество Е? [-π,π], μE >2π — ε, которое является U(S¹), но не U(S¹) — множеством для тригонометричес кой системы. Аналог теоремы 5 для си стемы Уолша был устан овлен в [7].

     

Approximation operators and tauberian constants

The explicit expression of the smallest constantC satisfying $$\mathop {lim}\limits_{\lambda \to \infty } \left| {t_{n(\lambda )}^{(1)} - t_{m(\lambda )}^{(2)} } \right| \leqq C. \mathop {lim sup}\limits_{n \to \infty } \left| {d_n } \right|$$ for all sequences {s _n} satisfying lim sup _n→∞ |d _n| <∞, where {t _n ⁽¹⁾ }, {t _n ⁽²⁾ } are two generalised Hausdorff transforms of {s _n }, {d _n} is the generalised (C, α)-transform (0≦α≦1) of {λ _n a _n} andn(λ, m(λ) are suitably related, is obtained. These results are obtained by using new properties of positive approximation operators and generalised Bernstein approximation operators.     

Strong approximation by rectangular partial sums of double orthogonal series

Пусть {? _ik(x):i, k=1, 2,...} — орто нормированная систе ма в пространстве с полож ительной мерой и {a _ik} — последов ательность действит ельных чисел, для которой $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \kappa ^2 (i,k)< \infty ,$$ где {x(i, K)} — определенна я неубывающая последовательность положительных чисел. Тогда суммаf(x) двойног о ортогонального ряд а \(\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) существует в смысле с ходимости в метрикеL ² и сходимос ти почти всюду. Изучае тся порядок так называем ой сильной аппроксимац ииf(x) (при коэффициентн ых условиях) прямоуголь ными частными суммами \(s_{mn} (x) = \mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) . Основной ре зультат состоит в сле дующем. Если {λ_j(m):m=1, 2,...} — неубывающи е последовательност и положительньк чисел, стремящиеся к ∞ и такие, что \(\mathop {\lim \sup }\limits_{m \to \infty } \lambda _j (2m)/\lambda _j (m)< \sqrt 2 \) дляj=1,2, и если $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \left[ {\log log (i + 3)} \right]^2 \left[ {\log log (k + 3)} \right]^2 (\lambda _1^2 (i) + \lambda _2^2 (k))< \infty ,$$ TO ПОЧТИ ВСЮДУ $$\left\{ {\frac{1}{{mn}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^m \left[ {s_{ik} (x) - f(x)} \right]^2 } \right\}^{1/2} = o_x (\lambda _1^{ - 1} (m) + \lambda _2^{ - 1} (n))$$ при min (m, n) → ∞.     

The cancellation of Fourier coefficients of cusp forms over different sparse sequences

Let λ f(n) be the n-th normalized Fourier coefficient of a holomorphic Hecke eigenform f(z)∈Sk(Γ).In this paper,we established nontrivial estimates for ∑n≤xλf(ni)λf(nj),where 1 ≤ i j ≤ 4.     

A class of inequalities for non-negative sequences

В работе для неотрица тельных последовате льностей (...,a _?1 ⁱ ), aa ₀ ⁱ ),a ₁ ⁱ ), ...), удовлетв оряющих условию \(0< \mathop {\sup }\limits_k a_k^{(i)}< \infty\) (i=1,...,т), доказ а но неравенство (1) $$\begin{gathered} \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^\infty \mathop {\sup }\limits_{k \leqq k_1 + \ldots + k_m \leqq k + l} (a_{k_1 }^{(1)} \ldots a_{k_m }^{(m)} ) \geqq \hfill \\ \geqq \mathop \prod \limits_{i = 1}^m (\mathop {\sup }\limits_{ - \infty< k< \infty } a_k^{(i)} )\left[ {\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \frac{{\mathop \sum \limits_{k = - \infty }^\infty (a_k^{(i)} )^{p_i } }}{{(\mathop {\sup }\limits_{ - \infty< k< \infty } a_k^{(i)} )^{p_i } }} + l - m + 1} \right], \hfill \\ \end{gathered}$$ гдеl произвольное не отрицательное целое число, 1≦p ₁, ...,p _m ≦∞ и \(\mathop \sum \limits_{i = 1}^m p_i^{ - 1} = 1\) . Это неравенство явля ется обобщением и уто чнением неравенств А. Прекопа, Ш. Данча и Л. Лейндлера. Доказано также, что ес ли все последователь ности содержат только коне чное число ненулевых членов, то н еобходимым условием для равенства в (1) является существование такого числа α>0, чтоa _k( ⁱ )=а илиa _k( ⁱ )=0 для всехi=1,...,m;?∞<k<∞.     

Inequalities for tails of adapted processes with an application to Wald's lemma

In this paper we introduce a new tail probability version of Wald's lemma for expectations of randomly stopped sums of independent random variables. We also make a connection between the works of Klass^{(18, 19)} and Gundy⁽¹¹⁾ on Wald's lemma. In making the connection, we develop new Lenglart and Good Lambda inequalities comparing the tails of various types of adapted processes. As a consequence of our Good Lambda inequalities we include the following result. Let {d _i }, {e _i } be two sequences of variables adapted to the same increasing sequence of σ-fields ? _n ↗?, (e.g., ? _n =σ({d _i } _i=1 ⁿ , {E _i } _i=1 ⁿ ), and letN?∞ be a stopping time adapted to {? _n }. Then for allp>0, there exists a constant 0<C _p <∞ depending onp only, such that $$\mathop {\overline {\lim } }\limits_\lambda \lambda ^p P\left( {\mathop {\sup }\limits_{1 \leqslant n \leqslant N} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^n {d_i } } \right\| > \lambda } \right) \leqslant C_p \mathop {\overline {\lim } }\limits_\lambda \lambda ^p P\left( {\mathop {\sup }\limits_{1 \leqslant n \leqslant N} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^n {e_i } } \right\| > \lambda } \right)$$ This result holds when the sequences are real, tangent, and either conditionally symmetric or nonnegative, or alternatively, if {d _i } is a sequence of independent random variables and {e _i } is an independent copy of {d _i }, withN a stopping time adapted to the filtration generated by {d _i } only. Other examples include Hilbert space valued differentially subordinate conditionally symmetric martingale differences. The result is true for more general operators applied to sequences as shown by an example comparing the square function of a conditionally symmetric sequence to the maximum of its absolute partial sums.