一道课本例题的推广及应用

高中《平面解析几何》全一册 (必修 )Ｐ6例 2为 :△ＡＢＣ中 ,ＡＯ是ＢＣ边上的中线 ,求证 :|ＡＢ| 2 |ＡＣ| 2 =2 ( |ＡＯ| 2 |ＯＣ| 2 ) .该结论可作如下推广 .定理 1　在△ＡＢＣ的边ＢＣ上取一点Ｏ ,使 ＢＯＯＣ=λ (λ≥ 0 ) ,则有 |ＡＢ| 2 λ|ＡＣ| 2 =( 1 λ) |ＡＯ| 2 |ＢＯ| 2 λ|ＯＣ| 2 .图 1　定理 1图证　建立如图 1所示的坐标系 ,设Ａ(ａ ,ｂ) ,Ｃ (ｍ ,0 ) ,则Ｂ( -λｍ ,0 ) ,　 |ＡＢ| 2 λ|ＡＣ| 2= (ａ λｍ) 2 ｂ2　 λ(ａ -ｍ) 2 λｂ2=λ2 ｍ2 (ａ2 ｂ2 ｍ2 )λ　 ａ2 ｂ2 .　 ( 1 λ) |ＡＯ| 2 …     

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ ABC,P为平面上的点 ,则( 1 ) P为外心 　 | PA| =| PB| =| PC| 1( 2 ) P为重心 　 PA PB PC =0→ 2( 3) P为垂心 　 PA . PB =PB . PC =PC . PA 3图 1　　　　　　　图 2证明　 ( 1 )如 P为△ ABC的外心 (图 1 ) ,则　 PA =PB =PC,即　 | PA| =| PB| =| PC| ,反之亦然 .( 2 )如 P为△ ABC的重心 ,如图 2 ,延长AP至 D,使 PD =PA,设 AD与 BC相交于E点 .由　 PA =PD PA PD =0→ ,由重心性质 　 PA =2 PE,PA =PD 　 E为 PD之中点 ,又 P为△ ABC之重心 E为 BC之中点 ,∴　四边形 PBDC为平行…     

平面向量

一、选择题1.已知点Ｃ在线段ＡＢ的延长线上 ,2 |ＢＣ| =|ＡＢ| ,ＢＣ =λＣＡ ,则λ =(　　 )(Ａ) 3.　 (Ｂ) 13.　 (Ｃ) - 3.　 (Ｄ) - 13.2 .已知 |ａ→| =2 ,|ｂ→| =3,|ａ→ -ｂ→| =7,则ａ→ 与ｂ→的夹角为 (　　 )(Ａ) π6 .　 (Ｂ) π3.　 (Ｃ) π4 .　 (Ｄ) π2 .3.非零向量ａ→ 与ｂ→不共线 ,则ａ→ +ｂ→ ⊥ａ→ -ｂ→ 是 |ａ→|=|ｂ→|的 (　　 )(Ａ)充分不必要条件 .　 (Ｂ)必要不充分条件 .(Ｃ)充要条件 .　　 (Ｄ)不充分也不必要条件 .4 .设ｉ,ｊ是平面直角坐标系内ｘ轴、ｙ轴正方向的两个单位向量 ,且ＡＢ =4ｉ - 2 ｊ,Ａ…     

外接球球心的确定

在研究多面体与外接球问题时,经常要确定球心的位置.从集合角度看,球面是与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合(轨迹).因此,只要找到与多面体各顶点距离相等的点即为外接球球心.图1　例1图例1　已知正三棱锥ＰＡＢＣ底面边长ａ,Ｐ到底面ＡＢＣ的距离为ｈ,试确定其外接球球心的位置及球半径的长.分析:如图1,设球心为Ｏ,则ＯＡ=ＯＢ=ＯＣ,∴Ｏ在底面ＡＢＣ上的射影Ｈ是△ＡＢＣ的外心,由△ＡＢＣ为正三角形知Ｈ也为中心,∴ＰＨ⊥底面ＡＢＣ,∴Ｐ,Ｏ,Ｈ共线.由△ＡＨＯ是Ｒｔ△得ＡＯ2=ＡＨ2 ＯＨ2.∴Ｒ2=33ａ2 (ｈ-Ｒ)2,∴Ｒ=ａ26…     

