整除问题中字母系数的求法

在整式除法中,存在关系被除式A=除式B×商式Q 余式R 当R=0时,则称被除式A能被除式B整除.或除式B整除被除武A,即A=BQ,原理然简单,却能简化整除时字母系数确定的问题。例1 多项式2x~4-3x~3 ax~2 7x b能被x~2 x-2整除,则a/b的值是     

确定部分分式中待定系数的另两种方法

利用部分分式求有理函数的积分时，确定部分分式中的待定系数是关键。一般教材中提到两种方法：比较系数法和赋值法，本文通过下面的例题介绍另两种方法：逐次约简法和求导法。由（1）式确定系数A、B、C、D、E的方法为：1．逐次约简法第一步令X一1，得＊一1。第二步令C一1代入（l）式右端后，将以C为系数的项移到等式的左边，再于两边约去因式（X－1）得：一3X‘－3X＋1一卜（X－1）十利（X’＋ZX＋2）＋（DX＋U（X－I）’（2）在（2）式中令X一1，得B—－1。第三步以＊—－l代人（2）式后，将以B为系数的项移到等式左边，两边再…     

f[g(x)]的反函数与f~(-1)[g(x)]是两回事

求函数f[g(x)]的反函数与求f-1[g(x)]，许多人把它们看成一回事，因而在或题时会发生这样或那样的错误．求f[g(x)]的反函数是求复合函数的反函数，其反围数的复合过程恰好与原函数相反，即y而求f-1[g(x)]是在求出x=f(x)的反函数广f-1(x)之后，再求出反函数的复合函数．二者过程不同，不能混淆．1求f-1[g(x)]的反函娄例1已知f（X）一3X＋I，求人又十1）的反函数‘有人这样拉：f（X）一3X＋1的反函数是这种解法的错误是显而易见的，由上图进行核验知广’（“＋’）一百（“’‘人正确解法是：函数人X）一3X＋1的反函数是广‘（x）一百（X…     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题整式除法适用年级初中一年级学期 2005-2006学年度第二学期训练目的 1．掌握多项式除以多项式的基本方法——竖式除法． 2．进一步培养学生的整体意识．提高学生利用整式除法的知识解决相关问题的能力．     

读者来信

数学通报1998年12期“关于求多元对称函数极值的一个磨光法”一文,理论上是正确的,但后文中的例2是错误的．文中将“－”号误为“＋”号．改正后,不能证明（。）式＞0,例如令a;、1,a。、l,a;学a。,a。－…－an二0,（。）式＜0,因之,不等式（2）（3）（以及其推广情形）根本不能用本文定理2加以证明．2不等式（3）是一个错误的不等式．例如令定理1证明中的“X1’‘’－—一（一二L一）”－’（X;二）”应改为（－——）‘－’（X;一旦）以上意见供参考．读者来信@续铁权     

用转化法求 a_(n+1)=pa_n+f(n)型的数列通项

本文重点介绍a.+,=p“,十。(‘为常数)型和u,、二灿十少了元少型的数列求通项的方法, 当户“0或l时,其解法是常见的,此处从略,否则,可用下法作转化: 等式两边同除以产‘’(P半(j),则有砂织产”声织P”‘一牛十渗李 尹尹令“一合 从而得举例如下: 。_、_一二一、*。左止、.二、I‘,一人.十1、羌人人月,lj 产犷且,:=八+尺”),这样就不难求其通项,口.+l2.十‘已知数列{a.},‘z。=l,‘,,,l=2“.+2·,求‘,。.由‘·,=2。+2,,两边同除以2内,得=牛十吝,今八一牛,一2’’2’丫二知一2”,例解则‘+,一二+告,…八“,1,一‘),“一“+‘一‘)·告一省…     

珠算式脑算除法宜采用改商法

实践证明，成年选手经过练习，也是能够采用珠算式脑算的。而珠算式脑算除法无疑是珠算比赛各项中见效较快的一项．同珠算一样，它也存在着方法选择的问题．选择得好，则能达到事半功倍的效果．我通过实践练习。认为珠算式脑算除法采用改商法较好．下面将这种方法和采甩商除法的对比，说明这种算法的优点．     

凑五凑十新补除

补数除法是利用补数参与运算求商的一种珠算除法。过去，补数除法强调“含几除，加几补”，加补仍需估商，且加补次数不定，准确率低，速度也不快，“估商难”与“乘减慢”两大难题仍未得到较好解决。新补除则利用五倍数十倍数计算简便，人们擅长加减等特点，直接凑五凑十，再稍作调整，一举突破了上述两大难题。下面做简单介绍。     

