三角中容易忽视的几个问题浅析

本文就学生在三角学习中的常见错误分析如下:一、忽视定义域例1:函数f(x)=sinx(1 tanxtan2x)的最小正周期为A.πB.2πC.2πD.32π误解:f(x)=sinx1 2sin2xcos2xcosx·sin2xcos2x=sinx1 1c-ocsoxsx=tanx,∴T=π,选A.剖析:错误原因是没有注意定义域:x|x≠kπ 2π,且x≠2kπ π,k∈Z.因为f(0)=0≠f(0 π)(无意义),所以选A错误.正确应选B.二、忽视变形过程是否等价例2:已知2sinx=1 cosx,求cot2x误解:∵2sinx=1 cosx,∴1 sincoxsx=21,∴tan2x=21cot2x=2.剖析:错误原因是变形不等价.只有在1 cosx≠0时,才可以从2sinx=1 cosx推到sinx1 cosx=21.…     

Euler公式的简单应用

本文介绍 Euler公式 :eix =cosx +isinx ( 1 )或 cosx =eix +e- ix2sinx =eix -e- ix2( 2 )的一些简单应用。一　五个数 0、1、π、e、i之间的联系例 1　在 Euler公式中令 x=π,得eiπ +1 =0上述结果将五个在不同历史时期出现而又在性质上相去很远的不同数字 ,统一在一个非常简洁的式子里 ,它的美学价值是从它的内涵、它的历史、它的外表都可以看出来的。二　求导数例 2　设函数 y=exsinx,求 y(n)解　因 y=exsinx=Ime(1+ i) x,则y(n) =Im dndxne(1+ i) x =Im( 1 +i) ne(1+ i) x =2 n2 exsin( x +nπ4)。　　三　求定积分例 3　求∫π20cos…     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

西安建筑科技大学·高等数学期末试题(2005.1.3)

一、填空与单项选择题(每小题3分,共30分)1.已知当x→0时,无穷小1-cosx与asin2x2等价,则a=2.limx∞x-sinxx+sinx=3.12∫-12cosxln1+x1-xdx4.设f(x)的一个原函数是sinx,则xf∫′(x)dx=5.曲线y=e-x+2x上与直线x-y+2=0平行的切线方程是6.函数y=∫x0t(t-1)dt的极小值是()(A)0(B)-16(C)16(D)567.若连续曲线y=1f(x)与y=f2(x)在[a,b]上关于x轴对称,则b∫af1(x)dx+b∫af2(x)dx的值为()(A)2∫baf1(x)dx(B)2∫ba2f(x)dx(C)0(D)2∫ba[f(x)-f2(x)]dx8.设y=exsinx,则dy=()dex(A)sinx-cosx(B)sinx+cosx(C)ex(sinx-cos(x)D)ex(sinx+cosx)9.下列函数中(…     

y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数吗

题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当     

两个三角函数最值问题初探

本文着重探讨三角函数y=sinx(1+cosx)与y=sinx(1-sinx)的最值问题。并利用它来求一大批三角函数的最值和证明一大批三角形中的不等式。理定1 设三角函数y=sinx(1+cosx),则对任何x∈R,有     

巧用“中项”作代换,开辟解题新途径

对于一些题设中直接或间接出现了形如a+c=2b(或ac=b~2≠0)的数学题,我们可以应用a、c的等差(等比)中项b作代换:a=b+d,a=b-d(a=bq,c=b/q),从新的途径巧妙地加以解决,以下分类举例说明。 1 求值例1 若0〈x〈π,sinx+cosx=-1/5,求tgx的值。解∵ sinx+cosx=2·(-1/10),     

例谈平方法求函数最值

<正>在求函数最值时,有时可以先将等式两边平方,通过求y²=f2=f²(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y2(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y²=(1+cosx)2=(1+cosx)²·sin2·sin²x/2     

