常见累进数列n{(n+1)…(n+m))的求和方法

大家知道1·2+2·3+3·4+…n(n+1)的求和可利用通项公式来求,即: 1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=(1~2+2~2+3~2+…+n~2)+(1+2+3+… +n)=(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/2)n(1+n)-(1/3)n(n+1)(n+2) 但是用这种方法求和涉及到数列1~2,2~2,3~2…n~2的求和,如果给出累进数列的每项乘积因子则又涉及数列{n~3},{n~4},…的求和,所以利用通项求常见累进数列     

常数项级数求和方法举例

一、利用级数和的定义求和例1 求级数sum from n=1 to ∞((2n 1)/n~2(n 1)~2)的和解:由于(2n 1)/n~2(n 1)~2=((n 1)~2-n~2)/(n~2(n 1)~2)=1/n~2-1/((n 1)~2)于是,S_n=(1-1/2~2) (1/2~2-1/3~2) … (1/n~2-1/(n 1)~2)=1-(1/(n 1)~2)所以,该级数的和S=(?)=1     

一个与Wallis不等式有关的单调减少数列

证明了{n (64 n~3+16 n~2+72n+15)/64 n~3-16 n~2+72n-15~(1/2) integral from 0 to π/2 sin~nxdx}为严格单调减少数列,且极限为π/2~(1/2),因而得π(64 n~3-16 n~2+72n-15)/2n 64 n~3+16 n~2(+72n+15)~(1/2)integral from 0 to π/2 sin~nxdxπ(64 n~3+208 n~2+296n+167)/2 n(+1)(64 n~3+176 n~2+232n+105)~(1/2),将Wallis不等式改进为512 n~3-64 n~2+144n-15/πn (512 n~3+64 n~2+144n+15)~(1/2)2(n-1)!!/2(n)!!512 n~3+832 n~2+592n+167/(πn+0.5)(512 n~3+704 n~2+464n+105)~(1/2).     

一个有趣的整除问题

本刊1983年第四期的问题征解上有这样一题求证(1+2+3+…+1983)|(1~5+2~5+3~5+…+1683~5)。在解此题时,我们从1~3+2~3+3~3+…+n~3=(1/4)n~2)n+1)~2=〔(1/2)n(n+1)〕~2=(1+2+3+…+n)~2,发现(1+2+3…+n)|(1~3++2~3+3~3+…+n~3)对任意自然数n皆成立。我们试问是否也有(1十2+3+…+n)|(1~5+2~5+3~5+…+n~5)对任意的自然数n皆成立呢!回答是肯定的。不难证明1~5+2~5+3~5+…+n~5=(?)(n+1)~2(2n~2+2n-1),因此,(1+2+3     

2007年上海市春季高考数学试卷

一、填空题(满分44分,共有11题) 　　1.计算lim2n2+1/n→∞3n(n+1)=＿.……     

2007年上海市春季高考数学试卷

一、填空题(满分44分,共有11题) 　　1.计算lim2n2+1/n→∞3n(n+1)=＿.……     

一类和式极限问题的初等解法及推广

在高等数学学习中 ,我们求和式极限 :limn→∞ Σni=1fi( n)的途径大致有这么几种 :( 1 )先求和 :Σni=1fi( n) ,再求极限 ;( 2 )利用夹逼准则 ;( 3 )利用定积分的定义 ,把和式极限表示成定积分 ,通过计算定积分 ,求得和式的极限 ;( 4)综合运用 ( 1 )、( 2 )、( 3 )求出和式的极限。现在 ,我们考虑如下一类和式的极限问题 :例 1　求 limn→∞sin πnn+1 +sin2πnn+12+… +sinπn+1n;例 2　求 limn→∞cosπ2 n2 n+12+cos2π2 n2 n+14+… +cosπ22 n+12 n;例 3　求 limn→∞sin πnn+1n+sin2πnn+1n2+… +sinπn+1nn.当然 ,与此类似的题目 ,…     

