Generalized minimizing movements for the mean curvature flow with Dirichlet boundary condition

We study a variational approach, called Generalized Minimizing Movemenents (GMM) and proposed by E. De Giorgi, to evolution of hypersurfaces by mean curvature in the case of a Dirichlet boundary datum. We prove an existence theorem of a GMM when on the initial solid are made suitable geometric hypotheses.

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Sunto Si studia un approccio variazionale, detto Movimenti Minimizzanti Generalizzati (GMM) e proposto da Ennio De Giorgi, per l’evoluzione di una ipersuperficie secondo la curvatura media con un dato al bordo di tipo Dirichlet. Viene provato un teorema di esistenza quando sul solido iniziale siano fatte opportune ipotesi di tipo geometrico.

     

A weighted version of a rearrangement inequality

We show that if a positive absolutely continous measure causes a special relative isoperimetric inequality to hold, then Dirichlet-type integrals of sufficiently smooth real-valued functions decrease under an appropriate equimeasurable rearrangement.

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Sunto Si dimostra che se una misura, positiva e assolutamente continua, rende valida una certa disuguaglianza isoperimetrica relativa, allora integral del tipo di Dirichlet di funzioni sufficientemente regolari descrescono per effetto di un opportuno riordinamento equidistribuito.

     

Sul problema di Dirichlet nel semispazio

Sunto Si sludiano alcune classi di spazi di distribuzioni del tipo di Sobolev nel semi spazio; nell'ambito di tali spazi si danno dei teoremi di esistenza e di unicità della soluzione del problema di Dirichlet non omogeneo per operatori differenziali lineari ellittici. Lavoro eseguito nell'ambito del contratto di ricerca su ? Equazioni funzionali ? del Comitato per la Matematica del C.N.R. Enrata in Redazione il 10 aprile 1970.     

Persistence and spatial patterns in a one-predator-two-prey Lotka-Volterra model with diffusion

Sunto Si considera un sistema di equazioni di reazione- diffusione del tipo di Lotka-Volterra con due prede e un predatore. Assumendo delle ipotesi sui coefficienti che assicurano che il sistema è persistente (nel senso di Butler, Freedman e Waltman), si mostra l'esistenza di equilibri non omogenei e di soluzioni periodiche non omogenee rispetto alla variabile spaziale per certi valori dei parametri di diffusione. I risultati sono illustrati da elaborazioni numeriche.     

On the distribution of complex numbers according to their transcendence types

Summary For each complex number its transcendence type is defined as a non-negative real number, which supplies a measure of its approximability by algebraic numbers. The distribution of complex numbers according to their transcendence types is studied and the existence of complex numbers with a given transcendence type is proved.

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Sunto Per ogni numero complesso è definito il suo tipo di trascendenza come un numero reale non negativo che fornisce una misura della sua approssimabilità mediante numeri algebrici. Si studia la distribuzione dei numeri complessi in relazione al loro tipo di transcendenza e viene dimostrata l'esistenza di numeri complessi aventi tipo di trascendenza assegnato.

     

Sulle equazioni ellittiche del secondo ordine di tipo non variazionale,a coefficienti discontinui

Sunto Si dimostrano alcuni teoremi di regolarizzazione per le soluzioni dei problemi di Dirichlet e di Neuman relativi ad equazioni ellittiche del secondo ordine di tipo non variazionale, a coefficienti discontinui. Come applicazione si danno anche alcuni teoremi di esistenza per le soluzioni dei detti problemi al contorno relativi ad equazioni lineari e non lineari. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di ricerca matematica del C N.R., Alcuni dei risultati ottenuti in questa memoria sono stati comunicati in due conferenze tenute l'una a Roma il 2 Aprile 1963 presso l'Istituto Nazionale di Alta Matematica e l'altra a Milano il 23 Aprile 1963 presso il Seminario Matematico e Fisico; per la seconda vedi [14]     

Global in time solutions for the Poiseuille flow of Oldroyd type in 3D domains

A Poiseuille flow in a 3D cylindrical domain is considered for a non-newtonian fluid of Oldroyd type. We prove existence (and uniqueness) of a global (in time) weak solution. Moreover, this weak solution is a strong solution when data are more regular. These results have already been obtained in the case of two concentrical cylinders ([3]). Now, we consider an extension to an unique cylinder. Then, a mixed parabolic-hyperbolic PDE's system appears but the parabolic equation is of degenerate type. The key of the proofs is to estimate in appropriate Sobolev weighted spaces (and to obtain strong convergence in weak norms by means of a Cauchy argument).

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Sunto In questo lavoro viene considerato il moto di Poiseuille in un dominio cilindrico tridimensionale per un fluido non-Newtoniano tipo Oldroyd. Viene dimostrata l'esistenza e l'unicità di una soluzione debole, globale nel tempo. Inoltre, questa soluzione debole diviene forte quando i dati diventano più regolari. Questi risultati sono già noti nel caso del dominio tra due cilindri concentrici ([3]). Qui consideriamo l'estensione ad un unico cilindro. Si ottiene, in questo caso, un sistema di equazioni alle derivate parziali misto parabolico-iperbolico, dove l'equazione parabolica è però di tipo degenere. Il punto chiave delle dimostrazioni consiste nel fornire delle stime in un appropriato spazio di Sobolev pesato ed ottenere convergenza forte nelle norme deboli mediante un argomento alla Cauchy.