一道填空题(2018全国卷Ⅰ)的多种解法

<正>题目(2018全国卷Ⅰ理16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是___.解法一(导数法):由sinx的周期为2π,sin2x的周期为π,而2π和π的最小公倍数是2π,∴函数f(x)的最小周期为2π,在[0,2π]上考虑其最小值.f′(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1),令f′(x)=0,得cosx=-1或cosx=1/2,     

函数f(x)=(cx+d)/(ax+b)的性质与应用

<正>函数是高中数学的核心内容,是高考考查的重中之重.我们仅学习了:一次函数y=kx+b、反比例函数y=k/x(k≠0)、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)、指数函数y=a2+bx+c(a≠0)、指数函数y=a^x(a>0,a≠1)、对数函数y=log_ax(a>0,a≠1)、正弦曲线y=sinx、余弦曲线y=cosx、正切曲线y=tanx等基本类型的初等函数.事实上,我们碰     

从一道用洛必达法则求极限的题目谈起

同济大学应用数学系编《高等数学习题集》 (高等教育出版社 ,1 998年第 3版 ) 3 .2 .2 3题 ,求A =limx→ 0sin2 x -x2 cosxx2 sin2 x (1 )　　 (1 )为 00 型不定式 ,连续 4次使用洛必达法则得A =limx→ 0sin2 x -2 xcosx x2 sinx2 xsin2 x x2 sin2 x =(2 )limx→ 02 cos2 x -2 cosx 4xsinx x2 cosx2 sin2 x 4xsin2 x 2 x2 cos2 x =(3 )limx→ 0-4 sin2 x 6sinx 6xcosx -x2 sinx6sin2 x 1 2 xcos2 x -4 x2 sin2 x =(4)limx→ 0-8cos2 x 1 2 cosx -8xsinx -x2 cosx2 4cos2 x -3 2 xsin2 x -8x2 cos2 x =16其计算繁杂且易…     

一类函数题的“是”与“非”初探

题已知f(cosx)=sin3x,求f(sinx)(该题可见诸于多种资料)解f(sinx)=f[cos(π2-x)]=sin3(2π-x)=-cos3x.[1]又解f(sinx)=f[cos(x-2π)]=sin3(x-2π)=cos3x.上述两种解答方法实际上一样,但结果明显不同,问题出在哪里呢?下面看题目给出的条件:f(cosx)=sin3x,不妨令x=6π,得f(23)=1;再令x=-6π,得f(23)=-1,即对于f(23),有±1两个值与之对应,从对应方式来看,存在一对多的情况.按照高中教材对函数的定义,这种对应不能称为函数.进一步分析发现:f(cosx)=sin3x=3sinx-4sin3x=sinx(4cos2x-1),其中的sinx不能用含cosx的式子唯一地表示(sinx=±1-cos2x).…     

小牛做题

要想在高考两个小时内快速准确地完成数学试卷,平时多训练灵活的解题方法很有必要.有时打破常规会让“迷茫”中的你有眼前一亮的感觉.试看以下例题.1　偏不求函数解析式例1　若f(tanx) =sin2x ,则f(- 1)的值是.分析　此题的一般解法是先由f(tanx) =sin2x求出f(x) =2x1+x2 ,继而得出f(- 1) =- 1.但若把题中条件改成f(tanx) =sin3x ,此时再求f(x) 的解析式就不那么容易了.我们须探索另一种“牛”解.令tanx1=- 1,则x1=kπ- π4 (k∈Z) ,f(- 1) =f(tanx1) =sin2x1=sin(2kπ- π2 ) =- 1.若f(tanx) =sin3x用以上方法解起来也易如反掌:令tanx1=- …     

一个极值问题的的参数求法

求函数 y=sinx(1+cosx)的极值,这是三角函数中一个常见的求极值问题,并不难解决,但对于更一般的函数 y=sinx(a+cosx)当 a≠1时,要求它的极值.恐怕就不太容易了。在这里,我们应用参数法,十分巧妙地解决了这个问题.     