一道高三联考压轴题的多方法解析

正题目:已知f(x)=lnx,g(x)=mx-1.(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求m的取值范围.(2)若n∈N*,n1,求证3/2~2+5/3~2+…+(2n-1)/n~22lnn.这道题表面是一道不等式题目,仔细深入挖     

算术平均数不小于其几何平均数的一个推论

在高中教材不等式的证明这一节里提到。一般地有:n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它的几何平均数。我们在教学中增加了一个推论:n个正数和与n个该数的倒数和之积不小于n的平方,用式子表示即 (a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n~2(其中a_1、a_2…,a_n均正数,n是大于1的整数)。等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时才成立。证明:(a_1+a_2+…+a_n)(l/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n((a_1a_2…a_n)~(1/n))·(n((1/a_1)(1/a_2)…1/a_n)~(1/n)) =n~2 (*) 由算术平均数不小于几何平均数的定理中当     

应用圆求最值

定理1 如果x~2+y~2≤R~2,S=mx+ny,m、n为常数且mn≠0,那么,当且仅当这圆与这动直线相切时,S才取得最值:S_max=RM~2+n~2~(1/2)S_min=-RM~2+n~2~(1/2)。证明设圆心(0,0)到直线的距离为d,那么d=|S|/(m~2+n~2)~2(1/m~2+n~2)≤R ∴-R(m~2+n~2)~2(1/m~2+n~2)≤S≤R(m~2+n~2)~2(1/m~2+n~2)当且仅当圆与直线相切时,     

一道习题的推广

《中学数学》1983年第4期问题征解中有这样一题,求证 1+2+3+…+1983|1~5+2~5+3~5+…+1983~5。事实上,我们有一般的结论:1°。1+2+3+…+n|1~5+2~5+3~5+…+n~5,甚至更一般的结论:2°。1+2+3+…+n|1~(2k+1)+2~(2k+1)+3~(2k+1)+…+n~(2k+1)。这里n、k为任意自然数,为了证明这一结论,我们要用到整数的两个性质。性质1。两个连续整数必互质。性质2。如果(p,q)=1,p|m,q|m则pq|m、((p,q)表示p与q的最大公约数)。此二性质都很容易用反证法证明,这里从略。我们来证明上述结论2°。证∵ 1+2+…+n=(1/2)n(n+1),记 S_(2k+1)(n)=1~(2k+1)+2~(2k+1)+…+n~(2k+1),     

介绍一个级数的求和问题

求级数1/2~2 (1-1/2~2)1/3~2 (1-1/2~2)(1-1/3~2)1/4~2 … (1-1/2~2)(1-1/3~2)…(1-1/n~2)1/(n 1)~2 …的和是富有启发性的问题,现介绍如下:     

数学小品两则

一、试论一个恒等式的产生在初等代数文献中,有这么一个恒等式:(2n~2+n)~2+(2n~2+n+1)~2+…+(2n~2+2n)~2=(2n~2+2n+1)~2+(2n~2++2n+2)~2+…+(2n~2+3n)~2。当然,这个恒等式既不是天上掉下来的、也不是什么神仙灵机一动搞出来的。而是数学家们不辞劳苦算出来的。让我们从商高定理谈起罢!这是我们所熟悉的一个数字恒等式 3~2+4~2=5~2 如果我们不辞劳苦地算下去,就可以得到如下的几个恒等式: 10~2+11~2+12~2=13~2+14~2, 21~2+22~2+23~2+24~2=25~2+26~2+27~2,36~2+37~2+38~2+39~2+40~2=41~2+42~2+43~2+44~2。     

运用重要极限lim x→0(1+x)~(?/x)=e求极限时的一个简便方法

<正> 运用重要极限lim(1+x)~(1/x)=e(或lim(1+1/x)~x=e)求极限是求未定式“1~∞”型极限的一个重要方法。例如:     

