中考题中的调和点列

1.调和点列的概念和性质。定义1^[1]如图1,对于线段AB的内分点C与外分点D,若AC/CB=AD/DB,则称C、D调和分割线段AB(或线段AB被C、D调和分割),或称点列A、B、C、D为调和点列.在射影几何中,①式写成AC·AD/BC·BD=-1(AC·AD/BC·BD称为点列A、B、C、D的交比,记为(AB,CD)).     

一道女子奥赛题的多种证法

<正>如图1,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,延长O1A交⊙O2于点C,延长O2A交⊙O1于点D,过点B作BE∥O2A交⊙O1于点E,若DE∥O1A,求证:DC⊥CO2.这是2014年中国女子数学奥赛第一题,笔者从多角度来添设辅助线证明本题,供同学们参考.证法一如图1,分别连接DB、O1O2、AB,延长EB交⊙O2于H,连接AH.∵∠ABH=∠EDA=∠O1AO2=∠DAB,     

一道中考题的解题思路分析

题目(2011黄石)已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图1,若AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图2,若C是⊙O1外一点,求证:O1C⊥AD;     

由一道练习题变成一系列中考题

一、原题:已知:如图1,⊙O1,⊙O2相切于点T,直线AB、CD经过点T,交⊙O1于点A、C,交⊙O2于点B、D.求证.AC//BD.(人教版九义教材初中几何第三册第145页练习第2题).     

两个数学问题的面积法妙证

<正>问题1^([1])如图1,PAB、PCD分别是⊙O的两条割线,交⊙O于点A、B、C、D,AD与BC相交于点Q,若点M、N分别满足四边形MAQC、四边形NBQD都是平行四边形.证明:P、M、N三点共线.证明如图1所示,设直线MN分别交直线AB和CD于点P_1和P_2,则欲证P、M、N三点共线,须证点P_1与P_2重合,     

源于课本 触类旁通

<正>习题呈现和解答苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级(上册)有这样一道题:如图1,P是⊙O外一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.你能说明理由吗?解先说明PA是点P到⊙O上的点的最短距离.如图2,在⊙O上取一点C(不与点A重合).当点C与点B重合时,PC=PB=PA+AB,故PA相似文献   

一个命题的再推广

在圆中有结论：如图1,设AB是⊙O的直径,P为⊙O上异于A、B的任意一点,过点P的切线与过点A、B的切线分别相交于C、D.则OP2=PC·PD.     

一道中考题的多种证明和拓展

<正>题目(2016·江西)如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC于点F,交过点C的切线于点D.求证:DC=DP;一、本题的多种证明证法1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

一道数学奥林匹克试题结论的繁衍与一般化

第六届北方数学奥林匹克邀请赛 原题 如图1,已知PA、PB是⊙O的切线,切点为A、B,过点P的割线交⊙O于点C、D,过点C作PA的平行线,依次交AB、AD于点E、F,则CE=EF（证略）     

对两道习题的思考

<正>题1已知:如图1,直线AB与⊙O相切于点C,AO交⊙O于点D,连结CD,OC.求证:∠ACD=1/2∠COD.原解如图1,作OE⊥CD于点E,则∠COE+∠OCE=90°.∵⊙O与AB相切于点C,∴OC⊥AB,即∠ACD+∠OCE=90°.∴∠ACD=∠COE.∵△ODC是等腰三角形,OE⊥CD,     

探究一道中考选择题的解法

题目(2014年湖北武汉)如图1,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、D两点.若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是().A5(1/2)3/(12)B.12/5C.3(1/2)(13)/5D.2 (1/2)(13)/3分析:此题以圆的一个基本图形为背景设置,内涵十分丰富:PA=PB;连接OA、OB,则∠OAP=∠OBP=90°;连接OP,则OP平分∠APB;连接AB,则OP垂直平分AB……     

一道几何试题的多种解法

<正>一、题目如图1,在平面直角坐标系中,A(3,4),B (5,0),连结AO、AB.点C是线段AO上的动点(不与A、O重合),连结BC,以BC为直径作⊙H,交x轴于点D,交AB于点E,连结CD,CE,过E作EF⊥x轴于F,交BC于G.(1)若圆心H落在EF上,求BC的长;(2)若△CEG是以CG为腰的等腰三角     