     

On a quadratic functional occurring in a bivariate scattered data interpolation problem

Sunto L’applicazione di noti metodi che utilizzano funzioni di tipo blending per la costruzione di funzioni bivariate C¹ per l’interpolazione di dati, richiede la conoscenza delle derivate parziali del primo ordine ai vertici di una triangolazione sottostante. In questo lavoro consideriamo il metodo proposto da Nielson, che consiste nel calcolare stime delle derivate parziali del primo ordine minimizzando un opportuno funzionale quadratico, caratterizzato da parametri di tensione non negativi. Scopo del lavoro è l’analisi di alcune proprietà particolari di questo funzionale per la costruzione di algoritmi efficienti e robusti per la determinazione delle stime suddette delle derivate quando si ha a che fare con insiemi di dati di grandi dimensioni. Abstract The application of widely known blending methods for constructingC ¹ bivariate functions interpolating scattered data requires the knowledge of the partial derivatives of first order at the vertices of an underlying triangulation. In this paper we consider the method proposed by Nielson that consists in computing estimates of the first order partial derivatives by minimizing an appropriate quadratic functional, characterized by nonnegative tension parameters. The aim of the paper is to analyse some peculiar properties of this functional in order to construct robust and efficient algorithms for determining the above estimates of the derivatives when we are concerned with extremely large data sets.      

Pointwise velocity error estimates for an elliptic fluid jet

Summary Pointwise estimates are obtained for the perturbation velocity to a novel theory of fluid jet behaviour based on Cosserat continuum mechanics. The method employed is one of weighted energy.

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Sommario In questo lavoro si determinano stime puntuali per il campo perturbato di velocità relativo ad una nuova teoria di getto fluido. Tale teoria è basata sul modello della meccanica dei continui di tipo Cosserat. Il metodo impiegato è quello dell'energia pesata.

     

Local solvability of semilinear partial differential equations

Summary It is proved an abstract theorem for local solvability of semilinear equations with complex coefficients. This result is illustrated by nonlinear perturbations of complex principal type and multiple complex characteristics operators.

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Riassunto Si dimostra un teorema astratto per la risolvibilità locale di equazioni semilineari di coefficienti complessi. Il risultato ottenuto viene illustrato mediante perturbationi nonlineari di operatori di tipo principale complesso e caratteristiche compless multiple.

     

Existence results for some free boundary filtration problems

Summary A suitable extension of the pressure junction allows to formulate quite general free boundary filtration problems in terms of a non-standard variational inequality, both for the stationary and the evolution situations. Existence results are proved.

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Sunto Un opportuno prolungamento della funzione pressione permette di formulare problemi di filtrazione a frontiera libera alquanto generali in termini di una disequazione variazionale di tipo non standard. Si dimostrano risultati di esistenza, sia per il caso stazionario che per quello di evoluzione.

     

Principio di massimo per soluzioni di equazioni ellittiche del secondo ordine di tipo cordes

Sunto Si provano alcuni principi di massimo (forte e debole) per soluzioni e sottosoluzioni delle equazioni lineari ellittiche del secondo ordine di tipo Cordes.

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Summary Weak and strong maximum principles are proven for solutions and subsolutions of linear second order elliptic partial differential equations of Cordes type.

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Entrata in Redazione il 23 luglio 1973.

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Lavoro eseguito nell'ambito del ? Centro di studio per la matematica e la fisica teorica del C.N.R. ?, presso l'Università di Genova.     

Estimates for normal forms of differential equations near an equilibrium point

We consider the problem of finding a normal form for differential equations in the neighbourhood of an equilibrium point, and produce general explicit estimates for both the normal form at a finite order and the remainder, using the method of Lie transforms. With such technique, the classical Poincaré-Dulac theorems are recovered, and the problem of the stability of a reversible system of coupled harmonic oscillators up to exponentially large times is discussed.

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Riassunto Si considera il problema di porre in forma normale un sistema di equazioni differenziali nell'intomo di un punto di equilibrio, e si danno in generale stime esplicite sia per la forma normale troncata ad un ordine finito che per i resti. Si fa uso dell'algoritmo della trasformata di Lie. Con questo metodo si riottengono i teoremi classici di Poincaré-Dulac, e si discute il problema della stabilità per tempi esponenzialmente lunghi di un sistema reversibile di oscillatori armonici accoppiati.

     

Local properties of variational solutions for the two-obstacle problem involving square Hörmander operators

We consider the double obstacle problem involving square Hörmander operators. We prove a Wiener estimate giving a generalization of results obtained both for degenerate elliptic operators and for uniformly elliptic operators with bounded and measurable coefficients.

