广义凸函数性质初探

设函数f（x）在区间I上有定义．如果对于任意x_1、x_2∈I和t∈（0，1）有则说f（x）在I上为下凸的．如果对于任意x_1、x_2∈I和t∈（0，1）有则说f（x）在I上为上凸的，如果对于一切t∈（0，1），（1）式（（2）式）中的等式仅当x_1＝x_2时成立，则说f（x）在I上为严格下凸（严格上凸）的．显然，如果f（x）在I上是上凸的，则－f（x）在I上就是下凸的．为此，以下我们着重讨论下凸函数由［1］，若函数f（x）在区间I上连续且对任意x_1、x_2∈I成立，则f（x）在I上是下凸的．对于凸函数，我们有著名的Jensen不等式：命题1设f（x）是区间…     

关于拉格朗日中值定理的几点注记

由拉格朗日中值定理很容易得到定理1定理1若函数f（x）在（a，b）内可徽，则对（a，b）内的任意两点x1〈x2，在（x1，x2）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使等式成立。那么，若函数x（x）在（a，b）内可微，对于区间（a，b）的内任一点ξ，可否从（a，b）内找到两点X1及x2，满足等式一般不可以。考察函数f（x）=X3，（－1＜X＜1）．对于ξ=0就找不到所需的x1、X2，使（1）成立。事实上，时，但是，当的条件加强时，有定理2定理2若函数f（x）在（a，的内二次可微且产（＄）一0，a＜誊＜b，则在区间内可找到两个值由、X。满足f（。）一人X；…     

与星正交的[0,k_j]~m_1-因子分解

设G是一个图，k1；k2，…，km是正整数，如果对所有的x∈V（G）有0≤dG（x）≤k1＋k2＋…＋km－m＋1成立，K是G的m-星，则G有一个［0，kj］1m-因子分解与K正交．     

把高等数学变得更容易（续）

下面的定理肯定了一致连续函数的积分体系唯一性． 命题 5（一致连续函数的积分体系唯一性） 设f（x）在区间I的任一个闭子区间上一致连续，S（u,v）和R（u，v）都是f（x）在I上的积分体系，则恒有S（u，v）=R（u，v）．     

恒不等式性质的应用

恒不等式具有下述两个重要性质：（1）a≥f（x）恒成立a≥fmax（x）或a＞f(x）恒成立a＞fmax（x）；（2）a≤f（x）恒成立≤fmax（x）或a＜f(x）恒成立a＜fmin（x）．灵活运用上述两性质解题有时特别奏效．现举例说明如下：例1（1995年全国高考题）已知y＝loga（2—ax）在［0，1」上是x的减函数，则a的取值范围是（）（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）［2，十）解由复合函数的单调性及题设知：a＞1且2-ax>0在x[0，1]时恒成立．x=0时，2—ax＞0恒成立；x0时，由2—ax＞O得a＜，由性质（2）知a<（）min=2，故选（B）．例2（199…     

综合题新编选登

题185 已知函数：f（x）=x（1-x）^2． （1）求函数f（x）的极值，并作出函数图象的简图； （2）求实数a，b的值，使在区间[a，b]上的值域也为[a，b]； （3）是否存在区间[a，b]（a〈6≤0），使f（x）在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]，且使k的值最小？若存在求出a，b的值及k的最小值；若不存在，请说明理由．     

一个伪素数猜想的证明

文［1］中提出一个猜想：“对于每一个伪素数k而言，至少存在一组正整数（a，b），使得本文证明此猜想是成立的如果允许a＝k—1，则此猜想的正确性显而易见，本文限定a＜k一回引理1（欧拉定理）设k是大于l的奇数，NO2，（。）。1（n。edk）其中中（k）是欧拉函数，表示0，1，Z，··，k－1中与是互质的数的个数［2］这一引理表明，对任何大于1的奇数k都存在正整数l’，使得2”。1（inedk）（1）引理2设k为大于1的奇数，。为正整数，且有（1）式成立占是使（1）式成立的最小正整数（在数论中称之为2对模k的指数【川，则有8卜（巨）、（2）…     