初二几何第二学期期末自测题

Ａ组一、填空题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.已知平行四边形ＡＢＣＤ的面积是 16ｃｍ2 ,Ｐ是ＡＢ边上的任意一点 ,△ＣＰＤ的面积是 .2 .已知ａ =1,ｂ =2 ,ｃ=3,它们的第四比例项ｄ =;ａ ,ｃ的比例中项ｘ =.3.菱形的两条对角线长之比为 3∶ 2 ,面积为12ｃｍ2 ,则菱形的周长为 .4 .已知ＡＤ是△ＡＢＣ中∠Ａ的平分线 ,△ＡＢＤ和△ＡＣＤ的面积的比是 2∶3,则ＡＢ∶ＡＣ =.5.已知 :如图 1,在△ＡＢＣ中 ,Ｅ ,Ｆ分别是ＡＢ ,ＡＣ的中点 ,延长ＢＣ到Ｄ ,使ＣＤ =13ＢＣ ,ＤＥ交ＡＣ于Ｏ ,则ＣＤ∶ＥＦ =,ＯＣ∶ＯＡ =.6 .如图 2 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ…     

以三角形的三边构图的数学名题

题 1　 (拿破仑定理 )以△ＡＢＣ各边为边分别向外作等边三角形 ,则它们的中心构成一个等边三角形 .(此定理是法国皇帝拿破仑发现的 ,又叫拿破仑三角形 )图 1证明　如图 1,等边△Ａ′ＢＣ、△ＡＢ′Ｃ、△ＡＢＣ′的中心分别为Ｏ1 、Ｏ2 、Ｏ3,连结ＢＢ′ ,ＣＣ′ .∵　∠ＢＡＢ′ =∠ＣＡＣ′ =∠ＢＡＣ +60° ,∴　△ＢＡＢ′≌△Ｃ′ＡＣ .故　ＢＢ′ =ＣＣ′.同理可得　ＡＡ′ =ＢＢ′ =ＣＣ′.记△ＡＢＣ三边分别为ａ、ｂ、ｃ,连结ＢＯ1 、ＢＯ3,则ＢＯ1 =33 ａ ,　ＢＯ3=33 ｃ .∴　 ＢＯ1 ＢＯ3=ＢＣＢＣ′=ａｃ.又　∠Ｏ1 ＢＯ3=∠…     

一道全国联赛加试题的推广

2002年全国高中数学联赛加试第一题 :图 1问题　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ ,ＣＦ交于Ｈ点 ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ ,ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求 ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .分析　如图 1,ＭＨ =ＢＨ -ＢＭ ,ＮＨ =ＣＮ -ＣＨ ,又　ＢＭ =ＣＮ ,∴　ＭＨ +ＮＨ =ＢＨ -ＣＨ ,于是　 ＭＨ +ＮＨＯＨ =ＢＨ -ＣＨＯＨ .问题等价于求 ＢＨ -ＣＨＯＨ 的值 .下面我们来解答本题的一般情况 .推广题　在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,Ｈ是垂心 ,则　 ＢＨ -ＣＨＯＨ =2 (ｃｏｓＢ -ｃｏｓＣ)1-8…     

几何问题的向量解法

既有大小又有方向的量叫做向量 ,通常用带有箭头的有向线段来表示向量 .向量中定义有几何意义明显的加法 ,减法 ,实数与向量的积以及向量与向量的数量积等重要的运算 .所谓向量法 ,就是利用向量的几何意义将几何问题转化为相应的向量问题 ,并通过向量的运算达到解题的目的 .向量法解题 ,能使原先错综复杂的演绎推理过程变为单纯的向量间的运算 ,往往可以取得出奇制胜的效果 .用向量法解题时 ,下面的有关向量知识经常被用到 :1 )线段ＡＢ的长度ＡＢ =|ＡＢ| ,线段ＡＢ的长度平方 |ＡＢ| 2 =ＡＢ·ＡＢ ;2 )两向量的和的平行四边形法则或三角…     

例说平面向量数量积的应用

平面向量数量积是平面向量的重点内容 ,它以独特的运算方式将两个向量的长度和夹角有机地联系在一起 ,为许多数学问题的解决提供了强有力的工具 .1　用于等式的证明例 1　已知ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =1,求证 :ａ2 +ｂ2 =1.证明　设ｍ =(ａ ,1-ａ2 ) ,ｎ =(1-ｂ2 ,ｂ) ,向量ｍ与ｎ的夹角为 φ ,则ｍ·ｎ =ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =|ｍ| |ｎ|ｃｏｓφ=1.∵ |ｍ| =|ｎ| =1,∴ｃｏｓφ =1,φ =0° .∴ｍ =ｎ ,即 ａ =1-ｂ2 ,ｂ =1-ａ2 .两式平方相加 ,得ａ2 +ｂ2 =1.例 2　设α ,β∈Ｒ+,求证 :ｃｏｓ(α - β) =ｃｏｓαｃｏｓβ+ｓｉｎαｓｉｎβ .图…     

