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几个常见不等式的加强210044江苏南京市大厂中学汪杰良文[1]、[2]分别对基本不等式给出了如下加强:定理1若a、bER,0<A<1,则a’+b’>Zab+A(a—b)’.定理2若a、b、cER-,0<入运1(i一1,2,3),则a‘+b‘+c‘>... 相似文献
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一个简单定理的两个应用562100贵州普定县教研室廖炳江在三角形中存在着如下一个简单而有用的定理:bABC中,设BC=a,AC=b,AB一c,则有:A-a.B-bsin?CMM.sin4at==.一2—b十c’一2、a+c’c-csZn;5一二一T.... 相似文献
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利用一个简单不等式解三角题276005山东省临沂地区劳动技校孙振英定理若a、b、c、d∈R,则当且仅当ad=be时取等号.故定理得证.不等式(*)与二维柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+cd)2结构类似,便于记忆,使用灵巧,应用广泛.本... 相似文献
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一个不等式的简洁证明 总被引:2,自引:1,他引:1
在江苏省吴县市召开的’99全国不等式研究学术会议上,中国科学院成都计算机应用研究所杨路教授应用通用软件BOTTEMA给出以下不等式的一个“机器证明”:若a、b、c为正数,则ab+c+bc+a+ca+b>2.这里,笔者给出此不等式的一个简洁的“可读证明”.证明 ∵ (b+c-a)2≥0,∴ (a+b+c)2≥4a(b+c),∴ 1b+c≥4a(a+b+c)2,∴ ab+c≥2aa+b+c,同理可得 bc+a≥2ba+b+c,ca+b≥2ca+b+c.以上三式相加,且注意到三式等号不同时成立,便得a… 相似文献
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一类分式不等式的统一证法 总被引:1,自引:1,他引:0
不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)及其变形的应用已被人们广泛研究,笔者在教学中发现:如用ab、bλ分别代替a、b得一含参数的不等式a2b≥2aλ-bλ2 (b>0,λ>0,a∈R)()利用()可得一类分式不等式的统一证法:首先对要证的不等式进行适当变形,然后通过待定系数法求出λ,即得要证的不等式.这种证明方法具有思路单一,操作方便,学生易接受的特点.现以竞赛题、征解题为例进行说明.例1 设a、b、c∈R+,试证:a2a+b+b2b+c+c2a+c≥a+b+c2.(《数学通报》1995年第… 相似文献
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三角方程asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.事实上,原方程可化成sinxaa2+b2+cosxba2+b2=ca2+b2,即 sin(x+θ)=ca2+b2(其中tgθ=ba).由于|sin(x+θ)|≤1 知ca2+b2≤1,即得a2+b2≥c2.显见其逆亦真.利用此结论有时可简捷地解答一些类型的问题.例1 若关于x的方程3+2sinx+cosx1+2sinx+3cosx=k恒有实数解,求实数k的取值范围.解 原方程可整理成(3k-1)cosx+(2k-2)sinx=3… 相似文献
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一道课本不等式的再推广 总被引:2,自引:1,他引:1
文[1]对高中代数下册中的习题:已知a,b,c>0,求证:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)(1)从变元指数上进行了推广,得到:若a,b,c>0,k,m,n∈N,m+k=n,m≥k,则2(an+bn+cn)≥am(... 相似文献
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一道USAMO试题的推广与变形刘培杰(哈尔滨出版社第三编辑室)美国数学奥林匹克(USAMO是美国中学生参加的级别最高的竞赛,试题均由专家提供,堪称一流.在1978年第7届USAMO上有一试题为题目已知a、b、c、d、e是满足a+b+c+d+e=8a2... 相似文献
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一个不等式的几何意义李长明(贵州教育学院550003)设a,b,c∈R+,则有a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ca+a2≥3(a+b+c).这是文[1]中,用构造三角形法证代数不等式的一例.它与文[2]的思路一样.但文[2]只用了“三角形内... 相似文献
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不少文献研究了无理函数y=tx+v+kax2+bx+c(ak≠0)()的值域问题(设b2-4ac≠0).本文利用三角变换结合直线斜率数形结合给出一种统一解法.原函数式配方,得y=tx+v+ka(x+b2a)2+4ac-b24a.作替换z=x+b2a,则y=tz+(v-bt2a)+kaz2+4ac-b24a.若a<0,则有y=tz+(v-bt2a)+k-a ·b2-4ac4a2-z2.若a>0,则有y=tz+(v-bt2a)+ka ·z2+4ac-b24a2.因此,函数式的根号内可化为r2-z2… 相似文献
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谈谈“倒数变换”的一个有趣作用 总被引:1,自引:1,他引:0
有些不等式证明题,当直接证较困难时,可试着对其变量作“倒数变换”,看新命题是否易证.用此法常可使一些不等式证得自然、简捷.下面举例说明.例1已知a、b、c∈R+,求证b2c2+c2a2+a2b2a+b+c≥abc这是高中代数下册中的一个习题,它是和均... 相似文献
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第24届IMO第6题是:在△ABC中,a、b、c是三边长,求证:a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0.(1)文[1]指出了它的下述对偶形式:ab2(a-b)+bc2(b-c)+ca2(c-a)≤0,(2)并给出了统一的距离解释.即不等式(1)、(2)的几何解释为:三角形内Brocard点到内心的距离非负.受此启发,笔者研究了第6届IMO第2题:在△ABC中,a、b、c是三边长,求证: a2(b+c-a)+b2(a+c-b)+c2(a+b-c)≤3abc,(3)发现它也有如下的… 相似文献
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本文用数形结合的方法,求解形如:f(x)=m+nx-x2-p+qx-x2(n2+4m>0,q2+4p>0)的函数的最值,此函数的定义域非空.设方程m+nx-x2=0的两根为a、b,且a<b;设p+qx-x2=0的两根为c、d,且c<d.则a=n-n2... 相似文献
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1988年,联邦德国为第29届IMO提供了下面这道有名的数论试题:已知正整数a与b,使得ab+1整除a2+b2,求证a2+b2ab+1是某个正整数的平方.在[1]里,我们证明了如下的精确结果:若正整数a与b使得ab+1整除a2+b2,则必有a2+b2ab+1=(a,b)2,这里(a,b)是a和b的最大公约数.在[2]里,我们把这个结果进一步地推广为如下形式:如果a、b、c都是正整数,使得0<a2+b2-abc≤c+1,那么a2+b2-abc=(a,b)2,其中(a,b)为a和b的最大公约数.在… 相似文献