一个常数竟有两个整数部分

题求1 1/2~(1/2) 1/3~(1/2) …1/100~(1/2)的整数部分解∵(n 1)~(1/2) n~(1/2)>2n~(1/2)>n~(1/2) (n-1)~(1/2)∴(n 1)~(1/2)-n~(1/2)<1/(2n~(1/2))相似文献   

关于亚纯函数导数亏量和的Ozawa问题

设σλ表示所有限级λ的亚纯函数构成的集合,R.Nevanlinna显示,当λ是正的非整数时,κ(λ)>0,其中设f为有限级λ的亚纯函数,Ozawa证明了存在正常数d=d(λ),满足1/2(5-(21~(1/2))≤d≤1/4,使我们曾将d的范围精确为1/4≤d≤4/13。本文中,我们得到一个更精确、更广泛的结论:设f是有限级λ的亚纯函数,则对任何自然数n,存在仅与n,λ有关的正常数d,满足2n(n+1)/(4n~2+7n+2)≤d≤4n(n+1)/(4n~2+6n+1+(16n~4+56n~3+60n~2+20n+1)~(1/2))使得     

Galton-Watson过程收敛速率的一个充要条件

假设{Z_n}_(n=0)~∞为一Galton-Watson过程,Asmussen[1]给出了在EZ_1(logZ_1)~(α+1)∞条件下W-W_n=o(n~(-α)),a.s.的结果,这是一个充分条件.本文给出lim sup_(n→∞)n~α|W-W_n|∞,a.s.的充要条件.     

不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的几种证法

为什么要证明不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)下面通过实例来说明,高中数学第三册P.147.3(4)题:求证1/1~(1/2)+1/2~(1/2)+…+1/n~(1/2)>n~(1/2)(n>1)。我们用数学归纳法来证明。 (1)当n=2时不等式左边=1/1~(1/2)+1/2~(1/2)=(2+2~(1/2))/2右边=2~(1/2)=(2~(1/2)+2~(1/2))/2,显然不等式成立。 (2)假设当n=k(k>1)时不等式成立,     

數學問题及解答欄

144,假如m/n是2~(1/3)的一個近似值,試証明(m~2+mn+2n~2)/(m~2+mn+n~2)是2~(1/3)的一個更好的近似值,並且(m~2+mn+2n~2)/(m~2+mn+n~2)-2~(1/3)與m/n-2~(1/3)異號。(選自蘇聯“數學教學”1954年第4期間題欄), 145.設P,Q,R,p,q,r那是整數,且p,q,r互素,證明:如 P/p+(Q/q)+(R/r)是一整數,那末P/p,Q/q,R/r,也是整數。 146.求不定方程x~2+y~2+z~2=3xyz的正整數解之適合於0相似文献   

关于误差方差估计渐近正态收敛速度的上,下界

考虑线性回归模型 Y_■=x_4~′β+e_■ i=1,2,…设误差序列■,i≥1满足条件:e_■ i≥1 i.i.d.,Ee_1=0,Ee_1~2=σ~2>0,∞>Var e_1~2=τ~2>0。记■_n~2=1/(n-r){sum from j=1 to n e■-sum from k=1 to r (sum from j=1 to n a_(akj)■_j)~2} δ(n)=τ~(-2)E(■_1~2-σ~2)~2I_((|■-σ~2|≥■τ)+τ~(-3)n~(1/2)|E(■_1~2-σ~2)~3I_((|■_1~2-σ~2|<(nτ)~(1/2))+τ~(-4)n~(-1)E■_1~2-σ~2)~4I_((|■-σ~2|0使得■|P(■_n~2-σ~2)/(Var■_n~2)~(1/2))≤x)-Φ(x)|≤C(δ(n)+n~(-1/2)) ■|P(■_n~2-σ~2)/(Var■_n~2)~(1/2))≤x)-Φ(x)|+n~(-1/2)≥C_1δ(n)。