广义积分integral from n=0 to 1()((1n)~(k-1)t)/(1 t)dt与级数Sum from n=1 to ∞() ((-1)~(n-1))/n~k间的关系及计算

定理1设k是正整数，则有证明记由于易知又由于所以所以（6）式为在（8）中取、r—－1，有在（9）中作变换L—一X有＿＿、＿．l．＿＿、，＿I。〔h〔，＿＿＿rp（－1）＿。＿。L、，＿＿＿。。＿＿＿＿，＿。。定理1给出了广义积分l；：＝一体与级数西二个一之间的关系。下面的定理2将给出‘“““””“’””””“”JI＋t”’”””“‘“’””“““””“’””““”“”‘”“““计算级数Zirn／一的一个递推公式。它相9地将人X）展成余弦级数（14）式为一递推公式，继续递推并注意到八二I。。Snxdx一O，则（14）为在（16）式中…     

高等数学试题

一、填空（每小题5分）2．微分方程好的通解为3．曲面3在点（2，1，0）处的法线方程为4．过点（3，1，－2）且与直线垂直的平面方程为5．幂级数的收敛区间为答案：其中函数人g具有二阶连续导数，5、（10分）计算曲线积分I其中L为圆周x’＋y’一a’的逆时外方向。答案：－。四、（10分）试求球体x’＋y’＋z‘＜Zz的质量，已知球体上任一点的密度与该点到原点的距离平方成正比。答案：＊切，足是常数””””］q”’～’”一五、（10分）计算曲面积分是曲面X—X‘＋／（0＜Z＜1）的外侧。竺室．二“——’2六、（10分）设P（x，y）一xy’o…     

某些积分所确定的函数的导数

设重积分的积分区域依赖于变量t的值，且此重积分定义一个t的可微函数：其中积分区域G；依赖于t的值。如何求F’（t）呢？下面我们举例说明。解这类问题可直接利用变限积分的导数公式，只要把括号内的积分当作一个函数人y）对形如（1），（2）的函数F（t），在求导时，可首先利用变量代换，把F（t）转化成票次积分，再利用例1的方法求F’（t）。例2已知jfx，y）连续，F（t）一if（，y）dxds，求F’（t）。x2小y＼ti解利用极坐标变换，得例3已知人U）连续，F（O一解利用球面坐标变换得：例4设人X）连续，G：0＜X＜h，X’＋F’（t）。解…     

理科第25题别解

试题设圆满足：①截y轴所得弦长为ZF＠技工轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1．在满足条件①，②的所有固中，求协。到直线L：X一Zy一0的距离最小的目的方程．解法fib所求的团为（—一d）‘十（y—b）’一厂‘，由①，②易得rZ—a’＋1，／一Zb‘，消去厂得Zb’一a’＝1．可见，所求圆的圆心的轨迹为双曲线：2／一X‘一1上的点．设直线产周且与双曲线2／一X’一1相切，则可设I’的方程为C—Zy—C．显然d（（a，b），l）一d（l’，l）这里d（A，B）表A到B的距离．P与2／一X‘一1相切，则易求得C一士1．＄法2同解法1得显然要使d达最…     

四边形中的一个不等式

定理设E、F、C、H分别是四边形ABCD的边BC、CH、DA、AB上的内点，且AH、BE、CF、HG、＿、。子兰一AI．兰拉一人．子头一入，美子一人，四边HB‘”‘’EC‘”‘’FD””‘’GA’”’”—”～形＊＊CD、＊＊＊11、＊＊11E、＊＊＊F、凸＊＊G的面积分别记为西、AI、凸2、凸3、A’．则当且仅当四边形＊＊＊D为平行四边形，且人一1（i—1，2，3，4）时，等号成立．根据平均值不等式，并注意到死十JZ十S。十S．一2凸，得当且仅当四边形＊＊CD为平行四边形，且入一1（i—1，2，3，4）时，等号成立．故定理得证．四边形中的一个…     

有解竟无解

有这样一道题：已知x2-3x 1＝0，求的值有人给出了如下的解答：由条件式知x0，将条件式两边分别来以x2和除以x4有：显然，上式左边为偶函数，右边为奇函数，即“奇函数一偶函数”！故只能是0无解，即求X‘十1值无解然而，有一初二学生给出如下的十分简单的计＃过程：由已知有x一0，x十上一3，贝］J此计算明白无误，显然上述解答错了，使有解竞成无解细心的读者不难发现上述解答错在哪里，故此我们不再“赘述”了有解竟无解@唐元义$武汉市一轻工业学校!430051     