从局部跃向整体

本文介绍求函数最值的一种策略:从局部跃向整体。它借助于下述结论: 若在定义域中存在实数x,使y_1=f(x)取得最大(小)值为m,y_2=g(x)取得最大(小)值为n,则函数y=f(x) g(x)的最大(小)值为m n。例1 函数y=sinx·cosx sinx cosx 的最大值是___。(90年高考数学文理科试题) 解本题等价于:是否存在实数x(注:由于填充题不需要解题过程,故只需要求出一个特殊的x值即可),使函数y_1= sinx·     

求三角函数的值域(或最值)的方法

三角函数y=sinx及y=cosx是有界函数,即当自变量x在R内取一定的值时,因变量y有最大值ymax=1和最小值ymin=-1,这是三角函数y=sinx及y=cosx的基本性质之一,利用三角函数的这一基本性质,我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化.虽然这部分内容在教材中出现不多,但是     

利用定积分求分段表示的函数的不定积分

分段表示的函数的不定积分的求法通常采用逐段求其不定积分 ,但这样得出的结果会有几个积分常数 ,由于不定积分的任意常数只有一个 ,为求出最后结果 ,则要利用原函数必连续的条件 ,找出几个积分常数之间的关系 ,确定出不定积分的任意常数 (见 [1 ]) ,由于求函数 f(x)的不定积分∫f (x) dx =F(x) C,关键是求出它的一个原函数 F(x) .若注意到变上限函数 F(x) =∫xaf (t) dt满足 F′(x) =f (x) ,即 F(x)是 f (x)的一个原函数 ,则有∫f (x) dx =∫xaf (t) dt C于是 ,求函数 f(x)的不定积分问题 ,就可以转化为求定积分∫xaf (t) dt的问题 .…     

求三角函数周期的一种方法

在三角函数中,求周期是一个重要内容,也是一个难点。在常见的一些题目中,如求y=|sinx| |cosx|,y=(1-sinx)~(1/2) (1 sinx)~(1/2)的周期等一类,学生做起来总觉得不顺手,掌握比较困难,为了使这类问题易于解决,不妨试用“不变量函数方幂法”。什么叫“不变量函数方幂法”呢? 定义若函数y=f(x)在定义域A上恒非负,或者恒非正,则称函数y=f(x)为A上的不变量函数。定理若函数y=f(x)是定义在A上的不变量函数,且y=f~a(x)也是A上的不变量函数(a为非零有理数),则函数y=f(x)与y=     

2004年北京春季高考客观题点通及点评

下面对 2 0 0 4年北京春季高考的客观题的速解作一点解及点评 ,希望对考生在复习迎考中有所帮助 .选择题1.在函数 y =sin2x ,y =sinx ,y =cosx ,y =tan x2 中 ,最小正周期为π的函数是 (　　 )(A) y =sin2x .　　　　 (B) y =sinx .(C) y =cosx . (D) y =tan x2 .点通　回归公式 .由弦、切函数的最小正周期公式T =2π|ω|及T =π|ω|,即知仅 y=sin2x的最小正周期是π ,而选 (A) .点评　求三角函数的最小正周期是历年高考的一个热点 ,其解法是 :先化为标准型 y =f(ωx +φ)+k ,再由公式T =2π|ω|或T =π|ω|即得 .2 .当 23相似文献   

求多元函数二阶偏导数的矩阵方法

多元函数求偏导问题是多元函数微分学中的一项重点和难点内容。在求解这类题目时 ,既要严格区分自变量与中间变量 ,而且要注意不能丢掉偏导函数作为复合函数时的偏导数。特别求二阶偏导时 ,学生容易漏项 ,有没有比较好的方法 ?先考察下例 :例 1　 u =f ( x +y,xy,xyz) ,求 2 ux2解　设 t=x +y,v =xy,w =xyz,则 u =f ( t,v,w) ,按照多元复合函数求导法则求导如下 :ux=ft+fv. y +fw. yz =f′1+yf′2 +yzf′3　　　 2 ux2 =f″11+f″12 . y +f″13 . yz +yf″2 1+yf″2 2 . y +yf″2 3 . yz +yzf″3 1+yzf″3 2 . y +y…