源于课本一道例题的一组高考题

现行高中平面解析几何必修本全一册第 3.5节例 2是 :求圆心是Ｃ(ａ ,0 ) ,半径是ａ的圆的极坐标方程 (新编高中数学课本也有此例 ) .若将其推广为一般情形 ,得经过极点且圆心在Ｃ(ｒ ,α)的圆的极坐标方程为 ρ =2ｒｃｏｓ(θ-α) ( )图 1　证明 ( )式用图证　如图 1,设点Ｐ(ρ ,θ)为圆上任一点 ,ＯＡ为圆的直径 ,则有∠ＰＯＡ =|θ -α| .在Ｒｔ△ＯＡＰ中 ,有ρ =2ｒｃｏｓ|θ -α|=2ｒｃｏｓ(θ -α) .下面是源于这道例题的一组高考题 .例 1　 (1998年全国高考题 )曲线的极坐标方程ρ =4ｓｉｎθ化成直角坐标方程为 (　　 )(Ａ)ｘ2 + (…     

两个结论的改进及引申

文 [1]所得外心、重心、垂心的结论非常优美 ,而内心和旁心的结论却难以记忆 ,可操作性不够 .下面将文 [1]中关于内心和旁心的结论加以改进 ,再添加关于“中心”的结论 .1　内心定理 1　若O为△ABC所在平面上一点 ,则O为△ABC内心的充要条件为AO·(e1+e2 ) =BO·(e2 +e3) =CO·(e3+e1) =0 (其中e1,e2 ,e3分别为与CA ,AB ,BC同向的单位向量 ) .证　设非零向量a ,b的夹角为θ,则cosθ =a·b|a| |b| =a|a| ·e(其中e为与b同向的单位向量 ) .图 1　定理 1图如图 1,O为△ABC的内心 ∠ 1=∠ 2 ,∠ 3=∠ 4 ,∠ 5 =∠ 6 cos∠ 1=AO|AO…     

巴卜斯定理的向量证法与六点共线问题

1　引言和预备知识向量是非常有用的一个数学工具 .它把许多几何学问题的研究从定性深入到定量 ,能够充分体现数学教学中的数形结合思想 .向量解决共线问题相当方便直接 ,它是解决共线问题的一种新途径 ,让人耳目一新 .本文用向量代数的方法证明了喻为古希腊几何的天鹅之歌的巴卜斯定理和给出了六点共线的一个充要条件 .引理 1　 (三点共线的充要条件 )设ａ =ＯＡ ,ｂ =ＯＢ ,ｃ =ＯＣ ,则Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点共线的充分必要条件是存在不全为零的实数α,β,γ ,满足方程组 :αａ+βｂ+γｃ=0 ,α +β+γ=0图 1引理 2　如图 (1 )所示 ,ａ=ＯＡ ,ｂ…     

2003年中考数学模拟试题(8)

一、填空题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .-3的绝对值是 .2 .ｓｉｎ60° =.3 .函数 ｙ =ｘ -1的自变量ｘ的取值范围是.4.分母有理化 :12 +3 =.5 .若实数ａ ,ｂ分别满足ａ2 -5ａ +2 =0 ,ｂ2 -5ｂ+2 =0 ,则 ｂａ +ａｂ =.6.分解因式 :ｘ3-4ｘ =.7.若直线 ｙ =2ｘ +ｂ过点 ( 2 ,1 ) ,则ｂ =.8.如图 ,如果ｍ∥ｎ ,∠ 1 =40°,那么∠ 2 =.9.如图 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ;△ＤＥＦ中 ,ＤＥ =ＤＦ .要使得△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ ,还需增加一个条件是(填上你认为正确的一个即可 ,不必考虑所有可能情况 ) .1 0 .如图 ,Ａ ,Ｂ是⊙Ｏ上两点 ,且∠…     