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Sunto Si considéra il problema del doppio ostacolo per un operatore definite come somma di quadrati di campi vettoriali. Si dimostra una stima di Potenziale del tipo di Wiener, generalizzando risultati già noti per il problema ad un solo ostacolo relativo ad operatori ellittici degeneri, nonchè per il doppio ostacolo per operatori uniformemente ellittici con coefficienti limitati e misurabili.

     

On the wave interaction in a charged fluid with Hall and ion slip-currents

Summary The evolution of non linear small perturbations in a charged fluid with generalized Ohm's law is considered, pointing out the possibility of effects due to interaction between different waves. Following the perturbative reductive methods, some phase functions for studying interaction are introduced. A suitable hypothesis on their evolution permits us to prove that the amplitudes of the first order perturbation obey Burgers-like equations, in which the dissipative terms are not influenced by the Hall effect.

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Riassunto Si studia l'evoluzione di piccole perturbazioni in un sistema M.F.D. con legge di Ohm generalizzata, prendendo in considerazione gli effetti della mutua interazione tra onde appartenenti a differenti famiglie di caratteristiche. Mediante tecniche di tipo perturbativo riduttivo e con l'introduzione di opportune funzioni di fase, si mostra che le ampiezze delle perturbazioni sono regolate, in prima approssimazione, da equazioni del tipo di Burgers in cui i termini dissipativi non dipendono dall'effetto Hall.

     

Global regularity estimates for multidimensional equations of compressible non-newtonian fluids

The present paper is devoted to the problem of global existence of sufficiently regular solutions to two- and three-dimensional equations of compressible nonnewtonian fluids. In the case of potential stress tensor, we develop the technique of derivation of energy identities that do not include the density derivatives. Basing on these identities, in the case of sufficiently fast-increasing potentials, we obtain an extended system of a priori estimates for the named equations. We also study the related problem of estimates for the solutions to non-linear elliptic system generated by stress tensor.

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Sunto Il presente lavoro è dedicato al problema dell’esistenza globale di soluzioni sufficientemente regolari delle equazioni del moto di fluidi comprimibili non-Newtoniani in due e tre dimensioni. Nel caso di tensore degli sforzi potenziale, viene sviluppata una tecnica per la derivazione di identità dell’energia che non includono derivate della densità. Basandosi su tali identità, nel caso di potenziali che crescono abbastanza rapidamente viene ottenuto un sistema esteso di stime a priori per le equazioni del moto. Viene inoltre studiato il problema correlato delle stime di soluzioni di sistemi ellittici non lineari generati dal tensore degli sforzi.

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This work is supported by Russian Foundation for Basic Research (Grant 99-01-10817), Cariplo Foundation and Volta Center of Landau Society.     

Growth properties of Sobolev space functions over unbounded domains

Summary We study Sobolev space functions with prescribed growth properties on large spheres. In particular, we prove a weighted Poincaré type inequality for such functions. An extension to weighted Sobolev spaces is sketched.

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Sunto Si studiano funzioni che appartengono a certi spazi di Sobolev e che hanno crescita assegnata su sfere di grande raggio. Per tali funzioni si dimostra una disuguaglianza di tipo Poincaré con peso. Si indica inoltre anche una estensione di tale risultato a funzioni in spazi di Sobolev con peso.

     

The Dirichlet problem for the minimal surface equation in non-regular domains

Summary In this paper we study the Dirichlet problem for the minimal surface equation in a open set Ω without any assumption about the regularity of ϖΩ. We prove an existence theorem using only the pseudoconvexity of Ω.

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Riassunto In questo lavoro studiamo il problema di Dirichlet per l'equazione delle superfici minime in un aperto Ω diR ⁿ sulla cui frontiera non si fa nessuna ipotesi di regolarità. Si ottiene un teorema di esistenza usando la sola pseudoconvessità di Ω.

     

Nuovi criteri sufficienti in un classico problema di calcolo delle variazioni

Sunto Proseguendo ricerche anteriori di criteri sufficienti per il minimo in un classico problema di Calcolo delle variazioni, si danno nuovi criteri sufficienti. di portata maggiore di quella dei precedentemente ottenuti, e se ne fa una fruttnosa applicazione alla teoria delle equazioni a derivate parziali, anche non lineari, del second'ordine, di tipo euleriano.

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Summary As a follow to his own research on sufficient conditions for the minimum in a classical problem of Calculus of Variations, the Author proofs new, more far-reaching criteria and makes fruitful application of them to the theory of non linear, second order partial differential equations, of Euler type.

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A Enrico Bompiani nel suo 70^mo compleanno.     

On the topology of the joined point-pairs of an algebraic variety

Sunto Data una varietà complessa non singolare V, si può definire unacoppia congiunta di punti di V. Nel caso ove V è una varietà razionale, di un tipo molto ristretto (§ 2), si considerano le proprietà topologiche dell'insieme di coppie congiunte. Questo è uno spazio fibrato, il che rende possibile la determinazione dei suoi gruppi di omologia. Si costruisce esplicitamente una base per questi gruppi.