S~5上仿Blaschke张量的特征值为常数的超曲面

设x:M→S~(n+1)是(n+1)-维单位球面上不含脐点的超曲面,在S~(n+1)的Moebius变换群下浸入x的四个基本不变量是:一个黎曼度量g称为Moebius度量;一个1-形式Φ称为Moebius形式;一个对称的(0,2)张量A称为Blaschke张量和一个对称的(0,2)张量B称为Moebius第二基本形式.对称的(0,2)张量D=A+λB也是Moebius不变量,其中λ是常数,D称为浸入x的仿Blaschke张量.李海中和王长平研究了满足条件:(i)Φ=0;(ii)A+λB+μg=0的超曲面,其中λ和μ都是函数,他们证明了λ和μ都是常数,并且给出了这类超曲面的分类,也就是在Φ=0的条件下D只有一个互异的特征值的超曲面的分类.本文对S~5上满足如下条件的超曲面进行了完全分类:(i)Φ=0,(ii)对某常数λ,D具有常数特征值.     

单位球面上仿Blaschke张量的特征值为常数的超曲面

设x:M~n→S~(n+1)是(n+1)-维单位球面上不含脐点的超曲面,在S~(n+1)的Moebius变换群下浸入x的四个基本不变量是:一个黎曼度量g称为Moebius度量;一个1-形式Φ称为Moebius形式;一个对称的(0,2)张量A称为Blaschke张量和一个对称的(0,2)张量B称为Moebius第二基本形式.对称的(0,2)张量D=A+λB也是Moebius不变量,称为浸入x的仿Blaschke张量,其中λ是常数,仿Blaschke张量的特征值称为仿Blaschke特征值.李海中和王长平(2003)研究了满足如下条件的超曲面:(i)Φ=0;(ii)存在可微函数λ和μ,使A+λg+μB=0.他们证明了λ和μ都是常数,并且给出了这类超曲面的分类,也就是D的特征值全相等的超曲面的分类.本文对满足如下条件的超曲面进行了分类:(i)Φ=0,(ii)对某一个常数λ,D具有两个互异的常数特征值.     

关于具有常平均曲率和数量曲率超曲面的Moebius几何的一个注记

设x：M→S^n＋1（n≥23）是n＋1-维单位球中的无脐点超曲面，Moebius不变量G，Ф，A和B分别表示x的Moebius度量，Moebius形式，Blaschke形式和Moebius第二基本形式．本文证明了如果x的Moebius形式圣平行，并且A＋λG＋μB=0，其中λ，μ分别是定义在M上的光滑函数，那么Ф=0，由此及李海中、王长平（2003年）文献中的分类定理给出了眇州中具有平行的Moebius形式及满足A＋λG＋μB=0的超曲面的分类．此结果推广了他们及张廷枋（2003年）文献中的结果．     

Moebius形式平行的超曲面

给出并证明了单位球面上Moebius形式平行的满足条件A＋λg＋μ（B，ξ）=0的无脐点超曲面一定是Moebius形式消失的．     

S~(n+1)上具有三个互异常仿Blaschke特征值的超曲面

设x∶M→S⁽ⁿ⁺¹⁾是(n+1)-维单位球面上不含脐点的超曲面.在S(n+1)是(n+1)-维单位球面上不含脐点的超曲面.在S⁽ⁿ⁺¹⁾的Mbius变换群下浸入x的四个基本不变量是:Mbius度量g;Mbius第二基本形式B;Mbius形式φ和Blaschke张量A.对称的(0,2)张量D=A+λB也是Mbius不变量,其中λ是常数.D称为浸入x的仿Blaschke张量,仿Blaschke张量的特征值称为浸入x的仿Blaschke特征值.如果φ=0,对某常数λ,仿Blaschke特征值为常数,那么超曲面x∶M→S(n+1)的Mbius变换群下浸入x的四个基本不变量是:Mbius度量g;Mbius第二基本形式B;Mbius形式φ和Blaschke张量A.对称的(0,2)张量D=A+λB也是Mbius不变量,其中λ是常数.D称为浸入x的仿Blaschke张量,仿Blaschke张量的特征值称为浸入x的仿Blaschke特征值.如果φ=0,对某常数λ,仿Blaschke特征值为常数,那么超曲面x∶M→S⁽ⁿ⁺¹⁾称为仿Blaschke等参超曲面.本文对具有三个互异仿Blaschke特征值(其中有一个重数为1)的仿Blaschke等参超曲面进行了分类.     

S^n＋1中Moeebius形式平行的超曲面

如果x:M→S^n 1是不含脐点的超曲面，且M的Moeebius形式φ-0和Blaschke张量A＝λg，就称M为Moeebius迷向超曲面，如果x:M→S^n 1是不含脐点的超曲面，且M的Moeebiusφ平行（△↓＝0）和Blaschke 张量A＝λg，就称M为Moeebius拟迷向超曲面，这里g是M上的Moeebius度量，λ:M→R是M上的光滑函数，本文证明了如下结果：（1）设x:M→S^n 1(n≥3)是不含脐点的超曲面，则M是拟迷向超曲面当且仅当M是迷向超曲面，（2）设x:M→S^n 1（n≥3）是不含脐点的超曲面，且M的Moeebius形式φ平行和Blaschke张量A也平行（△↓A＝0），则φ＝0。     

球面上具有四个不同主曲率的Moebius等参超曲面

设x:M→S~(n+1)(n≥5)是(n+1)-维单位球面上不含脐点的超曲面,在S~(n+1)的Moebius变换群下浸入x的四个基本不变量是:Moebius度量g;Moebius第二基本形式B;Moebius形式Φ和Blaschke张量A.本文给出S~(n+1)上具有重数1,1,1,m(m≥2)的四个不同Moebius主曲率的Moebius等参超曲面的分类.     

Sn+1中M(o)ebius形式平行的超曲面

如果x:M→Sn+1是不含脐点的超曲面,且M的Moebius形式 =0和Blaschke张量A=λg,就称M为Moebius迷向超曲面,如果x:M→Sn+1 是不合脐点的超曲面,且M的Moebius形式 平行( =0)和Blaschke张量A=λg,就称M为Moebius拟迷向超曲面,这里g是M上的Moebius度量,λ:M→R是M上的光滑函数,本文证明了如下结果: (1)设x:M→Sn+1(n 3)是不含脐点的超曲面,则M是拟迷向超曲面当且仅当M是迷向超曲面,(2)设x:M→Sn+1(n 3)是不合脐点的超曲面,且M的Moebius形式 平行和Blaschke张量A也平行( A=0),则 =0.     

Immersed Hypersurfaces in the Unit Sphere S^m＋1 with Constant Blaschke Eigenvalues

For an immersed submanifold x ： M^m→ Sn in the unit sphere S^n without umbilics, an eigenvalue of the Blaschke tensor of x is called a Blaschke eigenvalue of x. It is interesting to determine all hypersurfaces in Sn with constant Blaschke eigenvalues. In this paper, we are able to classify all immersed hypersurfaces in S^m＋1 with vanishing MSbius form and constant Blaschke eigenvalues, in case （1） x has exact two distinct Blaschke eigenvalues, or （2） m = 3. With these classifications, some interesting examples are also presented.     

Sn中Moebius形式为零的曲面

本文证明了S^n中Moebius形式为零且法丛平坦的曲面的余维数约化定理，并且给出了这类曲面的分类．在此基础上，进一步给出了S^n中Moebius形式为零的曲面的分类．