一道希望杯赛题的背景及应用

第7届希望杯高二赛题:①求证:函数f(θ)=sinθθ(θ<θ≤π2)是减函数;②求证:当0<θ<π4时,sinθ>2 2πθ;③求证:当0<θ<π4时,sinθ<2θπ.(提示:证明②③可使用①的结论)这是一道源于课本而又高于课本的能力型试题,而且具有较为丰富的数学史背景,充分体现了“希望杯”竞赛以能力立意的原则,试作如下解析.1源头这道赛题源于课本题:(04年人教社A版必修4P25B组第4题)设α∈(0,π4),角α的终边与单位圆的交点P(x,y),试利用单位圆比较正弦线、余弦线、正切线的数量的大小关系以及长度的大小关系.当α∈(0,2π)时你能利用单位圆中的函数线,…     

另有蹊径更简捷

第21届(2010年)"希望杯"全国数学邀请赛初一年级培训题的第76题:请在下列算式的每一个方框内填上一个一位数,使等式成立.     

形如a±1/a类竞赛题的解答策略

一、利用。.工=1把。+工 2、,2、 一La十—少戈a一—), aa i一a 一 a 1_,,.一~一,.、、*.一 宁丁三化石里体代人麟赳 瘾彝(2000年“希望杯,赛题,已知扩 1 十丁百一 工 _,.,。.1,,~。 吕则丫十牙四但足 而。,一典 a 把。一兰一 a 3,故选A. 本题也可由 1和。+号一3代人得答案: 。一兰一1,及。为正整数, 解由XZ+步一3有 XZ十2一告+步一3十2, 即(X+告)2一5, 则X十士一士在 而X3+步一(二+专)(XZ+步一1) 解得a一2,代人所求式. 二、利用方程模型:二+专一。+告的解为 xl一。,。一告构造方程 解出未知数代入解题 (2000年“希望杯”赛题)已知 瘾…     

从解这道智力赛题中得到的启示

贵刊在2012年1月下第27页刊登了吕强老师的文章《另有蹊径更简捷》.目的是求解第21届(2010年)"希望杯"全国数学邀请赛初一年级培训题的第76题:请在下列算式的每一个方框内填上一个一位数,使等式成立.     

一道考察变形能力的赛题

<正>第25届"希望杯"初二2试18题:若x-y-2=0,2y2+y-4=0,则x/y-y=____.这道题结构朴实无华,但内涵丰富涉及到二元一次方程、一元二次方程、分式的相关知识.对试题的理解角度和理解深度的不同,会产生特征各异的解题方法.方法1利用一元二次方程知识容易求     

一道竞赛题的不等式法巧解

第三届全国“希望杯”数学邀请赛高一组第二试有这样一道赛题:已知“、声为锐角,且吟十蝗Sln一P COS一P一1,求证:。 刀一要 乙分析:要证。 刀一要 乙,即要eosa~sin刀 又‘:a渭为锐角.亦即eosZa=sin,(或sinZa~eosZ刀)①②证明1…黯 S‘·’”)ZcQS’“ 瑞 。oS’”)25‘nZ“由①     

续说特殊方程的简单解法

<正>《中学生数学》2014年第6(下)期刊登的文章《几个特殊方程的简单解法》,正如编者所说,几个方程的解法简单、美、有趣.恰好笔者手头有几个方程也能用此方法解,可以说是对上文的一个补充,也可以说是此文的续集.例1(2005年"希望杯"全国数学邀请赛题初二第1试第22题)已知方程1+1/x=     

利用函数单调性巧解竞赛题

函数单调性在解数学竞赛题时有着重要的作用. 　　一、解方程 　　例1 (第十三届"希望杯"高一第2试第14题)方程log5(3x+4x):log4(5x-3x)的解集为 　　……     

历法中的趣数

<正>第12届"希望杯"全国数学邀请赛的第23题如下:我国在使用公元纪年的同时,也一直沿用我国古代创立的干支纪年法,如甲午战争中的甲午,辛亥革命中的辛亥就是年份的名称.干支中的干是天干的简称,是指:甲乙丙丁     

一道希望杯题的思考

<正>第二十二届"希望杯"全国数学邀请赛高一组21题:求函数y=x2-2x+5/2+x2-8x+25/2的最小值,并求出y取得最小值时的x值.此题揭开了代数与几何的一个关系,下面我们一起来探究思考一已知M∈L,A、B两点在L的同侧,求MA+MB的最小值,并求出此时M的坐标.     

向量回路法简解竞赛题

例1(第23届"希望杯"全国数学邀请赛培训题高一41题)△ABC中,已知AB=4,BC=5,AC=6,若点O是△ABC的外心,则→AO.→AC的值是.分析标准解答给出的解法是应用余弦定理、正弦定理和向量数量积的定义,繁琐冗长.事实上,若注意到题设条件AC=6及向量回路A→M→O,便有如下简解.简解取AC的中点M,则必有MO⊥AC,     

“穿越沙漠”赛题评述

对2020年"高教社杯"全国大学生数学建模竞赛"穿越沙漠"一题作简要评述,介绍赛题的数学基础和求解思路,探讨答卷所用的方法和存在的问题.     

2014年全国高中数学联赛加试第一题及其“根”的探究

一、赛题的"根"2014年全国高中数学联赛A卷加试第一题(以下简称"赛题"):设实数a,b,c满足a+b+c=1,abc>0,求证:bc+ca+ab<1/4+(abc)(1/2)/2.(1)看赛题,笔者自然而然回想起了文1所述的一道竞赛题:(2010年全国高中数学联赛广东预赛第3题,以下简称"试题")设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:bc+     

一道希望杯题的思考

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一组21题：     

第十届研究生全国研究生数学建模竞赛——赛题“中等收入定位与人口度量模型研究”述评

对第十届全国研究生数学模型竞赛中赛题之一"中等收入定位与人口度量模型研究"的有关情况进行简要述评,认为达到了本赛题的设计目标,对培养参赛研究生思考重大经济、社会问题方面有重要意义.     

第23届希望杯邀请赛部分试题的向量解法

本文利用向量基底思想与回路法结合的方法给出第23届希望杯全国数学邀请赛培训和竞赛试题中的向量问题的优美解答,供大家参考.例1(高一培训题41题)△ABC中,已知AB     

“希望杯”一赛题的变式探究

2011年第二十二届：“希望杯”全国数学邀请赛高一第一试第17题：     

从特殊回到一般

第二十三届"希望杯"全国数学邀请赛高一第1试第16题:设点G是△ABC的重心,GA=2(3～(1/2)),GB=2(2～(1/2)),GC=2,则△ABC的面积是     

探究一道希望杯竞赛题

第二十三届希望杯全国数学邀请赛高一第一试试题中有这样一道最值题：     

对三道不等式赛题的探究

1．赛题再现 笔者在研究不等式赛题时,遇到以下三道类似的赛题：