数学问题解答

2006年5月号问题解答(解答由问题提供人给出)图11611已知:如图1,⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,且⊙O2过⊙O1的圆心O1,由B点引⊙O2的弦BC,连结AC交⊙O1于点F,求证:BC=CF.图2证明如图2,连结AB,O1O2,BF,O1A,O1B,O2A,O2B,延长CB交⊙O1交于D点,连AD.因为AB为⊙O1与⊙O2的公共弦,O1O2为连     

构造“圆和圆外一定点”模型求线段最值

<正>如图1,点P为⊙O外一点,连接PO并延长,交⊙O于点A,B,则连接点P和⊙O上任意一点所得的线段中,PA最短,PB最长.结论略证如下:如图2,点C为⊙O上任意一点(不和点A,B重合),连接CO,由三角形三边关系知道:PC+CO>PO,又PO=PA+AO,CO=AO,所以PC+CO>PA+AO,即PC>PA.由三角形三边关系知道:PO+CO>PC,又PO+CO=PB,所以PB>PC.当C为⊙O上任意一点(可以和点A,B重合)时,便有结论 PA≤PC≤PB,利用这一     

圆的切线性质在圆锥曲线上的推广

在平面几何里,关于圆的切线有如下结论: 如图1,设AB为⊙O的直径,P为⊙O上异于A、B的任意一点,过点P的切线与过点A、B的切线分别交于点C、D.则 (1)OP2=CP·PD; (2)△CPO∽△OPD∽△COD; (3)OP.DC=DO2,CP·CD=CO2; (4)CO2+DO2=CD2. 本文拟将以上结论推广到圆锥曲线.     

圆锥曲线的一类切线的几何画法

下面是一个关于圆的切线判定的平面几何命题 :如图1所示 ,AB是⊙O的直径 ,EB是⊙O的切线 ,直线EA交⊙O于点D ,A ,点C是线段BE的中点 ,那么 :DC是⊙O的切线 .这个命题不仅给出了圆切线的一个几何画法 .而且可引伸出圆锥曲线的一类切线的几何画法 .本文以命题的形式介绍这种方法 .图 21　椭圆切线的一个几何画法命题 1　如图 2所示 ,AB是椭圆的长轴 ,过B的直线l⊥AB ,点D是椭圆上除长轴两端点外任意一点 ,直线AD交直线l于点E ,点C是线段BE的中点 .则DC是椭圆的切线 .证明　如图 2 ,建立直角坐标系 ,设椭圆图方程是x2a2 + y2b2 =1…     

单位圆帮你解三角问题

利用单位圆解三角问题 ,既形象又直观 ,简单易行 ,操作方便 ,本文介绍给同学们 .(注 :单位圆———半径为 1的圆 )图 1如图 1,∠MON =90° ,以O为圆心 ,1个单位长为半径作圆 ,交OM、ON于点A、B ,射线OP交⊙O于点C ,过点C作CD⊥ON于D ,过点B作BE⊥ON于B ,交OP于E点 ,过点A作AF⊥OM于A ,交OP于F点 .由AF∥ON得∠AFO =∠FON .设∠FON =∠AFO =α ,则有sinα =CDOC=CD1=CD ,cosα =ODOC=OD1=OD ,tanα =BEOB=BE1=BE ,cotα =AFOA=AF1=AF .对于任意锐角α ,由图 1知 :(1)∵　 0 相似文献   

尺规画蛋与近似画圆

圆规画圆信手拈来,水到渠成；“用圆规画蛋”或“近似画圆”怎么样呢?尺规画蛋作法(如图1)①作两个半径相等的圆⊙A、⊙B,使圆心B在⊙A上；②以AB为直径作⊙O交公共弦CD于E；③连结AE并延长交⊙A于点F,连结     

一道中考题的解构与多解分析

<正>1试题呈现(2023年宜宾中考)如图1,以AB为直径的⊙O上有两点E,F,■,过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,过C作CM平分∠ACD交AE于点M,交BE于点N.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)求证:EM=EN;(3)如果N是CM的中点,且AB=9(5)^1/2,求EN的长.     

一道竞赛题的推广

题目如图1,PA,PB为⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过P的直线交⊙O于C,D两点,交弦AB于点Q,求证:PQ~2=PC·PD-QC·QD.这是2009年全国高中数学联赛陕西赛区的一道试题,联想到圆与圆锥曲线的许多结论具有相同之处,笔者试着利用几何画板进行验证,结果是在圆锥曲线中的确有