素环的李结构

设R是一个咎征非2的素环，U是R的一个平方封闭的李理想，d1，d2，d是R的导子，δ是R的广义导子．本文证明了U为中心李理想，如果以下条件之一成立：（1）d（x）od（y）=xoy；（2）d（x）οd（y）＋xοy=0；（3）d1（x）οd2（可）=0；（4）δ（[x，y]）=0；（5）δ（xοy）=0对所有的x，y∈U．     

问题172 这道关于函数的题是病题吗？

若函数f（x）=x^2＋2（a-1）x＋2在区间（-∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是     

一类高阶周期线性微分方程解的性质及复振荡

本文对一类超越型高阶周期线性微分方程解的性质及复振荡证明了：设B（ξ）=g1(1/ξ） g2(ξ），其中g1(t)和g2(t)是整函数，以及g1(t)(或g2(t))是超越的且级小于1／2。令A(z)=B(e^z)。（i)如果方程ω^(k) A(z)ω=0(k≥3)有解f(z)≡0满足log^ N(r,1/F)=0(γ），则f(z)和f(z 2πi)线性相关；（ii)如果B（ξ）在ξ＝∞（或相应地在ξ≠0）有一p阶极点，p不被整除，则前方程的任一解f(z)≠0的零收敛指数都是无究，且更强的结论log^ N(r,1/f)≠0（γ）成立。     

从一道高考题看求解的转化策略

求解超越方程（指数、对数、三角、反三角方程），特别是合参数的方程，一般用等价转化的思想和方法，转化为代数方程求解．下面拟通过一道例题来探讨有关转化策略．例已知关于x的方程lg（ax）=2lg（x—1），（1）求a为何值时方程有解；（2）求出方程的解．（1986年广东省高考题改编）分析（1）即求方程有解的充分条件；（2）即求在（1）中条件下的解．原方程等价于即其中①、②两式成立，则ax＞0必成立．故③式可舍．这样原问题等价于：（1）求a的范围使厂～、T＿“”（。）”IxlM0成立；（2）求出（。）式中方程的解．说明上面通过把原…     

非负Ricci曲率Riemann流形上的Sobolev不等式及Sobolev嵌入定理

设Ｍ是具有非负Ｒｉｃｃｉ曲率的完备Ｒｉｅｍａｎｎ流形，本文证明Ｍ上Ｓｏｂｏｌｅｖ不等式‖ｆ‖ｑ≤Ｃｎ，ｐ，ｑ（１≤Ｐ，ｑ＜∞）对一切（Ｍ）成立的充要条件是对一切ｘ∈Ｍ，Ｖｘ（ｒ）＝Ｖｏｌ（Ｂｘ（ｒ））≥且，而Ｍ上较弱的Ｓｏｂｏｌｅｖ不等式‖ｆ‖ｑ≤Ｃｎ‖Ｆ‖ｐ）（１＜ｐ＜ｑ＜∞）对一切ｆ∈Ｈ（Ｍ）成立的充要条件是，且最后，证明了Ｍ上ｓｏｂｏｌｅｖ嵌入定理，如果，则；如果则成立．     

数形结合巧解一道高考题

2007年高考广东卷理科倒数第2题（文科压轴题）是：已知a是实数，函数f（x）=2ax^2＋2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．     

非定常概周期系统局部结构稳定的充要条件

本文给出：如果一致概周期函数ｆ（ｔ，ｘ）满足：ｉ）ｆ（ｔ，０）＝０；ｉｉ）Ｄｘｆ（ｔ，ｘ）在Ｒ×Ｄ上有界（Ｄ是Ｒｎ中含原点的一个区域）；ｉｉｉ）对ｔ一致成立，那么系统关于Ｂ１（所有满足ｉ），ｉｉ）的一致概周期函数全体所成之集按范数构成的赋范线性空间）在原点邻域局部结构稳定的充要条件是它的零解变分系统在Ｒ上具有指数型二分性．进而得到系统关于Ｂ１在原点邻域局部结构稳定是可继承的．并推出这类结构稳定的系统在Ｂ１的某子空间中是处处稠密的．     