周界中点三角形又一有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形 .文 [1]、文 [2 ]得到了与周界中点三角形有关的三角形外接圆半径、面积之间的三个不等式 .本文再给出一个更有趣的性质 .定理 1　设Ｄ ,Ｅ ,Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ ,ＣＡ ,ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,Ｓ =12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＢＣ的外接圆半径和面积分别为Ｒ ,△ ,△ＤＥＦ的外接圆半径为Ｒ0 ,则有 :Ｒ·Ｒ0 ≥2 39△ .为证明此不等式 ,先看如下引理 :图 1　引…     

初二几何第一学期期末自测题

Ａ组一 .填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .△ＡＢＣ的三边长分别是 2ｘ ,3ｘ ,1 0 ,则ｘ的取值范围是 .2 .在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ａ =6,ｃ =1 0 ,则ｂ =.3 .一个等腰三角形底边上的中线为 4ｃｍ ,那么它底边上的高为ｃｍ .4.等腰三角形两边分别是 3ｃｍ和 4ｃｍ ,则它的周长是 .5 .若等腰三角形一个角为 1 0 0°,则另外两个角是.6.在△ＡＢＣ中 ,若 12 (∠Ａ +∠Ｂ) =45° ,则△ＡＢＣ为三角形 .7.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ =2∶3∶4,则∠Ａ =,∠Ｂ =,∠Ｃ =.8.若等边△ＡＢＣ的边长为ａ ,则△ＡＢＣ的面积Ｓ△ＡＢＣ= .9.…     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…     

五点共球问题的研究

我们知道在空间任何不共面的四点必存在唯一的外接球 .那么对于空间五点共球问题又如何判定呢 ?笔者通过研究得出如下具体结论 ,与各位同行商榷 .1　五点共球的充要条件先看如下引理 :引理　如图 1 :Ａ ,Ｂ ,Ｃ是空间不共线的三点 ,以 △ＡＢＣ的外接圆为大圆的球为球Ｏ ,点Ｄ为平面ＡＢＣ外任一点 ,设二面角Ｄ-ＡＢ-Ｃ的大小为θ ,则图 1( 1 )当ＡＢ为球的直径或θ =π2 时 ,点Ｄ在球Ｏ上的充要条件是 :∠ＡＤＢ=π2 ;( 2 )当ＡＢ不是球的直径且θ≠ π2 时 ,点Ｄ在球Ｏ上的充要条件是 :ｃｏｔ∠ＡＤＢ=ｃｏｔ∠ＡＣＤ·ｃｏｓθ图 2 - 1证…     

用解析法解答一道加试平面几何题

20 0 2年全国高中数学联赛加试试题第一题是一道平面几何题 ,参考答案给出的是纯几何法 ,作辅助线的技巧较高 .图 1题目　如图 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ= 6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ ,求 ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .解　以Ａ点为原点 ,线段ＡＢ所在直线为ｘ轴建立如图所示的平面直角坐标系 ,∴　Ａ点坐标为 (0 ,0 ) ,∵　∠Ａ =6 0° ,∴设Ｂ、Ｃ的坐标分别为 (ｂ,0 ) ,(ｃ,3ｃ) ,∵　 |ＡＢ| >|ＡＣ| ,　∠Ａ =6 0° ,∴　∠Ｂ <6 0° =∠Ａ ,∴　ｃ <ｂ2 ,∴　线…     

三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

高二数学同步测试题

复数的代数形式及其运算选择题1　复数ａ ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ)所对应的点在虚轴上的充要条件是 (　　 )(Ａ)ｂ =0 . (Ｂ)ａ =0 .(Ｃ)ｂ =0 ,ａ≠ 0 . (Ｄ)ａ =0 ,ｂ≠ 0 .2　已知ｘ =- 1 3ｉ2 ,ｙ =- 1- 3ｉ2 ,则下列各式中一定成立的是 (　　 )(Ａ)ｘ5 ｙ5=1. (Ｂ)ｘ7 ｙ7=- 1.(Ｃ)ｘ9 ｙ9=- 1. (Ｄ)ｘ11 ｙ11=1.3　设ｚ1,ｚ2 为复数 ,下列四个结论中正确的是(　　 )(Ａ)若ｚ21 ｚ22 >0 ,则ｚ21>-ｚ22 .(Ｂ) |ｚ1-ｚ2 | =(ｚ1 ｚ2 ) 2 - 4ｚ1ｚ2 .(Ｃ)ｚ21 ｚ22 =0的充要条件是ｚ1=ｚ2 =0 .(Ｄ)ｚ1ｚ2 ｚ1ｚ2 一定是实数 .4　设ｚ∈Ｃ…