欢庆“1997” 喜迎香港回归

在1997年7月1日即将来临之际，宝岛香港将要回归祖国之时，列举几道和1997这个数值有关的趣题，以表欢庆之情．1．迎香港回归的队伍长1997米，出发时一联络员从排尾追至排头，又立即返回排尾，这时队伍已前进了1997米，求联络员共走了多少米？解设联络员的速度为v1，队伍前进的速度为。设联络员所走的路程为又，答：联络员共走了（l＋／2）X1997米．2．1997年7月1日是星期二，199．，”天后的那一天是星期几？答：1997”天后的那天是星期六．3试证·1‘”’＋2“‘’de3””＋4‘”’可被5整除．证明”．”1‘一1，2‘一3X5＋1，3‘。16X5…     

整体思想方法在平几中的应用

在代数中，灵活运用整体思想方法处理问题，既习使问题阎捷地获解，又可惜养学生的创造性思维；在平凡中，如能充完利用整体与部分Z阎的辩证关系，同样可以阎捷地解决不少计算与证明题．下面分类举例说明之．1应用整体思想方法求线段的和例1已知：to图1，在RtAIABC申，／C—gO”，CD上AB于D末，如果AB：—12，CD=6，则AC＋BC等于（）．（A）17（B）12JM（C）13JM（D）9JM解”．”／ACB—90”，CD上AB，AC·BC——AB·CH一12X6——72．而AC’＋BC’一AB‘（AC＋BC）‘一ZAC·BC。一AB’RO（ACMBC）‘一AB‘＋Z…     

改进运算步骤 提高除算水平

在珠算除法运算中．隔位商除法简便实用．乘减时运用大九九口诀,一般人都有一定的基础．易学易会．已成为许多人学习珠心算除法时首选的一种方法。但由于这种方法运算步骤有一定的缺陷,使人们认为除法难学。本人根据自己教学经验,对过去的隔位商除法运算步骤加以改进．使除算更为简便。     

e~(kx)在解题过程中应用几例

在解题过程中如果能用上ekx，会使解法简单巧妙，下面的例2说明必须会用e－x构造辅助函数。例1设f（x）是定义在［0，］上的连续函数，且证二八x）在肝，音］上连续，八X）＞o，设在X。处取最大值，于是由于八x。）是最大值，人n＜八X。），这就有：用上面的方法可证出在同样可证fseo，以此类推，则有人X）三0。上面的例是我们学校的一次统考题，证法一是学生想起的。例2设人x）在「a，b］上存在n＋l阶导数，且满足广‘’（a）一月‘’（b）—0，足一0，1，2，…，n．（这里／”（a）一f（），f”’（b）一f（））．证明：目七（a，b）使…     

修正局部Crank-Nicolson法对于二维热传导方程的应用

1．关于一线热传导方程解法的描述考虑一维空间的热传导方程的数值解法，这里Q＝（0，1）．对于（1．1）的微分项用中心差商代替，就得到半差分方程式。（；，O的近似解，并且A是三对角矩阵古典显格式、隐格式和Crank－Nicolson法可以表示为从这些近似式可以看出，为能得到未来的近似解法，应该考虑exP（兴A）的近似式．只要推—“————一’—’—”“—”—－’””’”“‘”—“”’～’””“——‘””’””一’———”“”－－””h‘”一’—‘—”—”””—”一出exP（兴川的新近似式，就能得到新的近似解法．因此以下给…     

对称问题的坐标代换法

高中数学中的中心对称和拍对称问题，解决的方法不乏多样，但笔者认为，利用坐标代换的方法来研究这类问题，更具有一般性和规律性．1中心对称问题求曲线C：八x，y）一0关于点Q（a，b）对称的曲线C’．设C上的任一点只（xl，yi）关于点Q的对称点为P（X，y），由中点坐标公式可得：fHI一一二十ZQlyl一一y十Zb因为点PI（xl，yi）在C上，即f（XI，yi）一0，k得f（一x＋Za，一y＋Zb）一0即为所求．例1抛物线y—ax’＋bx＋c与y一x‘一sx＋2关于点（3，2）对称，求系数a、b、c．解设点（xl，yi）是y—l‘一sl＋2上任一点即yi一xZ—5xl＋2…