一类三角形不等式的替换证法

设R、r与s是△ABC的外接圆半径、内切圆半径与半周长（称为“三基本量”），则有如下三角形基本不等式[1][2]．（1．1），（1．2）取等号当且仅当面ABC分别为顶角≥60°和≤60°的等腰三角形．据此，笔者曾应用构造法证得下面的命题：命风1”’形如s＞（M）人R，r）（2．1）的不等式对任意AABC成立，只要它对顶角260”的等腰AABC成立；形如sM（M）f（R，r）（2．2）的不等式对任意面ABC成立，只要它对顶角＜6O”的等腰上ABC成立．命gZ［’］形如（2．工）的不等式对锐角凸ABC成立，只要它对顶角＞60”的等腰锐角凸ABC成立（这…     

关于无穷级数逐项积分和逐项求导的一个注记

无穷级数的逐项积分或逐项求导一般要求原级数或未导后所成级数是一致收敛的，若此条件不满足，而逐项积分或逐项求导后的级数收敛，则它是否收敛到原级数和的积分或导数呢？这是个有趣的问题，其结论是不一定。下面举例说明之。例1考察级数1°容易验证（1）收敛但非一致收敛：．这说明（1）并非一致收敛到0．2”级数（l）逐项积分后所成级数收敛；3”显然IS（王川X学1，即逐项积分后的级数并非收敛到原级数和的积分。例2考察级数l”容易验证（2）收敛但非一致收敛：说明（2）并非一致收敛到0．2”级数（2）逐项积分后是收敛的：3”显然DS…     

广义FP—内射模、广义平坦模与某些环

左（右）R－模A称为GFP－内射模，如果ExtR(M,A)=0对任－2－表现R－模M成立；左（右）R－模称为G－平坦的，如果Tor1^R(M,A)=0(Tor1^R(AM)=0)对于任一2－表现右（左）R－模M成立；环R称左（右）R－半遗传环，如果投射左（右）R－模的有限表现子模是投射的，环R称为左（右）G－正而环，如果自由左（右）R－模的有限表现子模为其直和项，研究了GFP－内射模和G－平坦模的一些性质，给出了它们的一些等价刻划，并利用它们刻划了凝聚环，G－半遗传环和G－正则环。     

亏函数与拟素性

本文证明了宋国栋、杨重骏关于亏函数与拟素性的一个猜测在一定条件下成立。主要结果是：设Ｆ（ｚ）为有穷级整函数；α（ｚ）为有理函数，如果δ（α，Ｆ）＝１，则Ｆ（ｚ）是拟素的。     

再谈广义奇(偶)函数及其周期性

文［1］对奇（偶）函数的概念作了推广，并对其性质和周期性问题进行了探讨．笔者读后，获益匪浅．现试图将原文论及的问题再作推广．一几个概念定义至对于函数f（x），若存在常数a、b、m、n（m＞0，n＞0），对于其定义域内的任意x：（1）当都有f（a＋mx）=f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义偶函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是偶函数．（2）当都有f（a＋mx）=－f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义奇函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是奇函数．定义2对于一个图形的两部分，从第一部分上的各点作定直线l的垂线…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅳ)

例题讲解25设0≤ai≤9(i＝0，1，2，n，）。）且。，；产0，A—10’la＋10”’a。；－I＋…＊10al＋ac（1、）作AI＝D（A）＝。，；十2。；；l＋2、，；，十··＋2”Ial＋2”a。（z）AZ＝D（AI），A3＝D（AZ），…（1）证明：对任意自然数A，在上述过程中必出现Ah＜20，使D（Ah）一Ah门）若A＝1998，试确定Ah使D（Ah）一Ah证明（1）若，I＝0即A为一位数，则D（A）＝A；若n—1即A为两位数，则A－D（A）＝（10al＋ac）－（al＋Zan）一901－10（3）故A—D（A）＞0即A＞D（A），当且仅当川”1，。0“9，即A＝19时成立等号若…